劉成周 鄧岳君 駱葉成

(紹興文理學院物理系,紹興 312000)

1 引 言

黑洞的熵譜和面積譜是黑洞量子性質的重要內容.通過考慮黑洞吸收或釋放試驗粒子,貝肯斯坦(Bekenstein)首先提出了最小面積增量為ΔA=ε?的黑洞事件視界的等間距面積譜[1,2].其中,ε是一個無量綱常數(shù),?為普朗克常量,且采用了c=G=1的自然單位制.進一步,貝肯斯坦指出,對于一個均勻緩慢演化的黑洞,視界面積是一個絕熱不變量[3,4].也就是說,相比于外部的擾動變量,黑洞自身的面積變化是非常緩慢的.根據(jù)Ehrenfest原理,任何經(jīng)典的絕熱不變量都對應一個有離散譜的量子屬性.這樣可以得出黑洞面積是量子化的,面積量子是ε?.并且,用這種方法得出的面積增量是

將貝肯斯坦面積譜(1)與黑洞的貝肯斯坦-霍金(Bekenstein-Hawking,B-H)公式

相結合,則可得到等間距的黑洞熵譜

將黑洞視界面積的絕熱不變性和黑洞的準正則模相結合,Kunstatter[5]提出了一個黑洞絕熱不變變量公式.該公式表明,對于一個能量為E和擾動頻率為ω(E)的系統(tǒng)而言,自然地有一個絕熱不變量

黑洞的準正則模是黑洞受外界擾動時產(chǎn)生的一系列由黑洞本身參數(shù)確定的特征頻率[6].作為一個半經(jīng)典極限,可以把一個具有躍遷頻率的黑洞考慮為一個周期性的絕熱經(jīng)典系統(tǒng),且該經(jīng)典系統(tǒng)的周期由黑洞的準正則模給出.這樣,通過玻爾-索末菲量子化通則,可得到作用量I=2πn?,由此可計算出黑洞熵譜和面積譜.應當指出,利用準正則模研究黑洞量子化的方法是由Hod[7,8]首先提出的.基于玻爾的對應原理,Hod認為,黑洞的高阻尼準正則模對應于系統(tǒng)的量子躍遷,并且漸近的準正則模的實部對應于黑洞的量子躍遷頻率.這樣,讓黑洞的能量變化等于輻射能量,就可以得到黑洞的面積譜.進一步,Maggiro[9]認為,在半經(jīng)典的極限下,黑洞的躍遷頻率應當對應作為復數(shù)的準正則模的絕對值.而對處于高激發(fā)態(tài)的黑洞,準正則模的虛部遠大于實部,從而黑洞的特征頻率應該來自準正則模的虛部.這是黑洞量子化的準正則模方法的一個重要進展.另外,文獻[10]也較早地指出用準正則模的虛部給出黑洞的特征頻率.利用準正則模的虛部給出黑洞的特征頻率,將其代入(4)式的絕熱不變量,并對該絕熱不變量進行量子化,可以得到與原始貝肯斯坦譜(1)式一致的黑洞面積譜[9,11,12].利用黑洞準正則模和絕熱不變性相結合,對黑洞量子化和黑洞光譜學,在多種時空中進行了廣泛研究[13?21].

另外,受貝肯斯坦關于黑洞面積是一個絕熱不變量觀點的啟發(fā),在黑洞量子譜的研究方面,人們還提出了不同的獲得黑洞絕熱不變量的公式和方法[22?27].其中,通過考慮粒子在事件視界上的隧穿,Majhi和Vegenas[27]給出黑洞的一個絕熱不變量

其中pi是坐標qi的共軛動量,q0=τ是歐氏時間,qr=r是徑向坐標.對于不帶電的靜態(tài)球對稱黑洞,將玻爾-索末菲量子化通則應用于作用不變量(5)式,得到了(3)式所表示的黑洞熵譜[27].這樣,通過給出一種絕熱不變性,Majhi和Vegenas[27]提出了研究黑洞量子化的一種簡便方法.利用這種方法,不使用黑洞的準正則模就可以得到黑洞的量子化譜.考慮作用變量的正則不變性,(5)式的絕熱不變量被表述為[28]

