李敏 楊儉 袁健華

摘要：光子晶體的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象是光子晶體制作光限幅器和光開關(guān)的理論基礎(chǔ)，研究具有低閾值的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)對大規(guī)模集成光路具有非常重要的意義。本文采用有限元方法和穩(wěn)態(tài)算法對含有缺陷的一維光子晶體結(jié)構(gòu)中的雙穩(wěn)態(tài)效應(yīng)現(xiàn)象進(jìn)行了理論推導(dǎo)和數(shù)值分析。在頻域上，一維雙穩(wěn)態(tài)效應(yīng)問題可化為非線性亥姆霍茲方程的兩點(diǎn)邊值問題。本文基于非線性亥姆霍茲方程建立了有限元數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造了基于有限元方法和穩(wěn)態(tài)迭代算法的數(shù)值求解算法。研究算例結(jié)果表明該數(shù)值算法能有效地模擬含有缺陷的一維光子晶體結(jié)構(gòu)中雙穩(wěn)態(tài)效應(yīng)現(xiàn)象，并能推廣到高維問題的研究。本文還利用該模型算法進(jìn)一步研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對雙穩(wěn)態(tài)效應(yīng)的影響，當(dāng)選擇非線性強(qiáng)度大的材料，或者增強(qiáng)入射場強(qiáng)度，或增加中間層厚度時可以降低雙穩(wěn)態(tài)效應(yīng)發(fā)生的閾值。

關(guān)鍵詞：光子晶體；雙穩(wěn)態(tài)效應(yīng)；非線性；有限元；迭代法

中圖分類號：029 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.3969/j.issn.l003-6970.2017.08.001

0 引言

上世紀(jì)80年代，E.Yablonovitch率先提出了光子晶體OPhotonicCrystal）的概念。光子晶體是指具有光子帶隙（PhotonicBand-Gap，簡稱為PBG）特性的人造周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu)，有時也稱為PBG光子晶體結(jié)構(gòu)。光子晶體有著廣泛的應(yīng)用，利用其特性可制作光子晶體激光器、全向反射鏡、光子晶體波導(dǎo)和光纖、濾波器、發(fā)光二極管、光開關(guān)、光限制器、光子晶體激光器等。當(dāng)光子晶體中的周期結(jié)構(gòu)破壞時，我們稱其是帶有缺陷的。帶缺陷的非線性光子晶體會產(chǎn)生缺陷模和雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的物理解釋是當(dāng)入射波進(jìn)入非線性光子晶體缺陷時，缺陷區(qū)域介質(zhì)的折射率受到影響進(jìn)一步影響到透射率。當(dāng)入射波頻率增大到某一數(shù)值時，透射率會迅速增大，跳躍到另一個值，之后又達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。另一方面，當(dāng)入射頻率減小到另一數(shù)值時，透射率又會迅速下降，之后又達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。但是兩個跳躍點(diǎn)的閾值不同，即對一給定頻率處在兩閾值點(diǎn)之間的電磁波，它的透射率存在兩個輸出值，該現(xiàn)象稱為雙穩(wěn)態(tài)效應(yīng)。光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)效應(yīng)在工程上最重要的一個應(yīng)用是光學(xué)雙穩(wěn)開關(guān)。光學(xué)雙穩(wěn)開關(guān)是一種具有反饋效應(yīng)的非線性光學(xué)器件，它的輸入一輸出特性不是單值的，而是一個回線，抗干擾能力強(qiáng)。因此在電子技術(shù)中，雙穩(wěn)態(tài)電子開關(guān)被廣泛的應(yīng)用。

在頻域中，雙穩(wěn)態(tài)問題的求解可以表示為非線性亥姆霍茲方程的兩點(diǎn)邊界值問題（BVP），解決此類問題的數(shù)值模擬方法有很多。有限元法作為一種傳統(tǒng)方式，能夠在高精度下解決大型的復(fù)雜問題，而且容易推廣至高維。所以本文采用有限元法與ZhengfuXu和GangBao在文中提出的一種穩(wěn)態(tài)逼近的算法結(jié)合并對模型進(jìn)行求解。最后本文通過簡單算例研究了一些參數(shù)對雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的影響，并對結(jié)果進(jìn)行了理論分析。

1 光學(xué)雙穩(wěn)性理論推導(dǎo)

1.1 一維模型問題

我們討論如圖1所示的帶有缺陷的非線性光子晶體。結(jié)構(gòu)模型為，為缺陷層，層數(shù)材料的厚度分別為和顯然將該結(jié)構(gòu)放置于折射率為%的背景材料中，假定周期按軸方向排列且長度為，則當(dāng)和時，折射率為。

麥克斯韋方程組可以刻畫宏觀電磁現(xiàn)象本質(zhì)規(guī)律。對于通常的時諧變場，微分形式的麥克斯韋方程組一般包含以下四個一階偏微分方程：

上式中，方程組左邊的物理量及分別用以描述電磁場的性質(zhì)，其中：為電場強(qiáng)度，伏特/為電位移（庫侖/平方米），為磁場強(qiáng)度（安培/米），為磁通量密度（韋伯/平方米）.方程組的右邊為激勵電場的源項(xiàng)，其中：為電流密度（安培/平方米），為電荷密度（庫侖/立方米）.介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系反映了該類介質(zhì)的宏觀性質(zhì)，通常由實(shí)驗(yàn)確定或者由介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)推導(dǎo)得出。

