薛建陽， 白福玉， 張錫成， 隋 ， 周超鋒

(西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055)

中國古建筑木結(jié)構(gòu)各構(gòu)件之間連接主要采用由榫頭和卯孔組成的榫卯節(jié)點構(gòu)造。榫卯節(jié)點的剛度變化屬于非線性變化。榫卯節(jié)點具有很好的抵抗水平推力作用，能夠有效減少結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)[1]。強震激勵，榫卯節(jié)點張合和榫頭拔出明顯，榫卯節(jié)點承載能力下降，榫卯連接柱架層變形增大，結(jié)構(gòu)倒塌危險性較大。在漫長的歷史長河中，由于歷史地震作用影響，榫卯節(jié)點松動、拔榫損傷，結(jié)構(gòu)整體抗震性能減弱，結(jié)構(gòu)剩余壽命縮短。確立榫卯節(jié)點的損傷剛度和提前辨識剛度參數(shù)，對古建筑損傷評估和維修保護具有重要指導(dǎo)意義。

王曉燕等[2]采用最小二乘和擴展卡爾曼濾波方法反演系統(tǒng)地震載荷和識別結(jié)構(gòu)動態(tài)參數(shù)。何浩祥等[3]用靜動力凝聚和擴展卡爾曼濾波對連續(xù)梁進行了剛度和阻尼損傷識別。趙博宇等[4]完成了擴展卡爾曼濾波算法對在噪聲較大環(huán)境下的結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼和剛度識別，更新了長期不確定振動臺模型。王鑫等[5]對隨機激勵作用下的古木結(jié)構(gòu)梁上各節(jié)點的加速度響應(yīng)信號進行小波包分解，提出了小波包能量曲率差損傷識別指標(biāo)，通過此指標(biāo)進行古木結(jié)構(gòu)的損傷識別。Weng等[6]提出了識別節(jié)點模態(tài)參數(shù)的子空間、有限元模型修正和非線性最小二乘結(jié)合的方法，這種方法識別過程耗時。Wu等[7]提出了加權(quán)最小二乘和貝葉斯結(jié)合的方法；Xu等[8]提出了節(jié)點損傷指數(shù)和二階特征靈敏度近似方法。刁延松等[9]利用振動傳遞率函數(shù)和統(tǒng)計假設(shè)檢驗對海洋平臺結(jié)構(gòu)進行了損傷識別研究。鄭澤棟等[10]利用結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)對結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的靈敏度實現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷識別。羅鈞等[11]根據(jù)單元損傷系數(shù)方程和約束線性最小二乘法對剪切型框架結(jié)構(gòu)損傷進行了定位和定量識別。

本文根據(jù)西安建筑科技大學(xué)古建筑抗震課題組1∶3.52殿堂式古建筑木結(jié)構(gòu)振動臺試驗?zāi)Ｐ停⒘私Y(jié)構(gòu)簡化力學(xué)模型，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程和觀測方程。振動臺試驗確定了地震作用下榫卯節(jié)點剛度損傷演化規(guī)律，利用靜動力凝聚方法建立了結(jié)構(gòu)剛度與榫卯節(jié)點剛度之間關(guān)系。進行了力錘敲擊測試試驗和仿真計算，獲得了結(jié)構(gòu)柱架層和乳栿層位移、速度和加速度響應(yīng)?？紤]噪信比5%噪聲干擾，利用偏最小二乘和擴展卡爾曼濾波方法對榫卯節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度進行了損傷識別。結(jié)果表明，基于偏最小二乘、擴展卡爾曼濾波和靜動力凝聚方法對榫卯節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度識別精度較高，具有較好適用性。