其中qi是歐氏空間中的動力學自由度.這里的積分路徑是封閉的,回路靠近且包圍事件視界.在靜態(tài)球對稱時空中,利用絕熱不變量(6)式,可得到與利用(5)式一致的黑洞熵譜與面積譜[28].利用(5)和(6)式,在不同時空中計算和分析黑洞的絕熱不變的作用量,Majhi和Vegenas的方法得到了應用和推廣[27?32].在不同的時空中,均得到了(3)式的等間距熵譜,但在考慮黑洞熵的量子修正等引力量子效應時,得到的面積譜是非等間距的,出現(xiàn)了對面積量子(1)式的修正和偏離.

本文將Majhi和Vegenas研究黑洞光譜學的方法應用到引力彩虹時空中的Kerr黑洞.引力彩虹時空具有通過粒子能量依賴性體現(xiàn)的時空量子效應.本文的主要目的是考察時空的能量依賴性對轉動時空光譜學的影響.通過給出引力彩虹Kerr黑洞的絕熱不變量公式(6)并對其量子化,不考慮黑洞的準正則模,得到了黑洞的熵譜和面積譜.結果表明,引力彩虹Kerr黑洞的熵譜沒有粒子能量的依賴性,是與原始貝肯斯坦譜(3)式相同的等間距譜.然而,受時空量子效應的影響,面積譜是依賴于黑洞面積的非等間距譜.結果表明,隨著黑洞面積的減少,面積間隔將減少.而當忽略時空的量子效應時,面積譜可以回到等間距的原始貝肯斯坦譜(1)式.通過分析面積譜,給出了普朗克量級的黑洞最小面積.而且得到當黑洞達到最小面積時,面積間隔為零,這表示黑洞輻射的停止和黑洞剩余的出現(xiàn).與黑洞熵譜一致的是,面積譜也沒有粒子能量的依賴性.對引力彩虹Kerr黑洞的熵進行了討論,得到了包含修正項的黑洞熵表達式.可以看出,黑洞熵的修正與黑洞面積譜的修正均來自時空的量子效應,具有內在一致性.本文第2部分簡要介紹引力彩虹時空;第三部分計算引力彩虹Kerr黑洞的作用量和熵譜;第四部分給出Kerr黑洞的面積譜,并討論黑洞剩余和黑洞熵;最后是總結和討論.文中采用G=KB=c=1的自然單位制.

2 引力彩虹時空

引力彩虹是時空量子化的一種具體體現(xiàn).實現(xiàn)引力與量子理論的統(tǒng)一是當前理論物理面臨的重大挑戰(zhàn).一般認為,存在一個具有普朗克長度量級的最小長度單元是量子引力的一個基本特征[33],這可從量子引力的基本理論和結果中得到體現(xiàn).作為量子引力理論的兩個主要候選者,弦理論[34,35]和圈量子引力[36]均給出了具有普朗克長度量級的最小可觀測長度.另一方面,黑洞物理是量子引力理論的重要試驗場.考慮引力的量子效應,用半經(jīng)典方法研究黑洞物理的量子修正,有可能為量子引力理論的最終形成提供有價值的借鑒和參考.這方面有許多新的嘗試和進展[37?46].

最小可觀測長度的存在引發(fā)了對狹義相對論的修改,并導致了修改狹義相對論的出現(xiàn)[47?51].修改狹義相對論不但要求存在不變的最高速度——光速,而且要求有不變的最高能量——普朗克能量,因此也被稱為雙狹義相對論.作為修改狹義相對論的主要內容,通常的能量動量不變關系式被修改為

其中,E表示粒子的能量,EP為普朗克能量,p和m分別為粒子的動量和質量.可以看出,在修改狹義相對論中,具有不同能量的粒子將具有不同形式的能量動量關系式,也就說,修改的色散關系是能量依賴的.

