林紹忠，明崢嶸（．長江科學(xué)院非連續(xù)變形分析實驗室，武漢 43000；．北京博奇電力科技有限公司武漢分公司，武漢 43007）

適用于數(shù)值流形法分析的混凝土徐變遞推公式

林紹忠1，明崢嶸2
（1．長江科學(xué)院非連續(xù)變形分析實驗室，武漢 430010；2．北京博奇電力科技有限公司武漢分公司，武漢 430071）

目前大體積混凝土結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力仿真計算主要采用有限元法。對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，有限元法仿真計算存在計算規(guī)模大、前處理難度大等問題。數(shù)值流形法具有網(wǎng)格剖分和自適應(yīng)分析方便等優(yōu)點，可為溫度應(yīng)力仿真計算提供有力的分析手段。混凝土徐變可以松馳溫度應(yīng)力，在溫度應(yīng)力仿真計算中一般都要考慮徐變的影響。有限元法中采用的徐變遞推公式是基于數(shù)值積分點的應(yīng)力狀態(tài)，但數(shù)值流形法的單元應(yīng)力呈多項式函數(shù)分布，這種遞推公式已不適用。為此，推導(dǎo)了適合于數(shù)值流形法的徐變遞推公式及等效荷載計算公式，并編制了數(shù)值流形法仿真計算程序，通過數(shù)值算例驗證了公式的正確性。

數(shù)值流形法；混凝土結(jié)構(gòu)；徐變遞推公式；溫度應(yīng)力；仿真計算

1 概 述

數(shù)值流形法［1］（簡稱流形法）是石根華博士提出的一種新的數(shù)值計算方法。該方法采用2套相互獨立的網(wǎng)格——反映數(shù)值解精度的數(shù)學(xué)網(wǎng)格和反映幾何邊界和材料分區(qū)的物理網(wǎng)格，將研究區(qū)域劃分成有限個相互重疊的集合（稱為物理覆蓋），在各個覆蓋上獨立定義局部覆蓋函數(shù)，通過權(quán)函數(shù)加權(quán)平均得到整個求解域上的總體函數(shù)。由于數(shù)學(xué)網(wǎng)格和物理網(wǎng)格的相互獨立性，可以采用規(guī)則的數(shù)學(xué)網(wǎng)格對物理區(qū)域進行切分形成流形元，這種切分過程只涉及相對簡單的幾何運算，速度比較快。覆蓋函數(shù)可以是多項式或級數(shù)形式，隨著階數(shù)的提高或級數(shù)項的增加，精度得以提高，自適應(yīng)分析方便。和有限元一樣，流形元是基本的計算單元，但可具有更復(fù)雜的形狀。鑒于流形法所具有的優(yōu)點，文獻［2］將其應(yīng)用于大體積混凝土結(jié)構(gòu)的溫度場及溫度應(yīng)力仿真計算，但沒有考慮混凝土徐變的影響。混凝土是徐變體，考慮徐變后，溫度應(yīng)力得到松弛，因此在溫度應(yīng)力仿真計算中一般都要考慮混凝土徐變的影響。但目前有限元法中采用的徐變遞推公式是基于數(shù)值積分點的應(yīng)力狀態(tài)，而流形法多采用單純形積分進行精確積分，其單元應(yīng)力呈多項式函數(shù)分布，這種遞推公式已不再適用，需要重新推導(dǎo)。

2 流形元位移函數(shù)和溫度函數(shù)

2．1 覆蓋函數(shù)

目前，流形法一般采用有限元網(wǎng)格作為數(shù)學(xué)網(wǎng)格。覆蓋函數(shù)定義在數(shù)學(xué)網(wǎng)格的結(jié)點上，類似于有限元的結(jié)點位移，但可以是常數(shù)、多項式函數(shù)或其它形式級數(shù)。覆蓋函數(shù)與物理邊界無關(guān)，如果物體只占數(shù)學(xué)網(wǎng)格的一部分，覆蓋函數(shù)仍然是相同的。設(shè)定義在物理覆蓋上的覆蓋函數(shù)為多項式函數(shù)，