1 結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程和觀測方程

1.1 結(jié)構(gòu)簡化力學(xué)模型

忽略結(jié)構(gòu)空間平扭耦合作用，根據(jù)西安建筑科技大學(xué)古建筑抗震課題組1∶3.52殿堂式古建筑木結(jié)構(gòu)振動臺試驗設(shè)計模型，選取其一榀構(gòu)架為研究對象，建立平面簡化力學(xué)模型，如圖1所示。模型立柱與額枋榫卯連接用彈簧單元模擬，梁柱及斗拱用梁單元模擬，將結(jié)構(gòu)每個區(qū)域質(zhì)量分別集中于榫卯連接柱架層和乳栿層處。

圖1 平面簡化力學(xué)模型Fig.1 The simplified mechanical model of timber structure

1.2 結(jié)構(gòu)動力方程

(1)

設(shè)木材順紋抗彎彈性模量為E，梁枋截面慣性矩為IB、額枋截面慣性矩為IL、立柱截面慣性矩為IC，斗拱等效抗彎剛度為EIC，榫卯節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度為R，立柱高度為h1，斗拱鋪作層高度為h2，額枋和梁枋跨度為L，半剛性系數(shù)為μ。忽略梁柱軸向變形，考慮榫卯節(jié)點半剛性連接特性，根據(jù)Chopra等[12]給出的兩端半剛性連接桿件、一端鉸接一端固定桿件的剛度矩陣，組裝確定結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣[K]各元素

k33=k44=3EIC/h1+(4+12μ)EIL/(R*L)+4EID/h2;

k34=2EIL/(R*L)；

k35=2EID/h2;k36=0,k45=0；

k46=2EID/h2;k56=2EIB/L;

k55=k66=4EIB/L+4EID/h2;μ=EIL/(RL);

R*=1+8μ+12μ2。

1.3 結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程和觀測方程

動力方程分塊形式為

(2)

利用靜動力凝聚法，消除具有零質(zhì)量轉(zhuǎn)動項，凝聚后結(jié)構(gòu)動力方程為

(3)

將動力方程式(3)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程

(4)

令結(jié)構(gòu)柱架層和乳栿層平動速度δ3、δ4，將結(jié)構(gòu)剛度K11、K12(K21)、K22，阻尼比ζ和結(jié)構(gòu)固有頻率ω看成結(jié)構(gòu)的5個狀態(tài)向量，結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程

(5)

設(shè)結(jié)構(gòu)量測值分別為Z1、Z2，結(jié)構(gòu)觀測方程

(6)

2 剛度識別方法

觀測柱架層和乳栿層位移、速度和加速度響應(yīng)；獲得觀測矩陣H、剛度參數(shù)X、量測Z為

X=[K11K12K22]T

(8)

首先基于奇異值分解的偏最小二乘法(PLS-SVD)計算步驟如下：

步驟1H和Z進行標(biāo)準(zhǔn)化得到H0和Z0；

步驟3 計算H0的潛變量矩陣T和Z0的潛變量矩陣U，其中T=H0W，U=Z0C。

擴展卡爾曼濾波是用遞推狀態(tài)空間方程一階泰勒公式進行估計的一種方法，適用剪切型結(jié)構(gòu)體系參數(shù)識別。質(zhì)量已知的剪切型結(jié)構(gòu)體系，擴展卡爾曼濾波估計公式[13]為

(9)

式中：R為觀測噪聲；P為誤差協(xié)方差矩陣；Φ為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；G為增益矩陣。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(10)

式中：A為狀態(tài)雅可比矩陣；H為觀測雅可比矩陣；I為單位矩陣；Δt為采樣時間間隔。

3 榫卯節(jié)點剛度損傷分析

為了研究古建筑木結(jié)構(gòu)榫卯節(jié)點剛度在地震下的累積損傷，課題組制作了一個縮尺比為1∶3.52單層單開間殿堂結(jié)構(gòu)當(dāng)心間梁柱燕尾榫榫卯連接模型，如圖2所示，模型上面嵌固配重為14 kN/m2的鋼筋混凝土板作為等效屋蓋荷載，4塊柱礎(chǔ)固定在2.0 m×2.2 m的振動臺上。試驗中分別在臺面、柱腳、柱頂和乳栿處布置磁電式位移傳感器、磁電式速度傳感器和差容式加速度傳感器。對模型分別輸入50 gal、75 gal、100 gal、150 gal、200 gal、300 gal的El Centro波、Taft波、蘭州波，400 gal、500 gal、600 gal、800 gal、900 gal的El Centro地震波，獲得模型柱腳、柱架層、乳栿層在不同損傷工況下的位移、速度和加速度響應(yīng)。

