胡子豪，任 寧，俞 熹

(復(fù)旦大學(xué) 物理系，上海 200433)

復(fù)旦大學(xué)代表隊在2017年中國大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽(Chinaundergraduatephysicstournament，CUPT)中斬獲亞軍. 本文重點介紹了對CUPT課題5“Leidenfroststars”[1]的研究成果.

在萊頓弗羅斯特效應(yīng)下，放置在高溫表面的水滴能持續(xù)存在幾分鐘. 在特定情況下，這樣的水滴會發(fā)展出振蕩星形. 在高溫表面上發(fā)生萊頓弗羅斯特效應(yīng)的水滴有時會產(chǎn)生邊緣呈星形狀態(tài)的振蕩模式. 基于該現(xiàn)象，文獻(xiàn)[2-3]在一定的近似條件下求解了各個振蕩模式的本征頻率為

(1)

其中σ為水的表面張力系數(shù)，ρl為水的密度，R為液滴恢復(fù)到圓形的半徑，n為星形角數(shù). 將振蕩的實際頻率和該半徑、角數(shù)下的本征頻率理論值進(jìn)行對比，可以為探究液滴振蕩形成的物理機(jī)制提供思路. 大曲率凹曲面限制液滴的平動，能夠使振蕩模式表現(xiàn)出較強(qiáng)的規(guī)律性，本文將探討一定溫度下振蕩模式的演化規(guī)律，并給出振蕩模式隨半徑的分布及振蕩頻率隨時間的變化. 文獻(xiàn)[4]將液滴與高溫表面之間的主要傳熱方式歸結(jié)于熱傳導(dǎo)，而本文將從理論推導(dǎo)和實驗出發(fā)說明熱對流在該傳熱中的主導(dǎo)作用，并從伯努利原理出發(fā)對真實液滴的幾何形狀做出定性探討，為液滴幾何模型的修正提供思路.

1 實驗原理

萊頓弗羅斯特效應(yīng)下，液滴下表面迅速蒸發(fā)形成的蒸汽層將使液滴懸浮而不直接與表面接觸. 懸浮液滴受到的摩擦阻力大大減小，其邊界也因不再受到底面界面張力的束縛而處于非浸潤的狀態(tài)，因此易受外界擾動而產(chǎn)生復(fù)雜的運動.

重力場中懸浮液滴的幾何形狀由邦德數(shù)決定，定義為

(2)

其中Δρ為氣液相密度差，σ為水的表面張力系數(shù)，L為特征長度. 邦德數(shù)表征液滴受到重力和表面張力的相對大小.Bo=1時，重力與表面張力平衡，定義此時的特征長度為毛細(xì)管長(忽略氣體密度)，即

(3)

萊頓弗羅斯特效應(yīng)下液滴溫度應(yīng)始終接近沸點，實驗測得為Tl=96 ℃，故表面張力系數(shù)取σ=58.9×10-3N/m，算得lC=2.5 mm. 由流體力學(xué)中的結(jié)論[4]，液滴半徑足夠大時，其厚度為定值，且為毛細(xì)管長的2倍，即H=2lC=5.0 mm. 液滴半徑較小時，表面張力的束縛使其不能產(chǎn)生振蕩. 將真實液滴的幾何形狀進(jìn)行適當(dāng)簡化，能夠避免過于繁復(fù)的數(shù)學(xué)計算，有助于討論該現(xiàn)象的物理本質(zhì). 故根據(jù)以上討論，不妨將萊頓弗羅斯特液滴近似為扁圓柱形(圖1)，并在之后的討論中沿用該近似.

圖1 液滴的近似幾何模型

2 實驗設(shè)計

實驗采用的加熱裝置為控溫加熱板，可設(shè)置溫度為0～400 ℃. 測溫裝置為溫度計和K型溫差電偶，精確度為0.1 ℃. 實驗采用5.0 mL注射器注入液體，注射器分度值為0.2 mL. 為減弱離子溶液的瑞利-泰勒不穩(wěn)定性[4]對液滴形狀的影響，用去離子水作為實驗液體.

萊頓弗羅斯特效應(yīng)下液滴受到的摩擦力極小，為了將水滴固定在曲面上某處進(jìn)行觀測，選用下凹的金屬曲面進(jìn)行實驗. 2種曲面的實物圖及尺寸圖如圖2所示.

