胡子豪，任 寧，俞 熹

(復(fù)旦大學(xué) 物理系，上海 200433)

復(fù)旦大學(xué)代表隊(duì)在2017年中國大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽(Chinaundergraduatephysicstournament，CUPT)中斬獲亞軍. 本文重點(diǎn)介紹了對CUPT課題5“Leidenfroststars”[1]的研究成果.

在萊頓弗羅斯特效應(yīng)下，放置在高溫表面的水滴能持續(xù)存在幾分鐘. 在特定情況下，這樣的水滴會發(fā)展出振蕩星形. 在高溫表面上發(fā)生萊頓弗羅斯特效應(yīng)的水滴有時(shí)會產(chǎn)生邊緣呈星形狀態(tài)的振蕩模式. 基于該現(xiàn)象，文獻(xiàn)[2-3]在一定的近似條件下求解了各個(gè)振蕩模式的本征頻率為

(1)

其中σ為水的表面張力系數(shù)，ρl為水的密度，R為液滴恢復(fù)到圓形的半徑，n為星形角數(shù). 將振蕩的實(shí)際頻率和該半徑、角數(shù)下的本征頻率理論值進(jìn)行對比，可以為探究液滴振蕩形成的物理機(jī)制提供思路. 大曲率凹曲面限制液滴的平動(dòng)，能夠使振蕩模式表現(xiàn)出較強(qiáng)的規(guī)律性，本文將探討一定溫度下振蕩模式的演化規(guī)律，并給出振蕩模式隨半徑的分布及振蕩頻率隨時(shí)間的變化. 文獻(xiàn)[4]將液滴與高溫表面之間的主要傳熱方式歸結(jié)于熱傳導(dǎo)，而本文將從理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)出發(fā)說明熱對流在該傳熱中的主導(dǎo)作用，并從伯努利原理出發(fā)對真實(shí)液滴的幾何形狀做出定性探討，為液滴幾何模型的修正提供思路.

1 實(shí)驗(yàn)原理

萊頓弗羅斯特效應(yīng)下，液滴下表面迅速蒸發(fā)形成的蒸汽層將使液滴懸浮而不直接與表面接觸. 懸浮液滴受到的摩擦阻力大大減小，其邊界也因不再受到底面界面張力的束縛而處于非浸潤的狀態(tài)，因此易受外界擾動(dòng)而產(chǎn)生復(fù)雜的運(yùn)動(dòng).

重力場中懸浮液滴的幾何形狀由邦德數(shù)決定，定義為

(2)

其中Δρ為氣液相密度差，σ為水的表面張力系數(shù)，L為特征長度. 邦德數(shù)表征液滴受到重力和表面張力的相對大小.Bo=1時(shí)，重力與表面張力平衡，定義此時(shí)的特征長度為毛細(xì)管長(忽略氣體密度)，即

(3)

萊頓弗羅斯特效應(yīng)下液滴溫度應(yīng)始終接近沸點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)測得為Tl=96 ℃，故表面張力系數(shù)取σ=58.9×10-3N/m，算得lC=2.5 mm. 由流體力學(xué)中的結(jié)論[4]，液滴半徑足夠大時(shí)，其厚度為定值，且為毛細(xì)管長的2倍，即H=2lC=5.0 mm. 液滴半徑較小時(shí)，表面張力的束縛使其不能產(chǎn)生振蕩. 將真實(shí)液滴的幾何形狀進(jìn)行適當(dāng)簡化，能夠避免過于繁復(fù)的數(shù)學(xué)計(jì)算，有助于討論該現(xiàn)象的物理本質(zhì). 故根據(jù)以上討論，不妨將萊頓弗羅斯特液滴近似為扁圓柱形(圖1)，并在之后的討論中沿用該近似.

圖1 液滴的近似幾何模型

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)采用的加熱裝置為控溫加熱板，可設(shè)置溫度為0～400 ℃. 測溫裝置為溫度計(jì)和K型溫差電偶，精確度為0.1 ℃. 實(shí)驗(yàn)采用5.0 mL注射器注入液體，注射器分度值為0.2 mL. 為減弱離子溶液的瑞利-泰勒不穩(wěn)定性[4]對液滴形狀的影響，用去離子水作為實(shí)驗(yàn)液體.

萊頓弗羅斯特效應(yīng)下液滴受到的摩擦力極小，為了將水滴固定在曲面上某處進(jìn)行觀測，選用下凹的金屬曲面進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 2種曲面的實(shí)物圖及尺寸圖如圖2所示.