圖2 古建筑木結(jié)構(gòu)振動臺試驗Fig.2 Shaking table test of ancient timber building

試驗表明，隨著地震作用增加，柱架層最大側(cè)移和榫頭拔出量越來越大，直至榫頭劈裂和卯口破壞，結(jié)構(gòu)模型倒塌。當(dāng)?shù)卣疠斎胄∮?50 gal時，榫卯節(jié)點轉(zhuǎn)動

不明顯；地震輸入200 gal時，榫卯節(jié)點轉(zhuǎn)動幅度較小，未出現(xiàn)拔榫；當(dāng)?shù)卣疠斎脒_300 gal時，柱架層最大側(cè)移28.28 mm，榫頭拔出量約為3 mm；如圖3所示；當(dāng)輸入激勵達600 gal時，柱架層最大側(cè)移56.782 mm，榫頭拔出量約為8 mm。

圖3 試驗現(xiàn)象Fig.3 The test phenomenon

根據(jù)加載過程榫卯節(jié)點轉(zhuǎn)動幅度，定義工況1為震前無損工況，工況2為200 gal地震加載完時刻工況，工況3為300 gal地震加載完時刻工況，工況4為600 gal El Centro波加載完時刻損傷工況。各工況榫卯節(jié)點的滯回曲線如圖4所示。

圖4 不同工況下榫卯節(jié)點的滯回曲線Fig.4 The moment-rotation curve of the node under different conditions

根據(jù)滯回曲線擬合榫卯節(jié)點的骨架曲線，確定各工況下榫卯節(jié)點的割線剛度如圖5所示，工況3的榫卯節(jié)點剛度損傷最大，初始剛度只有工況1的23.19%，屈服剛度只有工況1的11.31%；而工況4初始剛度較工況3增大；增大48.32%，屈服剛度較工況3減小，減小29.95%。說明隨著地震作用累積增加，榫頭從卯口拔出，榫頭受卯口擠壓加劇，榫卯節(jié)點初始剛度損傷程度先增大后減小，屈服剛度損傷程度一直增大。

圖5 不同工況榫卯節(jié)點割線剛度Fig.5 The secant stiffness of the node under different conditions

各工況榫卯節(jié)點轉(zhuǎn)動剛度如表1所示。地震前榫卯節(jié)點初始剛度279.8 kN·m/rad、地震后榫卯節(jié)點初始剛度最小為64.88 kN·m/rad，發(fā)現(xiàn)榫卯節(jié)點初始剛度變化范圍與不同松動程度下古建筑燕尾榫節(jié)點初始剛度試驗[14]50～300 kN·m/rad的范圍基本一致，說明了地震前后榫卯節(jié)點初始轉(zhuǎn)動剛度試驗結(jié)果的準(zhǔn)確性。

表1 不同工況下榫卯節(jié)點割線剛度值

根據(jù)靜動力凝聚方法，獲得了結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)K11與榫卯節(jié)點初始剛度R1近似關(guān)系，如圖6所示，四種工況剛度參數(shù)K11試驗值分別為107.99 kN/m、107.47 kN/m、102.87 kN/m、103.67 kN/m。

圖6 結(jié)構(gòu)剛度K11和節(jié)點剛度R1的關(guān)系Fig.6 Relationship between structural layer stiffness K11 and node stiffness R1

西安建筑科技大學(xué)古建筑課題組根據(jù)榫卯連接模型低周反復(fù)荷載試驗，擬合榫卯節(jié)點恢復(fù)力模型，獲得了榫卯節(jié)點初始剛度和屈服剛度呈一定的比例關(guān)系[15]。根據(jù)各工況榫卯節(jié)點割線剛度R1和R2，得到屈服前后割線剛度比例系數(shù)。如表2所示。