修改的色散關系是在動量空間進行定義的,為了給出與該非線性的動量變換定理所在的動量空間對偶的坐標空間,提出了彩虹度規(guī)[52,53].彩虹度規(guī)可以通過要求動量和無限小位移的縮并滿足線性不變關系而得到.相應的平直時空度規(guī)可表示為

(8)式表明,時空線元以粒子的能量為參量,用不同能量的粒子作探測粒子,將會對時空有不同的有效描述,該能量依賴的度規(guī)族被稱為彩虹度規(guī).這就是說,與動量空間對偶的不是單一的時空,而是一個能量依賴的時空族.將彩虹度規(guī)推廣到包含引力的情況,就可以得到引力彩虹[53].在引力彩虹時空中的Schwarzschild黑洞度規(guī)為

其中,M表示黑洞的質量.與平直的彩虹度規(guī)類似,在引力彩虹時空中,通常的經(jīng)典Schwarzschild黑洞時空被由E/EP作為參數(shù)的單參度規(guī)族所取代.這樣,彎曲時空幾何就獲得了具有能量依賴性的有效描述.

引力彩虹的能量依賴性體現(xiàn)了引力彩虹的時空量子效應,而且是通過能量函數(shù)f(E/EP)和g(E/EP)來具體表示.對于修改的色散關系和引力彩虹中能量函數(shù)的具體函數(shù)形式,已有多種方案被提出[54].但是,在不同的方案中,f(E/EP)和g(E/EP)都將在低能極限下趨于1.這樣,修改的色散關系式就可以在低能極限下回歸到通常的能量動量關系式,引力彩虹也回到通常的經(jīng)典時空.其中,Amelino-Camelia等[55,56]提出

式中η為無量綱常數(shù).對該修改的色散關系及其對應的彩虹時空的含義和理論背景已有深入探討[56].接下來,利用(10)式表達的修改色散關系,討論引力彩虹時空中Kerr黑洞光譜學的量子引力效應.

3 引力彩虹時空中Kerr黑洞的熵譜

經(jīng)典Kerr黑洞由總質量M和總角動量J兩個參數(shù)來描述.在引力彩虹時空中,Kerr黑洞的軸對稱度規(guī)在Boyer-Lindquist坐標下可表示為[57]

其中,ρ2≡r2+a2cos2θ,Δ≡r2+a2?2Mr,a=J/M是單位質量的角動量.

令Δ≡0,可得黑洞的視界半徑為

顯然,引力彩虹Kerr黑洞的視界位置與經(jīng)典Kerr黑洞的情況相同.

在經(jīng)典Kerr黑洞中,黑洞溫度為

而在引力彩虹時空中,溫度可以修改為[58?60]

可以看出,黑洞的溫度具有粒子能量依賴性,不同能量的粒子對黑洞的溫度具有不同的有效描述.

接下來,計算粒子在引力彩虹Kerr黑洞視界上的隧穿作用量.考慮到Kerr黑洞中參考性的拖拽效應,視界附近的物質場會被引力場拖拽.這樣,為了在Kerr黑洞中給出(6)式表示的絕熱不變作用量,應采用拖拽坐標系.利用拖拽坐標變換

得到拖拽的引力彩虹Kerr黑洞線元為

這其實是一個三維超曲面.而為了方便利用(6)式,變換t→iτ,其中i為虛數(shù)單位.可以得到(16)式對應的歐幾里得線元

在拖拽坐標系中,坐標φ不再出現(xiàn).這就是說,對于處于該轉動時空中的物質-引力系統(tǒng),坐標φ是一個可遺坐標[61,62].為了消除這一坐標對粒子隧穿的影響,絕熱不變作用量(6)式應寫為

其中,pr和pφ為分別對應坐標r和φ的共軛動量,

為了對(18)式進行計算,利用哈密頓方程將動量用能量取代,

為了方便完成(23)式對時間的積分,可以利用事件視界的基本特征.考慮到在包含視界的環(huán)路上,歐幾里得時間積分等于?乘以霍金溫度的倒數(shù)[63],則有

利用Kerr黑洞的熱力學第一定律

則(24)式變?yōu)?/p>

接下來,對(26)式表達的黑洞絕熱不變作用量應用Bohr-Sommer field量子化規(guī)則

其中n=1,2,3,···.這樣,就可以得到引力彩虹時空中Kerr黑洞的熵譜為

可以看出,在引力彩虹時空中,Kerr黑洞的熵譜是等間隔的,且與原始貝肯斯坦譜(1)式相同.而且,這里的結果也與應用Majhi和Vegenas的方法得到的其他黑洞的熵譜相同[27?32].盡管力彩虹時空本身是能量依賴的,但其中的Kerr黑洞熵譜獨立于測試粒子的能量.

