劉成周 鄧岳君 駱葉成

(紹興文理學(xué)院物理系,紹興 312000)

1 引 言

黑洞的熵譜和面積譜是黑洞量子性質(zhì)的重要內(nèi)容.通過(guò)考慮黑洞吸收或釋放試驗(yàn)粒子,貝肯斯坦(Bekenstein)首先提出了最小面積增量為ΔA=ε?的黑洞事件視界的等間距面積譜[1,2].其中,ε是一個(gè)無(wú)量綱常數(shù),?為普朗克常量,且采用了c=G=1的自然單位制.進(jìn)一步,貝肯斯坦指出,對(duì)于一個(gè)均勻緩慢演化的黑洞,視界面積是一個(gè)絕熱不變量[3,4].也就是說(shuō),相比于外部的擾動(dòng)變量,黑洞自身的面積變化是非常緩慢的.根據(jù)Ehrenfest原理,任何經(jīng)典的絕熱不變量都對(duì)應(yīng)一個(gè)有離散譜的量子屬性.這樣可以得出黑洞面積是量子化的,面積量子是ε?.并且,用這種方法得出的面積增量是

將貝肯斯坦面積譜(1)與黑洞的貝肯斯坦-霍金(Bekenstein-Hawking,B-H)公式

相結(jié)合,則可得到等間距的黑洞熵譜

將黑洞視界面積的絕熱不變性和黑洞的準(zhǔn)正則模相結(jié)合,Kunstatter[5]提出了一個(gè)黑洞絕熱不變變量公式.該公式表明,對(duì)于一個(gè)能量為E和擾動(dòng)頻率為ω(E)的系統(tǒng)而言,自然地有一個(gè)絕熱不變量

黑洞的準(zhǔn)正則模是黑洞受外界擾動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的一系列由黑洞本身參數(shù)確定的特征頻率[6].作為一個(gè)半經(jīng)典極限,可以把一個(gè)具有躍遷頻率的黑洞考慮為一個(gè)周期性的絕熱經(jīng)典系統(tǒng),且該經(jīng)典系統(tǒng)的周期由黑洞的準(zhǔn)正則模給出.這樣,通過(guò)玻爾-索末菲量子化通則,可得到作用量I=2πn?,由此可計(jì)算出黑洞熵譜和面積譜.應(yīng)當(dāng)指出,利用準(zhǔn)正則模研究黑洞量子化的方法是由Hod[7,8]首先提出的.基于玻爾的對(duì)應(yīng)原理,Hod認(rèn)為,黑洞的高阻尼準(zhǔn)正則模對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的量子躍遷,并且漸近的準(zhǔn)正則模的實(shí)部對(duì)應(yīng)于黑洞的量子躍遷頻率.這樣,讓黑洞的能量變化等于輻射能量,就可以得到黑洞的面積譜.進(jìn)一步,Maggiro[9]認(rèn)為,在半經(jīng)典的極限下,黑洞的躍遷頻率應(yīng)當(dāng)對(duì)應(yīng)作為復(fù)數(shù)的準(zhǔn)正則模的絕對(duì)值.而對(duì)處于高激發(fā)態(tài)的黑洞,準(zhǔn)正則模的虛部遠(yuǎn)大于實(shí)部,從而黑洞的特征頻率應(yīng)該來(lái)自準(zhǔn)正則模的虛部.這是黑洞量子化的準(zhǔn)正則模方法的一個(gè)重要進(jìn)展.另外,文獻(xiàn)[10]也較早地指出用準(zhǔn)正則模的虛部給出黑洞的特征頻率.利用準(zhǔn)正則模的虛部給出黑洞的特征頻率,將其代入(4)式的絕熱不變量,并對(duì)該絕熱不變量進(jìn)行量子化,可以得到與原始貝肯斯坦譜(1)式一致的黑洞面積譜[9,11,12].利用黑洞準(zhǔn)正則模和絕熱不變性相結(jié)合,對(duì)黑洞量子化和黑洞光譜學(xué),在多種時(shí)空中進(jìn)行了廣泛研究[13?21].