表2 R2和R1的比值

4 仿真算例

根據(jù)試驗?zāi)Ｐ徒⒎抡婺Ｐ停鐖D7所示。柱、額枋和梁枋用三維線性兩節(jié)點單元模擬；柱與額枋榫卯連接用非線性轉(zhuǎn)動彈簧單元模擬，柱腳與礎(chǔ)石滑移連

接用軸向彈簧、阻尼器、間隙單元及滑動器構(gòu)成組合單元模擬，斗拱用水平和豎向的彈簧-阻尼器單元模擬，連接彈簧單元和阻尼器假定為無質(zhì)量和尺寸。屋蓋質(zhì)量等效到乳栿相交四個節(jié)點上，用2D單元模擬。模型材料密度為550 kg/m3，材料順紋抗彎彈性模量為67.27 MPa，榫卯節(jié)點剛度根據(jù)表1定義，斗拱水平抗側(cè)剛度、豎向抗壓剛度由低周反復(fù)荷載試驗[16]和豎向承載力試驗[17]測得，柱腳與礎(chǔ)石的滑動摩擦系數(shù)取為0.4，四種工況下有限元仿真計算采用的阻尼比例系數(shù)從振動臺試驗獲得，分別為0.029、0.035、0.039和0.044。

圖7 木構(gòu)架有限元模型Fig.7 Finite element model of wooden building

由圖8可以看出，柱腳、榫卯連接柱架層和乳栿層加速度時程響應(yīng)曲線基本吻合，峰值出現(xiàn)的時刻和大小基本相同。由于仿真模型中未完全模擬榫卯節(jié)點的滯回關(guān)系，致使響應(yīng)曲線形狀和走向略有不同。無損工況下仿真模型自振頻率為1.88 Hz，與試驗獲得的一階自振頻率2.05 Hz比較，相對誤差為8.29%。由此可以說明，仿真模型可滿足計算精度要求。

圖8 加速度時程曲線Fig.8 The time history curve of the acceleration

圖9選取前6階自振頻率比較，發(fā)現(xiàn)隨節(jié)點損傷程度增加，前3階頻率變化較大，后3階頻率沒有變化。仿真計算振型結(jié)果顯示，第一階振型和第二階振型為平動，第三階振型為結(jié)構(gòu)的整體扭轉(zhuǎn)，第四階～第六階振型表現(xiàn)為斗拱的豎向振動。由于累積地震作用，榫卯節(jié)點剛度損傷變小，木結(jié)構(gòu)層間水平和豎向剛度損傷均變化明顯，結(jié)構(gòu)前3階自振頻率對應(yīng)的振型變化明顯。說明由于榫卯節(jié)點剛度損傷對結(jié)構(gòu)低頻振型敏感，計算中應(yīng)選取低頻部分的響應(yīng)作為剛度識別主要依據(jù)。

圖9 不同損傷下工況結(jié)構(gòu)自振頻率 Fig.9 Natural frequency of different damage simulation model

仿真模擬了脈沖力錘錘擊木結(jié)構(gòu)上混凝土配重塊，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生微振動響應(yīng)進行測試。忽略脈沖力錘的質(zhì)量影響，脈沖激勵如圖10所示，由于實際施加脈沖激勵時間很短，仿真計算中激勵時間取為0.2 s，結(jié)構(gòu)位移、速度和加速度響應(yīng)采樣時間設(shè)為10 s，時間步長為0.009 8 s。

圖10 脈沖激勵Fig.10 Pulsed excitation

比較不同損傷工況柱架層位移、速度和加速度響應(yīng)發(fā)現(xiàn)，各工況最大負(fù)位移-0.238 mm、-0.24 mm、-0.286 mm、-0.263 mm，出現(xiàn)時刻為0.107 s、0.107 s、0.205 s、0.205 s；最大正位移0.204 mm、0.209 mm、0.11 6mm、0.132 mm，出現(xiàn)時刻為0.420 s、0.430 s、0.701 s、0.520 s。