4 引力彩虹時空中Kerr黑洞的面積譜

黑洞的面積譜可以從熵譜和熵面積關系得到.如果使用(2)式的B-H公式,則根據(jù)(29)式的熵譜,可以得到面積譜

顯然,這是與貝肯斯坦的原始結果(1)式相同的等間隔面積譜.當然這也與經(jīng)典情況下的Kerr黑洞的結果相同.

然而,考慮到修改的色散關系的影響,引力彩虹時空中Kerr黑洞的熵面積關系應該具有對B-H熵的量子修正.這樣,引力彩虹Kerr黑洞的面積譜也應該具有相應的來自時空量子效應的影響.接下來對此進行分析和討論.

對于引力彩虹Kerr黑洞,注意到a=J/M,則(25)式的熱力學第一定律可以寫為

這里,考慮了黑洞輻射過程中保持角動量與質量比值不變的情況[61,62].而應用(10)式的修正的色散關系,黑洞溫度可以表示為

(32)式中,探測粒子的能量E可以等同于黑洞視界附近的粒子能量,而該能量可以從來自不確定原理的限制得到[64,65].考慮粒子的動量位置不確定原理Δp≥ ?/Δx,則有粒子能量E≥ ?/Δx.黑洞視界附近粒子的坐標不確定度由視界半徑給出,且表示為Δx≈r+.這樣就有輻射粒子的能量

黑洞視界附近的粒子形成了黑洞的霍金輻射,這就是說可以用黑洞的溫度給出探測粒子的特征能量.對于Schwarzschild黑洞,A=4πr2+,則有

這里,作為對黑洞量子引力效應的一般性分析與討論,對于Kerr黑洞,采用與Schwarzschild黑

洞一樣的方式來給出探測粒子能量[66],且使用面積公式

這樣,引力彩虹Kerr黑洞的溫度就可表示為

類似地,取視界上的角速度為

將(36),(37)式代入(31)式,可得

利用(12)式,并將輻射過程中黑洞單位質量的角動量視為常量,可得

這樣,將(39),(35)式代入(38)式,則有

將(41)式與黑洞熵譜(29)式相結合,則有引力彩虹Kerr黑洞的面積譜

顯然,這是與原始貝肯斯坦面積譜(1)式不同的非等間距譜,該面積譜是黑洞視界面積的函數(shù).

從(42)式可以看出,隨著黑洞面積的減小,面積間隔會變小,以面積譜的非等間距性和對面積的依賴性為特征的面積譜修正效應逐步明顯.特別是隨著黑洞的不斷輻射,當黑洞的尺度達到普朗克量級,且當

時,會有

從而得到

此時面積間隔消失.但面積量子為零,并不意味著面積經(jīng)典連續(xù)變化的出現(xiàn),而是表明黑洞面積不再減小,黑洞達到了最小尺度.因為,從(43),(44)與(42)式可以看出,要求有物理意義的面積譜,則需要有A≥Amin,Amin是彩虹引力黑洞的最小面積.也就是說,黑洞面積達到Amin時,黑洞出現(xiàn)了輻射剩余.

另外,從(34)式可以看到,當A=Amin,有

這樣,從(32)式可以看到,此時有黑洞溫度

這表明黑洞輻射停止,剩余出現(xiàn).這與利用量子引力效應對黑洞剩余的研究結果相一致[64?67].

不考慮色散關系的修正效應,當η→0時,從面積譜(42)式可以得到與原始貝肯斯坦面積譜(1)式一樣的結果.另外,對于大黑洞,對(42)式做級數(shù)展開,可有

(48)式第一項即為貝肯斯坦面積譜(1)式的結果,第二、三項及以后各項為面積譜對貝肯斯坦面積譜的偏離和修正.這是與考慮量子修正效應的黑洞面積譜一致的結果[27].如果取n=2,則第一項修正為面積的倒數(shù)項,第二項修正為面積倒數(shù)的平方.修正項隨著面積的增大而減少,在大黑洞極限下修正項可以忽略,從而面積譜(48)式可以回到貝肯斯坦面積譜.