另外,受貝肯斯坦關(guān)于黑洞面積是一個(gè)絕熱不變量觀點(diǎn)的啟發(fā),在黑洞量子譜的研究方面,人們還提出了不同的獲得黑洞絕熱不變量的公式和方法[22?27].其中,通過(guò)考慮粒子在事件視界上的隧穿,Majhi和Vegenas[27]給出黑洞的一個(gè)絕熱不變量

其中pi是坐標(biāo)qi的共軛動(dòng)量,q0=τ是歐氏時(shí)間,qr=r是徑向坐標(biāo).對(duì)于不帶電的靜態(tài)球?qū)ΨQ黑洞,將玻爾-索末菲量子化通則應(yīng)用于作用不變量(5)式,得到了(3)式所表示的黑洞熵譜[27].這樣,通過(guò)給出一種絕熱不變性,Majhi和Vegenas[27]提出了研究黑洞量子化的一種簡(jiǎn)便方法.利用這種方法,不使用黑洞的準(zhǔn)正則模就可以得到黑洞的量子化譜.考慮作用變量的正則不變性,(5)式的絕熱不變量被表述為[28]

其中qi是歐氏空間中的動(dòng)力學(xué)自由度.這里的積分路徑是封閉的,回路靠近且包圍事件視界.在靜態(tài)球?qū)ΨQ時(shí)空中,利用絕熱不變量(6)式,可得到與利用(5)式一致的黑洞熵譜與面積譜[28].利用(5)和(6)式,在不同時(shí)空中計(jì)算和分析黑洞的絕熱不變的作用量,Majhi和Vegenas的方法得到了應(yīng)用和推廣[27?32].在不同的時(shí)空中,均得到了(3)式的等間距熵譜,但在考慮黑洞熵的量子修正等引力量子效應(yīng)時(shí),得到的面積譜是非等間距的,出現(xiàn)了對(duì)面積量子(1)式的修正和偏離.

本文將Majhi和Vegenas研究黑洞光譜學(xué)的方法應(yīng)用到引力彩虹時(shí)空中的Kerr黑洞.引力彩虹時(shí)空具有通過(guò)粒子能量依賴性體現(xiàn)的時(shí)空量子效應(yīng).本文的主要目的是考察時(shí)空的能量依賴性對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)空光譜學(xué)的影響.通過(guò)給出引力彩虹Kerr黑洞的絕熱不變量公式(6)并對(duì)其量子化,不考慮黑洞的準(zhǔn)正則模,得到了黑洞的熵譜和面積譜.結(jié)果表明,引力彩虹Kerr黑洞的熵譜沒(méi)有粒子能量的依賴性,是與原始貝肯斯坦譜(3)式相同的等間距譜.然而,受時(shí)空量子效應(yīng)的影響,面積譜是依賴于黑洞面積的非等間距譜.結(jié)果表明,隨著黑洞面積的減少,面積間隔將減少.而當(dāng)忽略時(shí)空的量子效應(yīng)時(shí),面積譜可以回到等間距的原始貝肯斯坦譜(1)式.通過(guò)分析面積譜,給出了普朗克量級(jí)的黑洞最小面積.而且得到當(dāng)黑洞達(dá)到最小面積時(shí),面積間隔為零,這表示黑洞輻射的停止和黑洞剩余的出現(xiàn).與黑洞熵譜一致的是,面積譜也沒(méi)有粒子能量的依賴性.對(duì)引力彩虹Kerr黑洞的熵進(jìn)行了討論,得到了包含修正項(xiàng)的黑洞熵表達(dá)式.可以看出,黑洞熵的修正與黑洞面積譜的修正均來(lái)自時(shí)空的量子效應(yīng),具有內(nèi)在一致性.本文第2部分簡(jiǎn)要介紹引力彩虹時(shí)空;第三部分計(jì)算引力彩虹Kerr黑洞的作用量和熵譜;第四部分給出Kerr黑洞的面積譜,并討論黑洞剩余和黑洞熵;最后是總結(jié)和討論.文中采用G=KB=c=1的自然單位制.