(a)小曲率實(shí)物圖 (b) 大曲率實(shí)物圖

(c)小曲率尺寸圖

(d)大曲率尺寸圖圖2 實(shí)驗(yàn)用曲面

3 結(jié)果及分析

3.1 振蕩模式

實(shí)驗(yàn)中觀察到的振蕩模式如圖3～4所示. 實(shí)驗(yàn)顯示，大曲率曲面上液滴星形振蕩的產(chǎn)生表現(xiàn)出更強(qiáng)的規(guī)律性，且能夠在更大的半徑下出現(xiàn)角數(shù)更多的振蕩模式. 這是因?yàn)橄啾容^小曲率曲面，大曲率曲面有以下優(yōu)點(diǎn)：能夠限制液滴的平動(dòng)，能夠讓液滴邊緣的形狀接近圓形，曲面下凹能防止中央氣泡升起破壞液滴形狀. 因此，之后的研究都在大曲率曲面上進(jìn)行.

(a)n=2

(b)n=3 (c)n=4

(d)n=5 (e)n=6圖3 小曲率曲面上出現(xiàn)的振蕩模式

(a)n=2 (b)n=3

(c)n=4 (d)n=5

(e)n=6 (f)n=7

(g)n=8 (h)n=9圖4 大曲率曲面上出現(xiàn)的振蕩模式

3.2 振蕩的二維邊界條件

在極坐標(biāo)下對液滴某橫截面上的邊界進(jìn)行討論. 對于發(fā)生n角的振蕩模式的液滴，將其在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)1周，將與原形狀重合n次，這種性質(zhì)可以通過cos (nθ)來描述；另一方面，不妨設(shè)液滴某一徑向上邊界質(zhì)元的振動(dòng)滿足簡諧函數(shù). 由此便可以將液滴邊界條件表達(dá)為

r=R+Asin (ωt+φ) cos (nθ).

(4)

用Mathematica對(4)式作圖可以得到與振蕩水滴十分相似的形狀(圖5)，通過調(diào)節(jié)頻率和振幅，可以使其與發(fā)生星形振蕩的液滴完全重合，故認(rèn)為振蕩液滴的二維邊界條件可以用(4)式表示. 瑞利將液滴的邊界條件表示為[3]

r=α0+αncos (nθ)cos (kz),

(5)

對比(4)式和(5)式可知(5)式中αn即為(4)式中的Asin (ωt+φ)項(xiàng)；而cos (kz)則是出于對液滴不同厚度處振幅不相等的考慮.

(a)n=2 (b)n=3

(c)n=4 (d)n=5

(e)n=6 (f)n=7

(g)n=8 (h)n=9圖5 振蕩模式的二維邊界

3.3 振蕩液滴的本征頻率

假設(shè)振蕩的液滴具有以下性質(zhì)：無黏性不可壓縮流體；流速場無旋，存在速度勢；液滴近似為圓柱形，并結(jié)合3.2中得到的邊界條件，可以得到(1)式的本征頻率表達(dá)式. 由(1)式中各變量的關(guān)系可知，對于角數(shù)為n的振蕩模式，其本征頻率fn僅由液滴半徑R和角數(shù)n所決定. 測量了各振蕩模式發(fā)生時(shí)液滴的半徑和頻率，并由(1)式得到數(shù)據(jù)擬合方程為

(6)

圖6 振蕩頻率擬合

由圖6中可以看出，1/R3=y較小的數(shù)據(jù)點(diǎn)距離理論曲線較接近，而y較大的數(shù)據(jù)點(diǎn)對本征頻率理論值的偏離較大，這將在之后對液滴振蕩產(chǎn)生的物理機(jī)制進(jìn)行討論時(shí)給出解釋.

3.4 表面波與振蕩的機(jī)理

大量實(shí)驗(yàn)顯示，在液滴開始振蕩之前的較短的時(shí)間內(nèi)，其上、下表面常出現(xiàn)裸眼看來似乎靜止的“光圈”. 用400幀/s的高速攝像機(jī)進(jìn)行拍攝，發(fā)現(xiàn)“光圈”實(shí)際上是頻率較高的表面駐波. 它產(chǎn)生自蒸汽層與液滴下表面之間的開爾文-亥姆霍茲不穩(wěn)定性[2]表面波最終傳播到整個(gè)液滴表面，進(jìn)行疊加，穩(wěn)定時(shí)便形成駐波. 仔細(xì)觀察液滴由圓形進(jìn)入振蕩模式的過程，對星形振蕩的機(jī)理做出以下解釋：在一定條件下，表面波在包括液滴側(cè)邊緣的整個(gè)液滴表面發(fā)生穩(wěn)定干涉而形成駐波，振幅原本很小的表面波疊加成為肉眼可見且具有一定規(guī)律的表面波，使得液滴表面出現(xiàn)“光圈”，如圖7(a)所示；已有駐波存在的液滴邊緣由于外界的微小擾動(dòng)，從激勵(lì)點(diǎn)產(chǎn)生了在邊緣上向相反方向傳播的行波，行波在邊緣上進(jìn)行疊加，如圖7(b)所示；互相疊加的行波最終在邊緣上形成了穩(wěn)定的駐波，駐波的周期性體現(xiàn)為液滴的振蕩，如圖7(c)所示. 先前已有研究者將星形振蕩的產(chǎn)生歸結(jié)于液滴邊緣產(chǎn)生的駐波[5]，以上討論可以給出更加明確的物理圖像.