(a)小曲率實物圖 (b) 大曲率實物圖

(c)小曲率尺寸圖

(d)大曲率尺寸圖圖2 實驗用曲面

3 結(jié)果及分析

3.1 振蕩模式

實驗中觀察到的振蕩模式如圖3～4所示. 實驗顯示，大曲率曲面上液滴星形振蕩的產(chǎn)生表現(xiàn)出更強(qiáng)的規(guī)律性，且能夠在更大的半徑下出現(xiàn)角數(shù)更多的振蕩模式. 這是因為相比較小曲率曲面，大曲率曲面有以下優(yōu)點：能夠限制液滴的平動，能夠讓液滴邊緣的形狀接近圓形，曲面下凹能防止中央氣泡升起破壞液滴形狀. 因此，之后的研究都在大曲率曲面上進(jìn)行.

(a)n=2

(b)n=3 (c)n=4

(d)n=5 (e)n=6圖3 小曲率曲面上出現(xiàn)的振蕩模式

(a)n=2 (b)n=3

(c)n=4 (d)n=5

(e)n=6 (f)n=7

(g)n=8 (h)n=9圖4 大曲率曲面上出現(xiàn)的振蕩模式

3.2 振蕩的二維邊界條件

在極坐標(biāo)下對液滴某橫截面上的邊界進(jìn)行討論. 對于發(fā)生n角的振蕩模式的液滴，將其在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)1周，將與原形狀重合n次，這種性質(zhì)可以通過cos (nθ)來描述；另一方面，不妨設(shè)液滴某一徑向上邊界質(zhì)元的振動滿足簡諧函數(shù). 由此便可以將液滴邊界條件表達(dá)為

r=R+Asin (ωt+φ) cos (nθ).

(4)

用Mathematica對(4)式作圖可以得到與振蕩水滴十分相似的形狀(圖5)，通過調(diào)節(jié)頻率和振幅，可以使其與發(fā)生星形振蕩的液滴完全重合，故認(rèn)為振蕩液滴的二維邊界條件可以用(4)式表示. 瑞利將液滴的邊界條件表示為[3]

r=α0+αncos (nθ)cos (kz),

(5)

對比(4)式和(5)式可知(5)式中αn即為(4)式中的Asin (ωt+φ)項；而cos (kz)則是出于對液滴不同厚度處振幅不相等的考慮.

(a)n=2 (b)n=3

(c)n=4 (d)n=5

(e)n=6 (f)n=7

(g)n=8 (h)n=9圖5 振蕩模式的二維邊界

3.3 振蕩液滴的本征頻率

假設(shè)振蕩的液滴具有以下性質(zhì)：無黏性不可壓縮流體；流速場無旋，存在速度勢；液滴近似為圓柱形，并結(jié)合3.2中得到的邊界條件，可以得到(1)式的本征頻率表達(dá)式. 由(1)式中各變量的關(guān)系可知，對于角數(shù)為n的振蕩模式，其本征頻率fn僅由液滴半徑R和角數(shù)n所決定. 測量了各振蕩模式發(fā)生時液滴的半徑和頻率，并由(1)式得到數(shù)據(jù)擬合方程為

(6)

圖6 振蕩頻率擬合

由圖6中可以看出，1/R3=y較小的數(shù)據(jù)點距離理論曲線較接近，而y較大的數(shù)據(jù)點對本征頻率理論值的偏離較大，這將在之后對液滴振蕩產(chǎn)生的物理機(jī)制進(jìn)行討論時給出解釋.