2 引力彩虹時(shí)空

引力彩虹是時(shí)空量子化的一種具體體現(xiàn).實(shí)現(xiàn)引力與量子理論的統(tǒng)一是當(dāng)前理論物理面臨的重大挑戰(zhàn).一般認(rèn)為,存在一個(gè)具有普朗克長(zhǎng)度量級(jí)的最小長(zhǎng)度單元是量子引力的一個(gè)基本特征[33],這可從量子引力的基本理論和結(jié)果中得到體現(xiàn).作為量子引力理論的兩個(gè)主要候選者,弦理論[34,35]和圈量子引力[36]均給出了具有普朗克長(zhǎng)度量級(jí)的最小可觀測(cè)長(zhǎng)度.另一方面,黑洞物理是量子引力理論的重要試驗(yàn)場(chǎng).考慮引力的量子效應(yīng),用半經(jīng)典方法研究黑洞物理的量子修正,有可能為量子引力理論的最終形成提供有價(jià)值的借鑒和參考.這方面有許多新的嘗試和進(jìn)展[37?46].

最小可觀測(cè)長(zhǎng)度的存在引發(fā)了對(duì)狹義相對(duì)論的修改,并導(dǎo)致了修改狹義相對(duì)論的出現(xiàn)[47?51].修改狹義相對(duì)論不但要求存在不變的最高速度——光速,而且要求有不變的最高能量——普朗克能量,因此也被稱為雙狹義相對(duì)論.作為修改狹義相對(duì)論的主要內(nèi)容,通常的能量動(dòng)量不變關(guān)系式被修改為

其中,E表示粒子的能量,EP為普朗克能量,p和m分別為粒子的動(dòng)量和質(zhì)量.可以看出,在修改狹義相對(duì)論中,具有不同能量的粒子將具有不同形式的能量動(dòng)量關(guān)系式,也就說(shuō),修改的色散關(guān)系是能量依賴的.

修改的色散關(guān)系是在動(dòng)量空間進(jìn)行定義的,為了給出與該非線性的動(dòng)量變換定理所在的動(dòng)量空間對(duì)偶的坐標(biāo)空間,提出了彩虹度規(guī)[52,53].彩虹度規(guī)可以通過(guò)要求動(dòng)量和無(wú)限小位移的縮并滿足線性不變關(guān)系而得到.相應(yīng)的平直時(shí)空度規(guī)可表示為

(8)式表明,時(shí)空線元以粒子的能量為參量,用不同能量的粒子作探測(cè)粒子,將會(huì)對(duì)時(shí)空有不同的有效描述,該能量依賴的度規(guī)族被稱為彩虹度規(guī).這就是說(shuō),與動(dòng)量空間對(duì)偶的不是單一的時(shí)空,而是一個(gè)能量依賴的時(shí)空族.將彩虹度規(guī)推廣到包含引力的情況,就可以得到引力彩虹[53].在引力彩虹時(shí)空中的Schwarzschild黑洞度規(guī)為

其中,M表示黑洞的質(zhì)量.與平直的彩虹度規(guī)類似,在引力彩虹時(shí)空中,通常的經(jīng)典Schwarzschild黑洞時(shí)空被由E/EP作為參數(shù)的單參度規(guī)族所取代.這樣,彎曲時(shí)空幾何就獲得了具有能量依賴性的有效描述.

引力彩虹的能量依賴性體現(xiàn)了引力彩虹的時(shí)空量子效應(yīng),而且是通過(guò)能量函數(shù)f(E/EP)和g(E/EP)來(lái)具體表示.對(duì)于修改的色散關(guān)系和引力彩虹中能量函數(shù)的具體函數(shù)形式,已有多種方案被提出[54].但是,在不同的方案中,f(E/EP)和g(E/EP)都將在低能極限下趨于1.這樣,修改的色散關(guān)系式就可以在低能極限下回歸到通常的能量動(dòng)量關(guān)系式,引力彩虹也回到通常的經(jīng)典時(shí)空.其中,Amelino-Camelia等[55,56]提出

式中η為無(wú)量綱常數(shù).對(duì)該修改的色散關(guān)系及其對(duì)應(yīng)的彩虹時(shí)空的含義和理論背景已有深入探討[56].接下來(lái),利用(10)式表達(dá)的修改色散關(guān)系,討論引力彩虹時(shí)空中Kerr黑洞光譜學(xué)的量子引力效應(yīng).