可以看出,面積譜(42)式對貝肯斯坦面積譜的修改和偏離來自引力彩虹的量子效應.這樣,這里修改的面積譜即為黑洞面積譜的量子修正,而且應與黑洞物理的其他量子效應相關,特別是應與黑洞熵的量子修正相一致.實際上,不考慮引力彩虹的量子效應,令η=0,從(40)式可以得到dS=dA/4?,從而得到(2)式的B-H熵,此時引力彩虹Kerr黑洞具有與經(jīng)典Kerr黑洞一樣的熵表達式,而此時的面積譜也與原始貝肯斯坦譜一樣.考慮時空的量子效應,(40)式表示的熵面積關系就對B-H熵有偏離和修正.對(40)式做大黑洞展開,則有

可以看出,對(49)式取零級近似并進行積分,即可得到B-H熵

對第二項和第三項積分,可得到黑洞熵量子修正的第二、三項為

這樣,就有引力彩虹Kerr黑洞的熵表達式

可以看出,黑洞熵的修正項來自引力彩虹時空的量子效應,且為黑洞面積的函數(shù),但沒有時空本身具有的粒子能量依賴性.令n=2,則第一項修正為面積的倒數(shù)項,第二項修正為面積倒數(shù)的三次方.隨著面積的增大,修正項減小,而隨著黑洞面積的減小,修正項增大.這是與(48)式的黑洞面積譜的量子修正一致的結果.實際上,黑洞熵與面積譜的修正均來自引力彩虹時空的量子效應,具有內在一致性.

給出黑洞的B-H熵及其量子修正是各種量子引力理論的一般要求和結果[68,69].人們希望量子引力理論不僅可以給出面積定律的理論解釋,而且可以揭示黑洞熵量子修正的一般特征.通過一般的量綱分析,可以預期大黑洞有面積倒數(shù)冪律譜形式的對B-H熵的修正[68],從而有修正黑洞熵表達式

其中,系數(shù)cn不依賴于視界面積但與普朗克長度有關.而基于量子引力理論具體分析和黑洞量子性質的具體研究,給出的黑洞熵一般還具有面積的對數(shù)修正,且對數(shù)項為黑洞熵量子修正的主導項[58?60,68?72],從而有如下形式的量子修正熵:

其中,系數(shù)c0和cn與具體量子引力理論模式有關.比如,利用Cardy公式計算黑洞視界上的統(tǒng)計熵,在考慮量子修正的情況下,得到了多種黑洞的對數(shù)修正熵[70?72].利用修正色散關系,通過引力彩虹的Schwarzschild黑洞中的熱力學分析,也可以給出黑洞熵的對數(shù)修正[58?60].

可以看出,這里給出的量子修正熵(53)式與(54)式的預期一致,但沒有(55)式中的面積對數(shù)項.一般而言,黑洞熵的量子修正,在一定程度上與分析黑洞量子性質的具體理論和計算方法有關[58?60,68?72].但是,給出黑洞熵的面積對數(shù)修正項是黑洞熵量子修正的較普遍的研究結果.而且,在引力彩虹Schwarzschild黑洞中,也可以給出黑洞熵的面積對數(shù)項[58?60].這里,在引力彩虹的Kerr黑洞中,沒有給出熵的對數(shù)修正,可能與本文采用的具體理論形式和計算處理有關.本文采用的(10)式表示的修正色散關系與文獻[58—60]中的有所不同.修正色散關系的具體形式對黑洞熵修正項具體表達式的影響還需要做進一步分析.Kerr黑洞有比較復雜的結構,文中采用了(49)式的級數(shù)展開并做了分項積分,還采用了(34)和(35)式的不等式簡化,相應的處理和計算結果在定量上還需要進一步討論.

