余旭紅

三角形是最簡(jiǎn)單、最基本的幾何圖形之一，在實(shí)際生活中隨處可見(jiàn).它不僅是研究其他圖形的基礎(chǔ)，還是初中幾何的重點(diǎn).如果我們能從其易錯(cuò)易混點(diǎn)入手，就能很好地掌握相關(guān)知識(shí)，提升解題能力.

易錯(cuò)點(diǎn)1 忽視構(gòu)成三角形的條件

例1 已知一個(gè)三角形有兩邊相等，且其中某兩邊長(zhǎng)分別是2cm和4cm，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【錯(cuò)解】這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為8cm和10cm.

【剖析】分兩種情況討論：

（1）當(dāng)相等兩邊長(zhǎng)均為2cm時(shí)，由于2+2=4，不符合“三角形任何兩邊的和大于第三邊”；

（2）當(dāng)相等兩邊長(zhǎng)均為4cm時(shí)，由于2+4＞4，此時(shí)能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為10cm.

【點(diǎn)評(píng)】求三角形的周長(zhǎng)時(shí)，必須考慮三角形三邊關(guān)系是否成立.

易錯(cuò)點(diǎn)2 忽視三角形高線位置的分類討論

例2 已知AD是△ABC的邊BC上的高線，∠BAD=70°，∠CAD=20°，則∠BAC=______.

【錯(cuò)解】∠BAC=90°.

圖1

圖2

【剖析】當(dāng)高AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)（如圖1），∵ ∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴ ∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；當(dāng)高AD在△ABC的外部時(shí)（如圖2），∵∠BAD=70°，∠CAD=20°，∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.綜上可知，∠BAC的度數(shù)為90°或50°.

【點(diǎn)評(píng)】三角形的高線因三角形的形狀不同而位置不同，對(duì)于與三角形高線有關(guān)的問(wèn)題，需根據(jù)三角形的具體形狀進(jìn)行分類討論.

易錯(cuò)點(diǎn)3 忽視全等三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系

例3 已知△ABC與△A′B′C′全等，其中∠A=60°，∠B′=40°，∠A′=80°，BC=3，則A′B′的長(zhǎng)為（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.不確定

【錯(cuò)解】D.

【剖析】由于思維定式，誤認(rèn)為A′B′=AB，且它們是未知的，故選D.

∵∠A′+∠B′+∠C′=180°，∠A′=80°，∠B′=40°，∴∠C′=60°，可得∠C′與∠A是對(duì)應(yīng)角，即邊A′B′與邊BC是對(duì)應(yīng)邊，則A′B′=BC=3.

【點(diǎn)評(píng)】在確定全等三角形的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊時(shí)，易受思維定式的影響而找錯(cuò)對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，應(yīng)根據(jù)角度相等找到對(duì)應(yīng)角，從而找到對(duì)應(yīng)邊.

易錯(cuò)點(diǎn)4 忽視三角形全等判別方法的正確應(yīng)用

例4 如圖3，在△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，且CD=BE.△ADC與△AEB全等嗎？說(shuō)明理由.

圖3

【錯(cuò)解】因?yàn)?AB=AC，BE=CD，∠BAE=∠CAD，所以△ADC≌△AEB（SSA）.

【剖析】錯(cuò)解在于把“SSA”作為三角形全等的判別方法.

【正解】△ADC≌△AEB.

∵AB=AC，D、E為AB、AC的中點(diǎn)，∴AD=AE.在△ADC和△AEB中，∵AB=AC，AD=AE，CD=BE，∴△ADC≌△AEB（SSS）.

【點(diǎn)評(píng)】判斷全等三角形的方法一般為“ASA”“SAS”“AAS”“SSS”“HL”.其中“HL”屬于直角三角形.很多同學(xué)在證明三角形全等的時(shí)候常常應(yīng)用并不成立的“SSA”定理.

易錯(cuò)點(diǎn)5 忽視等腰三角形、直角三角形問(wèn)題中的分類討論

例5 等腰三角形的一個(gè)外角為140°，那么底角等于（ ）.

A.40° B.100° C.70° D.40°或70°

【錯(cuò)解】A.

【剖析】等腰三角形的一個(gè)外角可以是底角的鄰補(bǔ)角，也可以是頂角的鄰補(bǔ)角.

【正解】D.

【點(diǎn)評(píng)】解決等腰三角形角的問(wèn)題時(shí)，注意根據(jù)頂角或底角的特征進(jìn)行分類討論；在解決等腰三角形邊的問(wèn)題時(shí)，注意根據(jù)腰或底邊的特征進(jìn)行分類討論.

例6 已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，求第三邊的長(zhǎng).

【錯(cuò)解】第三邊的長(zhǎng)為5.

【剖析】若3、4都為直角邊長(zhǎng)，則第三邊長(zhǎng)為 32+42=5；若3為直角邊，4為斜邊長(zhǎng)，則第三邊長(zhǎng)為 42-32=7.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)所給出的直角三角形的已知邊沒(méi)有具體指明是直角邊還是斜邊時(shí)，要分情況討論，防止漏解.

易錯(cuò)點(diǎn)6 忽視勾股定理的逆定理的正確理解

例7 判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形，其中

【錯(cuò)解】不是.

【點(diǎn)評(píng)】由邊長(zhǎng)關(guān)系判定直角三角形時(shí)，常常誤認(rèn)為以a、b、c為邊的三角形，只有當(dāng)a2+b2=c2時(shí)才是直角三角形，實(shí)際上只要存在兩邊的平方和等于第三邊的平方，就可判定一個(gè)三角形是直角三角形.

易錯(cuò)點(diǎn)7 忽視等腰三角形的性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用

例8 如圖4，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF.

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖4

【剖析】不能找到∠GDF=∠DFG，DE=EF，從而不能由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得到EG⊥DF.

【正解】（1）∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，∠DAE=∠FBE.

∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE.

∴△ADE≌△BFE.

（2）EG與DF的位置關(guān)系是EG⊥DF.

∵∠GDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，

∴∠GDF=∠BFE，

∴GD=GF.由（1）得DE=EF，∴EG⊥DF.

【點(diǎn)評(píng)】要證明一個(gè)三角形是等腰三角形，必須得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法主要有：①等角對(duì)等邊；②三角形全等；③利用垂直平分線的性質(zhì).在已知的等腰三角形中，應(yīng)靈活應(yīng)用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決線段之間的數(shù)量與位置關(guān)系.