圖11 各工況榫卯連接柱架層位移響應(yīng)Fig.11 The time history curve of the column top under different conditions

圖11說明：隨榫卯節(jié)點剛度損傷加劇，柱架層負(fù)位移峰值增大，正位移峰值減小；工況3較工況1負(fù)位移峰值增大4.8%，正位移峰值減小35.3%，負(fù)位移峰值時間延后0.102 s，正位移峰值時間延后0.281 s。四種工況下結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)在4 s后都基本趨于平穩(wěn)。

5 榫卯節(jié)點剛度損傷識別

各工況質(zhì)量矩陣中：m11=250 kg，m22=3 600 kg；各工況剛度矩陣為

剛度矩陣上標(biāo)代表不同損傷工況，剛度單位為kN/m。假定阻尼比例系數(shù)已知，采樣點數(shù)取100個。在無噪聲干擾下，利用觀測得到的榫卯連接層位移、速度、加速度響應(yīng)組裝觀測矩陣和量測值，反演計算中觀測矩陣呈病態(tài)性，對其進行奇異值分解，選取奇異值分解階次為2，分離階數(shù)為1，利用偏最小二乘初步估計各工況剛度參數(shù)。

無干擾下，偏最小二乘法估計各工況K11的收斂曲線如圖12所示，若設(shè)error為相對誤差，則各工況K11識別值與真實值相對誤差均為0%。

error=(識別值-真實值)/真實值×100%

圖12 噪信比為0%時各工況的K11收斂曲線Fig.12 The convergence curves of K11 under different conditions with the noise-signal ratio 0%

在力錘敲擊測試模型響應(yīng)中，根據(jù)輸出噪聲均方根與不含噪純信號均方根之比，確定各階段噪信的比值約為5%。因此，模擬計算中在觀測位移、速度和加速度響應(yīng)中加入了噪信比為5%的高斯隨機噪聲。設(shè)定參數(shù)收斂區(qū)域K11識別值上限為108 kN/m，下限為102 kN/m，剔除識別結(jié)果中的超限不合理數(shù)據(jù)。四種工況剛度K11整體收斂性均較好，K11識別值分別為107.91 kN/m、107.35 kN/m、102.77 kN/m和103.57 kN/m，識別值與真實值相對誤差分別為-0.15%、-0.11%、-0.1%、-0.1%。

在近似估計基礎(chǔ)上，以上述近似識別值為初值，給定初始協(xié)方差和量測值，利用擴展卡爾曼濾波方法識別各工況結(jié)構(gòu)剛度K11結(jié)果如圖13和表3所示。

圖13 噪信比5%時各工況的K11收斂曲線Fig.13 The convergence curves of K11 under different conditions with the noise-signal ratio 5%

損傷工況R1損傷程度K11/(kN·m-1)error工況10．00%107．96-0．03工況28．50%107．42-0．05工況376．81%102．85-0．02工況465．61%103．64-0．03

榫卯連接柱架層水平位移識別如圖14所示，三種工況下柱架層水平位移識別值和真實值時程軌跡吻合較好，說明結(jié)構(gòu)剛度K11識別效果較好。

圖14 工況1時柱架層位移識別值與真實值的比較Fig.14 The comparison between identification value and test value of the column top displacement under 1st loading condition

由結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)K11與R1關(guān)系線性插值計算，進一步確定榫卯節(jié)點初始剛度R1識別值，再根據(jù)榫卯節(jié)點屈服前后剛度比例系數(shù)，確定R2損傷識別值。表4結(jié)果表明，脈沖激勵下靜動力凝聚、偏最小二乘和擴展卡爾曼濾波的混合算法能夠根據(jù)結(jié)構(gòu)位移和速度響應(yīng)對榫卯節(jié)點剛度進行損傷識別，識別結(jié)果精度較高，穩(wěn)定性較好，具有較好的適用性；隨榫卯節(jié)點地震損傷增加，初始剛度和屈服剛度識別值與試驗值相對偏差增大。