5 結果與討論

將Majhi和Vegenas給出的通過絕熱不變作用量研究黑洞光譜學的方法,應用到引力彩虹時空中的Kerr黑洞,研究了修正色散關系對轉動黑洞熵譜和面積譜的影響.計算了引力彩虹Kerr黑洞的正則不變的作用量,并且對該作用量應用Bohr-Sommer field量子化規(guī)則,在不使用黑洞的準正則模的情況下,得到了引力彩虹時空中轉動黑洞的熵譜.所得的熵譜(28)式是與原始的貝肯斯坦熵譜(3)式一樣的等間距熵譜,這與經(jīng)典Kerr黑洞和其他利用絕熱不變的作用量在不同時空中得到的熵譜結果相同.而且,盡管引力彩虹Kerr黑洞是能量依賴的,但是熵譜獨立于測試粒子的能量,這說明引力彩虹時空的量子效應,不影響轉動黑洞的熵譜.這樣,在說明黑洞熵譜的統(tǒng)一性方面,本文通過考察引力彩虹Kerr黑洞的情況提供了一個例證.

由于引力彩虹時空具有量子效應,得到的彩虹Kerr黑洞的面積譜(42)式與原始貝肯斯坦譜(3)式不同,是依賴于黑洞面積的不等間距譜,這是與通常的Kerr黑洞中的面積譜不同的結果.但當忽略修正色散關系效應時,面積譜(42)式可以回到普通黑洞的情況,并可以得到與原始貝肯斯坦譜一樣的等間隔譜.另外,與黑洞熵譜相同,引力彩虹Kerr黑洞的面積譜也沒有粒子能量依賴性.考慮時空的量子效應時,隨著黑洞輻射的進行,黑洞的面積間隔將逐步變小.當黑洞達到普朗克尺度的最小面積時,面積量子變?yōu)榱?最小面積是引力彩虹時空面積譜有物理意義的黑洞面積下限,從而說明了黑洞剩余的出現(xiàn).同時,當黑洞面積最小時,有黑洞溫度為零,引力彩虹黑洞將不再輻射粒子,說明黑洞出現(xiàn)具有最小面積的輻射剩余.而且,黑洞接近普朗克量級時,溫度接近零,輻射粒子的能量也趨于零,面積的改變也就趨于零.這也說明黑洞剩余的存在,并且與其他利用引力的量子效應對黑洞輻射剩余的研究結果相一致.對引力彩虹Kerr黑洞的熵進行了討論,得到了偏離B-H熵的修正黑洞熵,而且熵修正與面積譜的修正相對應和一致.黑洞面積譜和黑洞熵的修正項均與黑洞面積有關,且與面積的倒數(shù)成正比.黑洞面積譜與黑洞剩余的關系值得進一步研究.