(a) (b)

(c)圖7 水滴進(jìn)入振蕩模式的過程

通過測量發(fā)現(xiàn)，“光圈”的頻率恰為星形振蕩實(shí)際頻率的2倍，故引入?yún)⒘抗舱衩枋鲂切握袷幃a(chǎn)生的物理機(jī)制[6]. 無阻尼時(shí)的參量共振方程為

(7)

其中q為小量，可以描述系統(tǒng)在參變激勵(lì)下對本征頻率的偏離程度. 通過數(shù)學(xué)分析，可以知道(7)式成立的條件為

由于q為小量，因此參變頻率對2ω0偏離不能過大. 如果考慮阻尼，如假設(shè)阻尼與系統(tǒng)的速度成正比，則又可得到

其中β為阻尼系數(shù)，這將使得對激勵(lì)頻率的選擇變得更加苛刻. 通過類似的分析可知,參變頻率Ω還可取2ω0/n，但由于范圍過小而不穩(wěn)定.

3.5 振蕩模式的演化規(guī)律

某次實(shí)驗(yàn)中，振蕩模式演化規(guī)律如圖8所示，即隨著液滴不斷蒸發(fā)，其半徑逐漸變小，液滴逐漸從大角數(shù)的振蕩模式過渡到小角數(shù)的振蕩模式(圖8僅示意大致范圍).

圖8 振蕩的演化規(guī)律

將不同溫度下各15次實(shí)驗(yàn)中各振蕩模式出現(xiàn)時(shí)的半徑R為橫軸，角數(shù)n為縱軸作圖(圖9)，即可得到一定溫度下角數(shù)隨半徑的分布關(guān)系：角數(shù)較大的振蕩模式趨向于在半徑較大時(shí)出現(xiàn).

圖9 振蕩模式隨半徑分布

說明：1次實(shí)驗(yàn)中并非會總出現(xiàn)某個(gè)最大角數(shù)及以下所有角數(shù)的穩(wěn)定的振蕩模式(如1次實(shí)驗(yàn)可能只依次出現(xiàn)角數(shù)為8，6，4，3的振蕩模式)，但是圖9給出了各振蕩模式出現(xiàn)的大致半徑范圍，每次實(shí)驗(yàn)當(dāng)液滴半徑達(dá)到該范圍時(shí)，即使不出現(xiàn)該振蕩模式，也會形成類似于該振蕩模式的形狀(與角數(shù)為n的振蕩模式類似是指，邊緣出現(xiàn)角數(shù)為n，但是各角的振蕩不同步，或者振蕩同步但是各角之間的大小差異較大，因而不形成穩(wěn)定的振蕩模式). 考慮到蒸汽層的不穩(wěn)定性及參量共振對激勵(lì)頻率要求之苛刻，這是不難理解的.

實(shí)驗(yàn)中有時(shí)會在n角振蕩的前后分別出現(xiàn)n-1角的振蕩模式. 換句話說，有時(shí)會在較大的半徑出現(xiàn)角數(shù)較小的振蕩模式. 這是因?yàn)閰⒘抗舱裨试SΩ≈2ω0/n，但是由于這時(shí)頻率的允許范圍過小，這些振蕩模式都會很快衰減而不穩(wěn)定. 圖10所示為1次實(shí)驗(yàn)中振蕩剛出現(xiàn)時(shí)頻率的變化(n=7的模式出現(xiàn)2次)，圖10中標(biāo)出了各點(diǎn)對應(yīng)的振蕩模式.

圖10 1次實(shí)驗(yàn)中的頻率變化

由圖10可知，液滴振蕩頻率隨時(shí)間呈總體下降，局部上升的趨勢. 結(jié)合(1)式來理解：在某一振蕩模式的持續(xù)的短時(shí)間內(nèi)，角數(shù)n不變，液滴半徑R因蒸發(fā)而減小，故液滴振蕩的頻率增加；時(shí)間較長時(shí)，液滴的角數(shù)n隨半徑減小由大變小，其頻率的影響超過半徑R，導(dǎo)致了振蕩頻率的減小.