通常情況下，本構(gòu)關(guān)系可以寫成下面形式：

這里的本構(gòu)參數(shù)和描述的分別是介質(zhì)的介電常數(shù)，磁導(dǎo)率以及電導(dǎo)率。

在如圖1所示的結(jié)構(gòu)中，假定在無源空間中，介質(zhì)是無色散無損耗的，則電場和磁場具有以下形式：

在時諧場的情況下馬可以表示如下形式：

假定媒質(zhì)是各向同性，介質(zhì)的極化強(qiáng)度與電場五平行，即：

如果考慮材料的非線性效應(yīng)，以單一頻率入射的波不會導(dǎo)致克爾介質(zhì)中高階諧波的產(chǎn)生，則介質(zhì)的極化強(qiáng)度可以表示成如下形式：

在這里是折射率，是三階非線性極化率，他們的關(guān)系為

利用方程組（1）可得Kerr介質(zhì)中關(guān)于電場的如下非線性方程：

其中，是自由空間的波數(shù)是

真空中的光速。由于電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度是在交界面處是連續(xù)可導(dǎo)的，易推出如下邊界條件：

則我們要研究的一維光子晶體非線性效應(yīng)問題中電場強(qiáng)度滿足下面的邊界值問題（11）：

1.2模型求解方法

基于ZhengfuXu教授和GangBao教授在文中提出的穩(wěn)態(tài)逼近算法，問題（11）的求解等同與求解薛定諤方程（12）在邊界條件（13）和（14）下的解，其中方程是：

邊界條件是：

下面我們采用有限元法結(jié)合該穩(wěn)態(tài)迭代法求解這一問題。具體過程如下：

第一步：給定迭代誤差限，用有限元法求解，其中滿足方程：

以及邊界條件：

第二步：同樣用有限元法求解，其中滿足方程：

以及邊界條件：

第三步：將第二步得到的作為初始值即，求解下列非線性方程得

第四步：

第五步：如果進(jìn)行第六步，否和轉(zhuǎn)到第二；第六步：令，輸出五停止程序。

下面我們以第二步求解為例說明有限元求解步驟。對于方程：

當(dāng)時有和，和，則方程（19）可化為如下形式：

然后引入試探函數(shù)，對方程（20）兩邊同乘試探函數(shù)并在中積分得：

化簡得：

然后我們采用線性有限元離散可以求解得到.

2 雙穩(wěn)態(tài)效應(yīng)數(shù)值模擬的實(shí)現(xiàn)

2.1 算例分析

一般地，結(jié)構(gòu)中引入克爾非線性將改變?nèi)毕輩^(qū)域介質(zhì)的折射率進(jìn)一步影響透射率，當(dāng)非線性足夠強(qiáng)時將產(chǎn)生雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。在如圖1所示的結(jié)構(gòu)中，我們?nèi)〗Y(jié)構(gòu)模型為5。參考波長，也就是中間層就取了介質(zhì)B.其中，材料A的折射率%=1.25，材料B的折射率為=2.25.

介電常數(shù)。材料A三階非線性極化率；

材料B三階非線性極化率，材料A和材料B的厚度都是2/4（即缺陷層和非缺陷層厚度都是。記則有和。圖3給出了該數(shù)值模擬的結(jié)果。該圖顯示了透射率隨入射頻率的變化。當(dāng)入射頻率增大到某一數(shù)值時，透射率會迅速增大，跳躍到另一個值，此后繼續(xù)增大入射頻率，系統(tǒng)的透射率會緩慢到達(dá)一個相對穩(wěn)定的透射態(tài)。而當(dāng)入射頻率減小到另一數(shù)值時，透射率又會迅速下降之后進(jìn)入另一個相對穩(wěn)定狀態(tài)。兩跳躍點(diǎn)的閾值頻率不同，即對一給定頻率處在兩閾值頻率點(diǎn)之間的電磁波，它的透射率存在兩個穩(wěn)定的輸出值。

2.2 影響雙穩(wěn)態(tài)特性的參數(shù)

光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的一個重要課題是對閾值變化的研究。下面我們討論閾值的影響因素。首先我們來研究的影響，使用初始算例保證其他參數(shù)不變僅改變/的取值時得到圖形4。由圖4可見當(dāng)增大時閾值減小，因此選取非線性強(qiáng)度大的材料或者增強(qiáng)入射場強(qiáng)時能降低雙穩(wěn)態(tài)發(fā)生的閾值。

下面我們研究缺陷層厚度對閾值的影響。我們研究的結(jié)構(gòu)依然為。中間缺陷層B的厚度為.當(dāng)我們保證其他參數(shù)取值不變，改變的取值時得到圖5。由圖5可見當(dāng)增大中間層厚度時雙穩(wěn)態(tài)發(fā)生的閾值會減小，但是實(shí)際情況中我們要考慮整體結(jié)構(gòu)大小的影響，因此應(yīng)在適當(dāng)范圍內(nèi)增加中間層厚度這也將是我們下一步研究的課題。

本文給出了帶有缺陷的非線性光子晶體結(jié)構(gòu)模型的推導(dǎo)過程及數(shù)值分析。利用有限元方法結(jié)合穩(wěn)態(tài)算法展開數(shù)值模擬，可以觀察到帶缺陷的非線性光子晶體的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。研究結(jié)果顯示方法是收斂的。最后本文結(jié)合工程上的應(yīng)用，對簡單的一維光子晶體缺陷結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行分析，通過對簡單結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的改變發(fā)現(xiàn)：材料的非線性強(qiáng)度，入射場強(qiáng)度，中間層厚度對雙穩(wěn)態(tài)閾值有著重要影響。本文的研究成果對高效的光開關(guān)起到一定的指導(dǎo)作用。