3 引力彩虹時(shí)空中Kerr黑洞的熵譜

經(jīng)典Kerr黑洞由總質(zhì)量M和總角動(dòng)量J兩個(gè)參數(shù)來(lái)描述.在引力彩虹時(shí)空中,Kerr黑洞的軸對(duì)稱度規(guī)在Boyer-Lindquist坐標(biāo)下可表示為[57]

其中,ρ2≡r2+a2cos2θ,Δ≡r2+a2?2Mr,a=J/M是單位質(zhì)量的角動(dòng)量.

令Δ≡0,可得黑洞的視界半徑為

顯然,引力彩虹Kerr黑洞的視界位置與經(jīng)典Kerr黑洞的情況相同.

在經(jīng)典Kerr黑洞中,黑洞溫度為

而在引力彩虹時(shí)空中,溫度可以修改為[58?60]

可以看出,黑洞的溫度具有粒子能量依賴性,不同能量的粒子對(duì)黑洞的溫度具有不同的有效描述.

接下來(lái),計(jì)算粒子在引力彩虹Kerr黑洞視界上的隧穿作用量.考慮到Kerr黑洞中參考性的拖拽效應(yīng),視界附近的物質(zhì)場(chǎng)會(huì)被引力場(chǎng)拖拽.這樣,為了在Kerr黑洞中給出(6)式表示的絕熱不變作用量,應(yīng)采用拖拽坐標(biāo)系.利用拖拽坐標(biāo)變換

得到拖拽的引力彩虹Kerr黑洞線元為

這其實(shí)是一個(gè)三維超曲面.而為了方便利用(6)式,變換t→iτ,其中i為虛數(shù)單位.可以得到(16)式對(duì)應(yīng)的歐幾里得線元

在拖拽坐標(biāo)系中,坐標(biāo)φ不再出現(xiàn).這就是說(shuō),對(duì)于處于該轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)空中的物質(zhì)-引力系統(tǒng),坐標(biāo)φ是一個(gè)可遺坐標(biāo)[61,62].為了消除這一坐標(biāo)對(duì)粒子隧穿的影響,絕熱不變作用量(6)式應(yīng)寫(xiě)為

其中,pr和pφ為分別對(duì)應(yīng)坐標(biāo)r和φ的共軛動(dòng)量,

為了對(duì)(18)式進(jìn)行計(jì)算,利用哈密頓方程將動(dòng)量用能量取代,

為了方便完成(23)式對(duì)時(shí)間的積分,可以利用事件視界的基本特征.考慮到在包含視界的環(huán)路上,歐幾里得時(shí)間積分等于?乘以霍金溫度的倒數(shù)[63],則有

利用Kerr黑洞的熱力學(xué)第一定律

則(24)式變?yōu)?/p>

接下來(lái),對(duì)(26)式表達(dá)的黑洞絕熱不變作用量應(yīng)用Bohr-Sommer field量子化規(guī)則

其中n=1,2,3,···.這樣,就可以得到引力彩虹時(shí)空中Kerr黑洞的熵譜為

可以看出,在引力彩虹時(shí)空中,Kerr黑洞的熵譜是等間隔的,且與原始貝肯斯坦譜(1)式相同.而且,這里的結(jié)果也與應(yīng)用Majhi和Vegenas的方法得到的其他黑洞的熵譜相同[27?32].盡管力彩虹時(shí)空本身是能量依賴的,但其中的Kerr黑洞熵譜獨(dú)立于測(cè)試粒子的能量.

4 引力彩虹時(shí)空中Kerr黑洞的面積譜

黑洞的面積譜可以從熵譜和熵面積關(guān)系得到.如果使用(2)式的B-H公式,則根據(jù)(29)式的熵譜,可以得到面積譜

顯然,這是與貝肯斯坦的原始結(jié)果(1)式相同的等間隔面積譜.當(dāng)然這也與經(jīng)典情況下的Kerr黑洞的結(jié)果相同.