3.4 表面波與振蕩的機(jī)理

大量實驗顯示，在液滴開始振蕩之前的較短的時間內(nèi)，其上、下表面常出現(xiàn)裸眼看來似乎靜止的“光圈”. 用400幀/s的高速攝像機(jī)進(jìn)行拍攝，發(fā)現(xiàn)“光圈”實際上是頻率較高的表面駐波. 它產(chǎn)生自蒸汽層與液滴下表面之間的開爾文-亥姆霍茲不穩(wěn)定性[2]表面波最終傳播到整個液滴表面，進(jìn)行疊加，穩(wěn)定時便形成駐波. 仔細(xì)觀察液滴由圓形進(jìn)入振蕩模式的過程，對星形振蕩的機(jī)理做出以下解釋：在一定條件下，表面波在包括液滴側(cè)邊緣的整個液滴表面發(fā)生穩(wěn)定干涉而形成駐波，振幅原本很小的表面波疊加成為肉眼可見且具有一定規(guī)律的表面波，使得液滴表面出現(xiàn)“光圈”，如圖7(a)所示；已有駐波存在的液滴邊緣由于外界的微小擾動，從激勵點產(chǎn)生了在邊緣上向相反方向傳播的行波，行波在邊緣上進(jìn)行疊加，如圖7(b)所示；互相疊加的行波最終在邊緣上形成了穩(wěn)定的駐波，駐波的周期性體現(xiàn)為液滴的振蕩，如圖7(c)所示. 先前已有研究者將星形振蕩的產(chǎn)生歸結(jié)于液滴邊緣產(chǎn)生的駐波[5]，以上討論可以給出更加明確的物理圖像.

(a) (b)

(c)圖7 水滴進(jìn)入振蕩模式的過程

通過測量發(fā)現(xiàn)，“光圈”的頻率恰為星形振蕩實際頻率的2倍，故引入?yún)⒘抗舱衩枋鲂切握袷幃a(chǎn)生的物理機(jī)制[6]. 無阻尼時的參量共振方程為

(7)

其中q為小量，可以描述系統(tǒng)在參變激勵下對本征頻率的偏離程度. 通過數(shù)學(xué)分析，可以知道(7)式成立的條件為

由于q為小量，因此參變頻率對2ω0偏離不能過大. 如果考慮阻尼，如假設(shè)阻尼與系統(tǒng)的速度成正比，則又可得到

其中β為阻尼系數(shù)，這將使得對激勵頻率的選擇變得更加苛刻. 通過類似的分析可知,參變頻率Ω還可取2ω0/n，但由于范圍過小而不穩(wěn)定.

3.5 振蕩模式的演化規(guī)律

某次實驗中，振蕩模式演化規(guī)律如圖8所示，即隨著液滴不斷蒸發(fā)，其半徑逐漸變小，液滴逐漸從大角數(shù)的振蕩模式過渡到小角數(shù)的振蕩模式(圖8僅示意大致范圍).

圖8 振蕩的演化規(guī)律

將不同溫度下各15次實驗中各振蕩模式出現(xiàn)時的半徑R為橫軸，角數(shù)n為縱軸作圖(圖9)，即可得到一定溫度下角數(shù)隨半徑的分布關(guān)系：角數(shù)較大的振蕩模式趨向于在半徑較大時出現(xiàn).

圖9 振蕩模式隨半徑分布

說明：1次實驗中并非會總出現(xiàn)某個最大角數(shù)及以下所有角數(shù)的穩(wěn)定的振蕩模式(如1次實驗可能只依次出現(xiàn)角數(shù)為8，6，4，3的振蕩模式)，但是圖9給出了各振蕩模式出現(xiàn)的大致半徑范圍，每次實驗當(dāng)液滴半徑達(dá)到該范圍時，即使不出現(xiàn)該振蕩模式，也會形成類似于該振蕩模式的形狀(與角數(shù)為n的振蕩模式類似是指，邊緣出現(xiàn)角數(shù)為n，但是各角的振蕩不同步，或者振蕩同步但是各角之間的大小差異較大，因而不形成穩(wěn)定的振蕩模式). 考慮到蒸汽層的不穩(wěn)定性及參量共振對激勵頻率要求之苛刻，這是不難理解的.

實驗中有時會在n角振蕩的前后分別出現(xiàn)n-1角的振蕩模式. 換句話說，有時會在較大的半徑出現(xiàn)角數(shù)較小的振蕩模式. 這是因為參量共振允許Ω≈2ω0/n，但是由于這時頻率的允許范圍過小，這些振蕩模式都會很快衰減而不穩(wěn)定. 圖10所示為1次實驗中振蕩剛出現(xiàn)時頻率的變化(n=7的模式出現(xiàn)2次)，圖10中標(biāo)出了各點對應(yīng)的振蕩模式.

圖10 1次實驗中的頻率變化

由圖10可知，液滴振蕩頻率隨時間呈總體下降，局部上升的趨勢. 結(jié)合(1)式來理解：在某一振蕩模式的持續(xù)的短時間內(nèi)，角數(shù)n不變，液滴半徑R因蒸發(fā)而減小，故液滴振蕩的頻率增加；時間較長時，液滴的角數(shù)n隨半徑減小由大變小，其頻率的影響超過半徑R，導(dǎo)致了振蕩頻率的減小.