表4 榫卯節(jié)點剛度識別值

6 結(jié) 論

本文在西安建筑科技大學(xué)古建筑木結(jié)構(gòu)振動臺試驗基礎(chǔ)上，研究了古建筑木結(jié)構(gòu)榫卯節(jié)點剛度地震累積損傷規(guī)律?；陂久B接木結(jié)構(gòu)簡化力學(xué)模型，采用靜動力凝聚方法建立了結(jié)構(gòu)剛度與榫卯節(jié)點剛度之間關(guān)系，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程和觀測方程，采用PLS-SVD和擴展卡爾曼濾波方法研究了榫卯節(jié)點地震累積損傷識別，得到以下結(jié)論：

(1) 隨著結(jié)構(gòu)累積損傷加劇，榫頭從卯口拔出，榫頭受卯口擠壓加劇，榫卯節(jié)點屈服剛度損傷一直增加，榫卯節(jié)點初始剛度損傷先增大后減小。

(2) 榫卯節(jié)點損傷對低階頻率部分的振型敏感。隨著榫卯節(jié)點地震損傷增加，力錘激勵達峰值點所用時間越來越短；柱頭、柱腳、乳栿的位移和速度最大峰值越來越大。

(3) 在噪信比5%的噪聲干擾下，古建筑木結(jié)構(gòu)損傷識別結(jié)果表明，靜動力凝聚、偏最小二乘和擴展卡爾曼濾波的混合算法能定量識別木結(jié)構(gòu)剛度損傷程度，識別精度較高。

(4) 根據(jù)靜動力凝聚前后剛度矩陣可以準(zhǔn)確建立榫卯節(jié)點屈服前剛度與結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)比例關(guān)系，結(jié)合各工況榫卯節(jié)點屈服前后剛度比，可以確定榫卯節(jié)點屈服前后割線剛度損傷識別值。

(5) 僅在結(jié)構(gòu)某一位置施加脈沖激勵實際操作更簡單，識別結(jié)果穩(wěn)定性和適用性較好。力錘敲擊的人工激勵獲取微振動響應(yīng)方法可以在識別榫卯節(jié)點剛度參數(shù)中應(yīng)用。

[ 1 ] 薛建陽, 趙鴻鐵, 張鵬程. 中國古建筑木結(jié)構(gòu)模型的振動臺試驗研究[J]. 土木工程學(xué)報, 2004, 37(6): 6-11.

XUE Jianyang, ZHAO Hongtie, ZHANG Pengcheng. Study on the seismic behaviors of chinese ancient woodn buolding by shaking table test [J]. China Civil Engineering Journal, 2004, 37(6): 6-11.

[ 2 ] 王曉燕,黃維平,李華軍. 地震動反演及結(jié)構(gòu)參數(shù)識別的EKF算法[J]. 工程力學(xué), 2005, 22(4): 20-23.

WANG Xiaoyan, HUANG Weiping, LI Huajun. Inversion of ground motion and identification of structural parametersby EKF [J]. Engineering Mechanics, 2005, 22(4): 20-23.

[ 3 ] 何浩祥, 呂永偉, 韓恩圳. 基于靜動力凝聚及擴展卡爾曼濾波連續(xù)梁橋損傷識別[J]. 工程力學(xué), 2015, 32(7): 156-163.

HE Haoxiang, Lü Yongwei, HAN Enzhen. Damage detection for continuous girder bridge based on static-dynamic condensation and EKF [J]. Engineering Mechanics, 2015, 32(7): 156-163.

[ 4 ] 趙博宇,丁勇, 吳斌. 基于擴展卡爾曼估計算法的地震模擬振動臺模型識別[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(12): 145-

150.