然而,考慮到修改的色散關(guān)系的影響,引力彩虹時(shí)空中Kerr黑洞的熵面積關(guān)系應(yīng)該具有對(duì)B-H熵的量子修正.這樣,引力彩虹Kerr黑洞的面積譜也應(yīng)該具有相應(yīng)的來(lái)自時(shí)空量子效應(yīng)的影響.接下來(lái)對(duì)此進(jìn)行分析和討論.

對(duì)于引力彩虹Kerr黑洞,注意到a=J/M,則(25)式的熱力學(xué)第一定律可以寫(xiě)為

這里,考慮了黑洞輻射過(guò)程中保持角動(dòng)量與質(zhì)量比值不變的情況[61,62].而應(yīng)用(10)式的修正的色散關(guān)系,黑洞溫度可以表示為

(32)式中,探測(cè)粒子的能量E可以等同于黑洞視界附近的粒子能量,而該能量可以從來(lái)自不確定原理的限制得到[64,65].考慮粒子的動(dòng)量位置不確定原理Δp≥ ?/Δx,則有粒子能量E≥ ?/Δx.黑洞視界附近粒子的坐標(biāo)不確定度由視界半徑給出,且表示為Δx≈r+.這樣就有輻射粒子的能量

黑洞視界附近的粒子形成了黑洞的霍金輻射,這就是說(shuō)可以用黑洞的溫度給出探測(cè)粒子的特征能量.對(duì)于Schwarzschild黑洞,A=4πr2+,則有

這里,作為對(duì)黑洞量子引力效應(yīng)的一般性分析與討論,對(duì)于Kerr黑洞,采用與Schwarzschild黑

洞一樣的方式來(lái)給出探測(cè)粒子能量[66],且使用面積公式

這樣,引力彩虹Kerr黑洞的溫度就可表示為

類似地,取視界上的角速度為

將(36),(37)式代入(31)式,可得

利用(12)式,并將輻射過(guò)程中黑洞單位質(zhì)量的角動(dòng)量視為常量,可得

這樣,將(39),(35)式代入(38)式,則有

將(41)式與黑洞熵譜(29)式相結(jié)合,則有引力彩虹Kerr黑洞的面積譜

顯然,這是與原始貝肯斯坦面積譜(1)式不同的非等間距譜,該面積譜是黑洞視界面積的函數(shù).

從(42)式可以看出,隨著黑洞面積的減小,面積間隔會(huì)變小,以面積譜的非等間距性和對(duì)面積的依賴性為特征的面積譜修正效應(yīng)逐步明顯.特別是隨著黑洞的不斷輻射,當(dāng)黑洞的尺度達(dá)到普朗克量級(jí),且當(dāng)

時(shí),會(huì)有

從而得到

此時(shí)面積間隔消失.但面積量子為零,并不意味著面積經(jīng)典連續(xù)變化的出現(xiàn),而是表明黑洞面積不再減小,黑洞達(dá)到了最小尺度.因?yàn)?從(43),(44)與(42)式可以看出,要求有物理意義的面積譜,則需要有A≥Amin,Amin是彩虹引力黑洞的最小面積.也就是說(shuō),黑洞面積達(dá)到Amin時(shí),黑洞出現(xiàn)了輻射剩余.

另外,從(34)式可以看到,當(dāng)A=Amin,有

這樣,從(32)式可以看到,此時(shí)有黑洞溫度

這表明黑洞輻射停止,剩余出現(xiàn).這與利用量子引力效應(yīng)對(duì)黑洞剩余的研究結(jié)果相一致[64?67].

不考慮色散關(guān)系的修正效應(yīng),當(dāng)η→0時(shí),從面積譜(42)式可以得到與原始貝肯斯坦面積譜(1)式一樣的結(jié)果.另外,對(duì)于大黑洞,對(duì)(42)式做級(jí)數(shù)展開(kāi),可有

(48)式第一項(xiàng)即為貝肯斯坦面積譜(1)式的結(jié)果,第二、三項(xiàng)及以后各項(xiàng)為面積譜對(duì)貝肯斯坦面積譜的偏離和修正.這是與考慮量子修正效應(yīng)的黑洞面積譜一致的結(jié)果[27].如果取n=2,則第一項(xiàng)修正為面積的倒數(shù)項(xiàng),第二項(xiàng)修正為面積倒數(shù)的平方.修正項(xiàng)隨著面積的增大而減少,在大黑洞極限下修正項(xiàng)可以忽略,從而面積譜(48)式可以回到貝肯斯坦面積譜.