[1]Bekenstein J D 1972Lett.Nuovo.Cim.4 737

[2]Bekenstein J D 1973Phys.Rev.D7 2333

[3]Bekenstein J D 1974Lett.Nuovo Cim.11 467

[4]Bekenstein J D 1998 arXiv:gr-qc/9808028

[5]Kunstatter G 2003Phys.Rev.Lett.90 161301

[6]Nollert H P 1999Class.Quant.Grav.16 R159

[7]Hod S 1998Phys.Rev.Lett.81 4293

[8]Hod S 1998Phys.Rev.D59 024014

[9]Maggiore M 2008Phys.Rev.Lett.100 141301

[10]Wang B,Lin C Y,Molina C 2004Phys.Rev.D70 064025

[11]Medved A J M 2008Class.Quantum Grav.25 205014

[12]Vagenas E C 2008JHEP2008 073

[13]Ropotenko K 2010Phys.Rev.D82 044037

[14]Kothawala D,Padmanabhan T,Sarkar S 2008Phys.Rev.D78 104018

[15]Wei S W,Li R,Liu Y X,Ren J R 2009JHEP2009 076

[16]Li W B,Xu L X,Lu J B 2009Phys.Lett.B676 177

[17]Jing J L,Ding C K 2008Chin.Phys.Lett.25 858

[18]Pan Q Y,Jing J L 2005Chin.Phys.B14 268

[19]Chen J H,Wang Y J 2010Chin.Phys.B19 060401

[20]Wei S W,Liu Y X,Yang K,Zhong Y 2010Phys.Rev.D81 104042

[21]Liu C Z 2012Eur.Phys.J.C72 2009

[22]Barvinsky A,Das S,Kunstatter G 2001Class.Quant.Grav.18 4845

[23]Barvinsky A,Das S,Kunstatter G 2002Found.Phys.32 1851

[24]Ropotenko K 2009Phys.Rev.D80 044022

[25]Kwon Y,Nam S 2010Class.Quant.Grav.27 125007

[26]Louko J,Makela J 1996Phys.Rev.D54 4982

[27]Majhi B R,Vagenas E C 2011Phys.Lett.B701 623

[28]Liu C Z 2012Chin.Phys.B21 070401

[29]Li L 2012Int.J.Ther.Phys.51 1924

[30]Liu C Z 2012Mod.Phys.Lett.A27 1250139

[31]Zeng X X,Liu W B 2012Eur.Phys.J.C72 1987

[32]Qi D J 2014Astrophys.Space.Sci.349 33

[33]Garay L J 1995Int.J.Mod.Phys.A10 145

[34]Gross D J,Mende P F 1988Nucl.Phys.B303 407

[35]Witten E 1997Phys.Today49 24

[36]Smolin L 2004 arXiv:hep-th.0408048

[37]Ali A F,Faizal M,Khalil M M 2014JHEP2014 159

[38]Ali A F,Faizal M,Khalil M M 2015Phys.Lett.B743 295

[39]Gangopadhyay S,Dutta A,Saha A 2014Gen.Rel.Grav.46 1661

[40]Dutta A,Gangopadhyay S 2014Gen.Rel.Grav.46 1747

[41]Gangopadhyay S,Dutta A,Faizal M 2015Euro.Phys.Lett.112 20006

[42]Dutta A,Gangopadhyay S 2016Int.J.Theo.Phys.55 2746

[43]Ma H,Li J 2017Chin.Phys.B26 60401

[44]Chen N S,Zhang J Y 2015Chin.Phys.B24 020401

[45]Ibungochouba S T 2015Chin.Phys.B24 70401

[46]Ye B B,Chen J H,Wang Y J 2017Chin.Phys.B26 90202

[47]Amelino-Camelia G 2002Int.J.Mod.Phys.D11 35

[48]Amelino-Camelia G 2001Phys.Lett.B510 255

[49]Kowalski-Glikman J 2001Phys.Lett.A286 391

[50]Magueijo J,Smolin L 2002Phys.Rev.Lett.88 190403

[51]Magueijo J,Smolin L 2003Phys.Rev.D67 044017

[52]Kimberly D,Magueijo J,Medeiros J 2004Phys.Rev.D70 084007

[53]Magueijo J,Smolin L 2004Class.Quant.Grav.21 1725

[54]Heuson C 2006 arXiv:gr-qc/0606124

[55]Amelino-Camalia G,Ellis N E,Mavromatos D V 1997Int.J.Mod.Phys.A12 607

[56]Amelino-Camalia G 2013Living.Rev.Rel.16 5

[57]Altamirano N,Kubiznak D,Mann R B,Sherkatghanad Z 2014Galaxies2 89

[58]Ling Y,Li X,Hu B 2007Mod.Phys.Lett.A22 2749

[59]Ling Y,Hu B,Li X 2006Phys.Rev.D73 087702

[60]Liu C Z,Zhu J Y 2008Gen.Relat.Gravit.40 1899

[61]Zhang J Y,Zhao Z 2005Mod.Phys.Lett.A20 1673

[62]Jiang Q Q,Wu S Q,Cai X 2006Phys.Rev.D73 064003

[63]Gibbons G W,Hawking S W 1977Phys.Rev.D15 2752

[64]Adler R J,Chen P,Santiago D I 2001Gen.Rel.Grav.33 2101

[65]Amelino-Camelia G,Arzano M,Procaccini A 2004Phys.Rev.D70 107501

[66]Ali A F,Mohammed M F,Khalil M 2015Nucl.Phys.B894 341

[67]Ali A F 2014Phys.Rev.D89 104040

[68]Kaul R K,Majumder P 2000Phys.Rev.Lett.84 5255

[69]Don N 2005Page,New.J.Phys.7 203

[70]Jing J L,Yan M L 1999Phys.Rev.D60 084015

[71]Carlip S 2000Class.Quant.Grav.17 4175

[72]Jing J L,Yan M L 2000Phys.Rev.D63 024003