田鎖勤

四邊形尤其是特殊的四邊形是初中階段重要的基本圖形，其性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用為證明線段或角的關(guān)系提供了豐富的途徑.但各種特殊四邊形之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，其與三角形的相關(guān)知識(shí)又密不可分，所以同學(xué)們?cè)谟龅剿倪呅蔚南嚓P(guān)問(wèn)題時(shí)常常會(huì)手忙腳亂，出現(xiàn)錯(cuò)誤也在所難免.本文旨在幫助同學(xué)們對(duì)四邊形有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行“糾錯(cuò)”，相信你認(rèn)真讀完一定會(huì)受益匪淺.

一、基本定理認(rèn)識(shí)不清

例1 下列命題中正確的有________（填序號(hào)）.

①一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形.

②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形.

③如果一個(gè)四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，那么這個(gè)四邊形一定是矩形.

④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

【錯(cuò)解】②③.

【剖析】本題考查的是特殊四邊形的有關(guān)性質(zhì)和判定.同學(xué)們要保持清醒的頭腦，看清實(shí)質(zhì)，依據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的區(qū)別與聯(lián)系進(jìn)行判斷.想當(dāng)然或是一知半解的同學(xué)就會(huì)做出上述錯(cuò)誤判斷.

①雖然不是能直接判定平行四邊形的方法，但可以證明結(jié)論是正確的.②中的條件都不能識(shí)別其為平行四邊形，那就更不可能是菱形了.③矩形的中點(diǎn)四邊形一定是菱形，但反之不一定.中點(diǎn)四邊形首先必是平行四邊形，其次其鄰邊的關(guān)系與原四邊形對(duì)角線的特殊關(guān)系相呼應(yīng)，所以本項(xiàng)只需這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等即可.④中包括識(shí)別這個(gè)四邊形為平行四邊形、矩形、菱形的條件，故正確.

【正解】①④.

二、圖形對(duì)稱性重視不夠

例2 在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使其與正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均能構(gòu)成等腰三角形，這樣的點(diǎn)P有________個(gè).

【錯(cuò)解】1.

【剖析】本題沒(méi)有圖，很多同學(xué)僅靠想象去尋找點(diǎn)P，認(rèn)為對(duì)角線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P所在的位置.實(shí)際上根據(jù)正方形的對(duì)稱性，點(diǎn)P在CD的垂直平分線l上時(shí)，必能構(gòu)成兩個(gè)等腰三角形，即△PCD和△PAB，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化成只需△PAD為等腰三角形即可.當(dāng)PA=PD時(shí)，點(diǎn)P在AD的垂直平分線上；當(dāng)PA=AD時(shí)，點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的圓上；當(dāng)PD=AD時(shí)，點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的圓上，如圖1，共有5個(gè)這樣的點(diǎn).同理在AD的垂直平分線上也存在這樣的5個(gè)點(diǎn)（其中一個(gè)點(diǎn)與P3重合），因此滿足條件的點(diǎn)P共有9個(gè).

圖1

【正解】9.

例3 如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2.△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（ ）.

圖2

【錯(cuò)解】B.

【剖析】沒(méi)有認(rèn)識(shí)到正方形的對(duì)稱性的同學(xué)可能會(huì)認(rèn)為點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PD+PE取得最小值，想當(dāng)然地選擇了B（事實(shí)上，此時(shí)PD+PE=2+3-1）.還有一些同學(xué)會(huì)認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)P、D、E在一條直線上時(shí)，PD+PE取得最小值，但又苦于求不出.其實(shí)根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱的點(diǎn)即為點(diǎn)B，連接BE交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE取得最小值，即BE的長(zhǎng)，由題意得BE=AB=2，故選A.

【正解】A.

三、分類討論考慮不周

例4 若?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，交?ABCD 相鄰兩邊于點(diǎn) E、F，AC=3，BD=8，設(shè)BP=x，EF=y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系是________.

【剖析】本題沒(méi)有圖，很多同學(xué)在根據(jù)題意畫圖求解時(shí)畫出圖3的情形，而實(shí)際上點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，點(diǎn)P還有可能在OD上，所以應(yīng)分兩種情況討論求解，即當(dāng)0≤x≤4時(shí)和當(dāng)4＜x≤8時(shí)，再利用相似求得函數(shù)關(guān)系式.另外，從EF長(zhǎng)度的變化來(lái)看，應(yīng)該是先由小變大再變小的過(guò)程，顯然原來(lái)的解沒(méi)有這一特征.

圖3

小試牛刀

1.下列命題中正確的是（ ）.

A.一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

D.對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

2.將五個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖4所示擺放，其中點(diǎn)A、B、C、D分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，如果有n個(gè)這樣大小的正方形這樣擺放，則陰影面積的總和是________cm2.

3.如圖5，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PE的最小值是________.

4.若平行四邊形一內(nèi)角的平分線分其一邊為3cm和4cm兩個(gè)部分，則該平行四邊形的周長(zhǎng)是________.

圖4

圖5