可以看出,面積譜(42)式對(duì)貝肯斯坦面積譜的修改和偏離來(lái)自引力彩虹的量子效應(yīng).這樣,這里修改的面積譜即為黑洞面積譜的量子修正,而且應(yīng)與黑洞物理的其他量子效應(yīng)相關(guān),特別是應(yīng)與黑洞熵的量子修正相一致.實(shí)際上,不考慮引力彩虹的量子效應(yīng),令η=0,從(40)式可以得到dS=dA/4?,從而得到(2)式的B-H熵,此時(shí)引力彩虹Kerr黑洞具有與經(jīng)典Kerr黑洞一樣的熵表達(dá)式,而此時(shí)的面積譜也與原始貝肯斯坦譜一樣.考慮時(shí)空的量子效應(yīng),(40)式表示的熵面積關(guān)系就對(duì)B-H熵有偏離和修正.對(duì)(40)式做大黑洞展開(kāi),則有

可以看出,對(duì)(49)式取零級(jí)近似并進(jìn)行積分,即可得到B-H熵

對(duì)第二項(xiàng)和第三項(xiàng)積分,可得到黑洞熵量子修正的第二、三項(xiàng)為

這樣,就有引力彩虹Kerr黑洞的熵表達(dá)式

可以看出,黑洞熵的修正項(xiàng)來(lái)自引力彩虹時(shí)空的量子效應(yīng),且為黑洞面積的函數(shù),但沒(méi)有時(shí)空本身具有的粒子能量依賴性.令n=2,則第一項(xiàng)修正為面積的倒數(shù)項(xiàng),第二項(xiàng)修正為面積倒數(shù)的三次方.隨著面積的增大,修正項(xiàng)減小,而隨著黑洞面積的減小,修正項(xiàng)增大.這是與(48)式的黑洞面積譜的量子修正一致的結(jié)果.實(shí)際上,黑洞熵與面積譜的修正均來(lái)自引力彩虹時(shí)空的量子效應(yīng),具有內(nèi)在一致性.

給出黑洞的B-H熵及其量子修正是各種量子引力理論的一般要求和結(jié)果[68,69].人們希望量子引力理論不僅可以給出面積定律的理論解釋,而且可以揭示黑洞熵量子修正的一般特征.通過(guò)一般的量綱分析,可以預(yù)期大黑洞有面積倒數(shù)冪律譜形式的對(duì)B-H熵的修正[68],從而有修正黑洞熵表達(dá)式

其中,系數(shù)cn不依賴于視界面積但與普朗克長(zhǎng)度有關(guān).而基于量子引力理論具體分析和黑洞量子性質(zhì)的具體研究,給出的黑洞熵一般還具有面積的對(duì)數(shù)修正,且對(duì)數(shù)項(xiàng)為黑洞熵量子修正的主導(dǎo)項(xiàng)[58?60,68?72],從而有如下形式的量子修正熵:

其中,系數(shù)c0和cn與具體量子引力理論模式有關(guān).比如,利用Cardy公式計(jì)算黑洞視界上的統(tǒng)計(jì)熵,在考慮量子修正的情況下,得到了多種黑洞的對(duì)數(shù)修正熵[70?72].利用修正色散關(guān)系,通過(guò)引力彩虹的Schwarzschild黑洞中的熱力學(xué)分析,也可以給出黑洞熵的對(duì)數(shù)修正[58?60].