以上分析也可以對星形振蕩的“不穩(wěn)定性”做出定性解釋：由于蒸發(fā)半徑不斷減小，一種振蕩模式要發(fā)生并持續(xù)下去，就要求其振蕩頻率在一段時間內(nèi)保持上升；而實驗規(guī)律顯示振蕩頻率總體呈下降趨勢，恰與維持振蕩模式所要求的條件相反. 這就導(dǎo)致各種振蕩模式不易發(fā)生，即使發(fā)生，也不能長時間維持.

3.6 萊頓弗羅斯特液滴的熱力學(xué)模型

考慮到萊頓弗羅斯特效應(yīng)發(fā)生的熱力學(xué)背景，建立熱力學(xué)模型以探討溫度對該現(xiàn)象的影響十分必要. 這里主要探討液滴與熱表面之間的傳熱方式. 依然用圓柱模型做近似處理，可得底面積S、體積V與半徑R的關(guān)系：S=πR2，V=2SlC. 考慮到蒸汽層一般是熱的不良導(dǎo)體及其流體的特性，認(rèn)為熱傳導(dǎo)為二者間主要的傳熱方式，由此可以列出以下關(guān)系：

J=kSΔT，

(8)

(9)

其中，J為熱流密度，k為對流傳熱系數(shù)，L為水的潛熱. 可解得半徑隨時間變化關(guān)系為

(10)

對(10)式用直線進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖11所示.

圖11 半徑隨時間變化擬合結(jié)果

由于對流傳熱系數(shù)難以確定，從理論上計算斜率也相當(dāng)困難，但是擬合度0.99線性良好，說明(10)式能夠刻畫短時間內(nèi)半徑的變化結(jié)果，由此可以說明熱對流模型的正確性. 需要注意的是，當(dāng)時間過長時，由于液滴的半徑等條件發(fā)生變化，對流傳熱系數(shù)α發(fā)生較明顯的變化，導(dǎo)致線性關(guān)系不再成立.

3.7 真實液滴的幾何形狀

(11)

即某點的氣體溢出速率與該點到圓心的距離成正比，蒸汽層越靠近邊緣處流速越大. 由伯努利原理，氣體流速大處壓強(qiáng)小，因此蒸汽層邊緣壓強(qiáng)小于中心處壓強(qiáng)，這將導(dǎo)致蒸汽層的中心處較厚而邊緣處較薄，導(dǎo)致液滴中間較薄而兩邊較厚(圖12)，而非呈現(xiàn)出之前假設(shè)的理想的圓柱體形狀.

圖12 真實液滴的幾何形狀

4 結(jié) 論

討論了萊頓弗羅斯特液滴的動力學(xué)特性，提出了簡化的液滴幾何模型，通過軟件做圖分析了振蕩的二維邊界條件(4)式，這是求解液滴本征頻率的一個重要條件. 通過比較振蕩的實際頻率與本振頻率理論值以及觀察和測量伴隨振蕩出現(xiàn)的表面波，推測并驗證了液滴的振蕩是表面波在邊緣疊加形成的駐波，并引入?yún)⒘抗舱衩枋鲆旱握袷幍臋C(jī)理. 參量共振可解釋實驗中諸多現(xiàn)象：

1)表面波的頻率為振蕩頻率的2倍，這是因為參量共振方程的參變頻率為本征頻率的2倍.

2)半徑較大時，實際頻率與本征頻率接近，這是因為參量共振頻率對本征頻率的偏離是小量；而半徑較小時，振幅占半徑的比重過大，不滿足振幅偏離為小量的條件，振蕩體現(xiàn)出非線性振動的特性，因而偏離本征頻率.

3)穩(wěn)定的振蕩模式比較難出現(xiàn)和維持，因為參量共振允許的參變頻率的范圍很小.

4)有時較大半徑的液滴出現(xiàn)角數(shù)較小的振蕩模式，因為參量共振允許Ω≈2ω0/n，但不穩(wěn)定.

用熱對流模型推導(dǎo)了液滴半徑隨時間的變化，實驗值與理論符合良好. 從蒸汽層流速出發(fā)證實真實液滴的幾何形狀中間較薄而兩邊較厚.

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