ZHAO Boyu, DING Yong, WU Bin. Identification of shaking table model for seismic simulation based on an extended Kalman estimator [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(12): 145-150.

[ 5 ] 王鑫, 胡衛(wèi)兵, 孟昭博. 基于小波包能量曲率差的古木結(jié)構(gòu)損傷識別[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(7): 153-159.

WANG Xin, HU Weibing, MENG Zhaobo. Damage detection of an ancient wood structure based on wavelet packet energy curvature difference [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(7): 153-159.

[ 6 ] WENG J H, LOH C H,YANG J N. Experimental study of damage detection by data-driven subspace identification and finite-element model updating [J]. Journal of Structural Engineering, 2009, 15(12): 1533-1544.

[ 7 ] WU J R, LI Q S. Structural parameter identification and damage detection for a steel structure using a two-stage finite element model updating method [J]. Journal of Constructional Steel Research, 2006, 62: 231-239.

[ 8 ] XU Longhe, LI Zhongxian, QIAN Jianru. Test analysis of detection of damage to a complicated spatial model structure [J]. Acta Mechanica Sinica, 2011, 27(3): 399-405.

[ 9 ] 刁延松, 徐東鋒, 徐菁,等. 基于振動傳遞率函數(shù)與統(tǒng)計假設(shè)檢驗的海洋平臺結(jié)構(gòu)損傷識別研究[J]. 振動與沖擊, 2016,35(2): 218-222.

DIAO Yansong, XU Dongfeng, XU Jing, et al. Structural damage identification of offshore platform based on the vibration transmissibility function and statistical hypothesis testing [J] . Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(2): 218-222.

[10] 鄭澤棟, 陳偉歡, 呂中榮, 等. 基于功率譜靈敏度分析的結(jié)構(gòu)損傷識別方法[J]. 振動與沖擊, 2014,33(12): 76-79.

ZHENG Zedong, CHEN Weihuan, Lü Zhongrong, et al. Structural damage identification based on sensitivity analysis of power spectral density [J] . Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(12): 76-79.

[11] 羅鈞, 劉綱,黃宗明. 基于約束最小二乘法的剪切型框架結(jié)構(gòu)損傷識別新方法[J]. 振動與沖擊, 2016, 35(20): 119-124.

LUO Jun, LIU Gang, HUANG Zongming. Damage detection for a shear frame structure based on the constrained least squares method [J] . Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(20): 119-124.

[12] CHOPRA A K, NAEIM F. Dynamics of structures: theory and applications to earthquake engineering[M]. 3rd ed. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2007.

[13] 李國強, 李杰. 工程結(jié)構(gòu)動力檢測理論與應(yīng)用[M] . 北京: 科學(xué)出版社, 2002.

[14] 薛建陽,李義柱,夏海倫,等. 不同松動程度的古建筑燕尾榫節(jié)點抗震性能試驗研究[J]. 建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報, 2016, 37(4): 73-79.

XUE Jianyang, LI Yizhu, XIA Hailun, et al. Experimental study on seismic performance of dovetail joints with different loose degrees in ancient buildings [J]. Journal of Buiding Structures, 2016, 37(4): 73-79.

[15] 姚侃, 趙鴻鐵, 葛鴻鵬. 古建木結(jié)構(gòu)榫卯連接特性的試驗研究[J]. 工程力學(xué), 2006, 23 (10) : 168-173.

YAO Kan, ZHAO Hongtie, GE Hongpeng. Experimental studies on the characteristic of mortise-tenon joint in historic timber buildings [J]. Engineering Mchanics, 2006, 23(10): 168-173.

SUI Yan, ZHAO Hongtie, XUE Jianyang, et al. Experimental study on lateral stiffness of dougong layer in chinese historic buildings [J]. Engineering Mchanics, 2010, 27(3): 74-78 .

[17] 高大峰,趙鴻鐵,薛建陽. 中國木結(jié)構(gòu)古建筑的結(jié)構(gòu)及其抗震性能研究[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2008.