可以看出,這里給出的量子修正熵(53)式與(54)式的預(yù)期一致,但沒(méi)有(55)式中的面積對(duì)數(shù)項(xiàng).一般而言,黑洞熵的量子修正,在一定程度上與分析黑洞量子性質(zhì)的具體理論和計(jì)算方法有關(guān)[58?60,68?72].但是,給出黑洞熵的面積對(duì)數(shù)修正項(xiàng)是黑洞熵量子修正的較普遍的研究結(jié)果.而且,在引力彩虹Schwarzschild黑洞中,也可以給出黑洞熵的面積對(duì)數(shù)項(xiàng)[58?60].這里,在引力彩虹的Kerr黑洞中,沒(méi)有給出熵的對(duì)數(shù)修正,可能與本文采用的具體理論形式和計(jì)算處理有關(guān).本文采用的(10)式表示的修正色散關(guān)系與文獻(xiàn)[58—60]中的有所不同.修正色散關(guān)系的具體形式對(duì)黑洞熵修正項(xiàng)具體表達(dá)式的影響還需要做進(jìn)一步分析.Kerr黑洞有比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu),文中采用了(49)式的級(jí)數(shù)展開(kāi)并做了分項(xiàng)積分,還采用了(34)和(35)式的不等式簡(jiǎn)化,相應(yīng)的處理和計(jì)算結(jié)果在定量上還需要進(jìn)一步討論.

5 結(jié)果與討論

將Majhi和Vegenas給出的通過(guò)絕熱不變作用量研究黑洞光譜學(xué)的方法,應(yīng)用到引力彩虹時(shí)空中的Kerr黑洞,研究了修正色散關(guān)系對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞熵譜和面積譜的影響.計(jì)算了引力彩虹Kerr黑洞的正則不變的作用量,并且對(duì)該作用量應(yīng)用Bohr-Sommer field量子化規(guī)則,在不使用黑洞的準(zhǔn)正則模的情況下,得到了引力彩虹時(shí)空中轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞的熵譜.所得的熵譜(28)式是與原始的貝肯斯坦熵譜(3)式一樣的等間距熵譜,這與經(jīng)典Kerr黑洞和其他利用絕熱不變的作用量在不同時(shí)空中得到的熵譜結(jié)果相同.而且,盡管引力彩虹Kerr黑洞是能量依賴的,但是熵譜獨(dú)立于測(cè)試粒子的能量,這說(shuō)明引力彩虹時(shí)空的量子效應(yīng),不影響轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞的熵譜.這樣,在說(shuō)明黑洞熵譜的統(tǒng)一性方面,本文通過(guò)考察引力彩虹Kerr黑洞的情況提供了一個(gè)例證.

由于引力彩虹時(shí)空具有量子效應(yīng),得到的彩虹Kerr黑洞的面積譜(42)式與原始貝肯斯坦譜(3)式不同,是依賴于黑洞面積的不等間距譜,這是與通常的Kerr黑洞中的面積譜不同的結(jié)果.但當(dāng)忽略修正色散關(guān)系效應(yīng)時(shí),面積譜(42)式可以回到普通黑洞的情況,并可以得到與原始貝肯斯坦譜一樣的等間隔譜.另外,與黑洞熵譜相同,引力彩虹Kerr黑洞的面積譜也沒(méi)有粒子能量依賴性.考慮時(shí)空的量子效應(yīng)時(shí),隨著黑洞輻射的進(jìn)行,黑洞的面積間隔將逐步變小.當(dāng)黑洞達(dá)到普朗克尺度的最小面積時(shí),面積量子變?yōu)榱?最小面積是引力彩虹時(shí)空面積譜有物理意義的黑洞面積下限,從而說(shuō)明了黑洞剩余的出現(xiàn).同時(shí),當(dāng)黑洞面積最小時(shí),有黑洞溫度為零,引力彩虹黑洞將不再輻射粒子,說(shuō)明黑洞出現(xiàn)具有最小面積的輻射剩余.而且,黑洞接近普朗克量級(jí)時(shí),溫度接近零,輻射粒子的能量也趨于零,面積的改變也就趨于零.這也說(shuō)明黑洞剩余的存在,并且與其他利用引力的量子效應(yīng)對(duì)黑洞輻射剩余的研究結(jié)果相一致.對(duì)引力彩虹Kerr黑洞的熵進(jìn)行了討論,得到了偏離B-H熵的修正黑洞熵,而且熵修正與面積譜的修正相對(duì)應(yīng)和一致.黑洞面積譜和黑洞熵的修正項(xiàng)均與黑洞面積有關(guān),且與面積的倒數(shù)成正比.黑洞面積譜與黑洞剩余的關(guān)系值得進(jìn)一步研究.

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