以上分析也可以對星形振蕩的“不穩(wěn)定性”做出定性解釋：由于蒸發(fā)半徑不斷減小，一種振蕩模式要發(fā)生并持續(xù)下去，就要求其振蕩頻率在一段時(shí)間內(nèi)保持上升；而實(shí)驗(yàn)規(guī)律顯示振蕩頻率總體呈下降趨勢，恰與維持振蕩模式所要求的條件相反. 這就導(dǎo)致各種振蕩模式不易發(fā)生，即使發(fā)生，也不能長時(shí)間維持.

3.6 萊頓弗羅斯特液滴的熱力學(xué)模型

考慮到萊頓弗羅斯特效應(yīng)發(fā)生的熱力學(xué)背景，建立熱力學(xué)模型以探討溫度對該現(xiàn)象的影響十分必要. 這里主要探討液滴與熱表面之間的傳熱方式. 依然用圓柱模型做近似處理，可得底面積S、體積V與半徑R的關(guān)系：S=πR2，V=2SlC. 考慮到蒸汽層一般是熱的不良導(dǎo)體及其流體的特性，認(rèn)為熱傳導(dǎo)為二者間主要的傳熱方式，由此可以列出以下關(guān)系：

J=kSΔT，

(8)

(9)

其中，J為熱流密度，k為對流傳熱系數(shù)，L為水的潛熱. 可解得半徑隨時(shí)間變化關(guān)系為

(10)

對(10)式用直線進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖11所示.

圖11 半徑隨時(shí)間變化擬合結(jié)果

由于對流傳熱系數(shù)難以確定，從理論上計(jì)算斜率也相當(dāng)困難，但是擬合度0.99線性良好，說明(10)式能夠刻畫短時(shí)間內(nèi)半徑的變化結(jié)果，由此可以說明熱對流模型的正確性. 需要注意的是，當(dāng)時(shí)間過長時(shí)，由于液滴的半徑等條件發(fā)生變化，對流傳熱系數(shù)α發(fā)生較明顯的變化，導(dǎo)致線性關(guān)系不再成立.

3.7 真實(shí)液滴的幾何形狀

(11)

即某點(diǎn)的氣體溢出速率與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，蒸汽層越靠近邊緣處流速越大. 由伯努利原理，氣體流速大處壓強(qiáng)小，因此蒸汽層邊緣壓強(qiáng)小于中心處壓強(qiáng)，這將導(dǎo)致蒸汽層的中心處較厚而邊緣處較薄，導(dǎo)致液滴中間較薄而兩邊較厚(圖12)，而非呈現(xiàn)出之前假設(shè)的理想的圓柱體形狀.

圖12 真實(shí)液滴的幾何形狀

4 結(jié) 論

討論了萊頓弗羅斯特液滴的動(dòng)力學(xué)特性，提出了簡化的液滴幾何模型，通過軟件做圖分析了振蕩的二維邊界條件(4)式，這是求解液滴本征頻率的一個(gè)重要條件. 通過比較振蕩的實(shí)際頻率與本振頻率理論值以及觀察和測量伴隨振蕩出現(xiàn)的表面波，推測并驗(yàn)證了液滴的振蕩是表面波在邊緣疊加形成的駐波，并引入?yún)⒘抗舱衩枋鲆旱握袷幍臋C(jī)理. 參量共振可解釋實(shí)驗(yàn)中諸多現(xiàn)象：

1)表面波的頻率為振蕩頻率的2倍，這是因?yàn)閰⒘抗舱穹匠痰膮⒆冾l率為本征頻率的2倍.

2)半徑較大時(shí)，實(shí)際頻率與本征頻率接近，這是因?yàn)閰⒘抗舱耦l率對本征頻率的偏離是小量；而半徑較小時(shí)，振幅占半徑的比重過大，不滿足振幅偏離為小量的條件，振蕩體現(xiàn)出非線性振動(dòng)的特性，因而偏離本征頻率.

3)穩(wěn)定的振蕩模式比較難出現(xiàn)和維持，因?yàn)閰⒘抗舱裨试S的參變頻率的范圍很小.

4)有時(shí)較大半徑的液滴出現(xiàn)角數(shù)較小的振蕩模式，因?yàn)閰⒘抗舱裨试SΩ≈2ω0/n，但不穩(wěn)定.

用熱對流模型推導(dǎo)了液滴半徑隨時(shí)間的變化，實(shí)驗(yàn)值與理論符合良好. 從蒸汽層流速出發(fā)證實(shí)真實(shí)液滴的幾何形狀中間較薄而兩邊較厚.

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