式中：Dij＝｛uij，vij，wij｝T為覆蓋函數(shù)的系數(shù)（廣義位移）；tcj（x，y，z）是多項式基底，如1，x，y，z等。對于完全N階覆蓋函數(shù)，項數(shù)m＝（N＋1）（N＋2）（N＋3）／6。傳統(tǒng)有限元法中，結(jié)點位移ui，vi，wi是常量，即采用0階覆蓋函數(shù)。

2．2 單元位移函數(shù)

設(shè)流形元e是n個物理覆蓋的交集，則該單元的位移函數(shù)為

以上公式中，Wi為權(quán)函數(shù)，F(xiàn)i是其系數(shù)列陣，Tw是多項式基底集。采用有限元網(wǎng)格作為數(shù)學(xué)網(wǎng)格時，Wi即是有限元的形函數(shù)，n為有限元的結(jié)點數(shù)。流形法中數(shù)學(xué)網(wǎng)格與物理網(wǎng)格不要求重合，因此可以采用形態(tài)簡單的有限元來構(gòu)造顯式權(quán)函數(shù)，如平面的三角形單元、矩形單元和三維的四面體單元和長方體單元。

2．3 單元溫度函數(shù)

與位移函數(shù)的定義一樣，在物理覆蓋Ci上的溫度覆蓋函數(shù)為多項式函數(shù)，

式中：tij為待定系數(shù)；珋tcj（x，y，z）為多項式基底集；mt為溫度場覆蓋函數(shù)多項式的項數(shù)。在計算溫度應(yīng)力時，可采用相同的數(shù)學(xué)網(wǎng)格，位移場和溫度場覆蓋函數(shù)階數(shù)可不一樣，但位移場覆蓋函數(shù)的階數(shù)必須不低于溫度場的階數(shù)。

同理，單元內(nèi)的溫度場可表示為

3 混凝土徐變遞推公式

3．1 混凝土增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

3．2 徐變遞推公式

混凝土徐變度可表示為

4 溫度和徐變等效荷載

文獻［2］給出了溫度等效荷載公式，文獻［3］給出了初應(yīng)變等效荷載的一般公式。這里給出同時考慮溫度和徐變的等效荷載公式。初應(yīng)變表達(dá)式為

Kijkl為流形元剛度矩陣的子塊，見文［3］；

式（20）中的被積函數(shù)為多項式基底的乘積，可以直接用單純形積分法［4］進行精確積分。

5 算 例

如圖1，混凝土塊體平面尺寸為20 m×20 m，底面基巖約束。分兩層澆筑，每層厚0．5 m，間隙期7 d，頂面為氣溫邊界，其他邊界為絕熱邊界。在混凝土水化熱溫升和環(huán)境溫度作用下，同時考慮徐變影響，計算溫度應(yīng)力。每個澆筑層為一流形元，見圖2。作為比較，用有限元法進行計算，每個澆筑塊劃分為5層單元，見圖3。A，B 2點（見圖1）應(yīng)力計算結(jié)果見表1。可以看出，在較粗的數(shù)學(xué)網(wǎng)格情況下，流形法通過提高覆蓋函數(shù)的階數(shù)可獲得迅速逼近細(xì)網(wǎng)格的有限元解，在1階時已取得了較好的精度。

圖1 混凝土塊Fig．1 A concrete block in the test

圖2 流形元網(wǎng)格Fig．2 Manifold elementmesh

圖3 有限元網(wǎng)格Fig．3 Finite elementmesh

表1 A，B點應(yīng)力σyTable 1 Stressσyat point A and B MPa

6 結(jié) 語

流形法具有網(wǎng)格剖分和自適應(yīng)分析方便等優(yōu)點，為大體積混凝土結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力仿真計算提供了有力的分析手段。為考慮徐變影響，本文推導(dǎo)了適用于流形法分析的徐變遞推公式及等效荷載公式。算例驗證了這些公式的正確性。至此，筆者開發(fā)的高階流形法計算程序已可用于大體積混凝土結(jié)構(gòu)溫度場和溫度應(yīng)力仿真計算，其中可以考慮常規(guī)荷載作用和混凝土徐變的影響。

［1］ 石根華．?dāng)?shù)值流形方法與非連續(xù)變形分析［M］．裴覺民，譯．北京：清華大學(xué)出版社，1997．（SHIGenhua．Numerical Manifold Method and Discontinuous DeformationAnalysis［M］．Translated by Pei Juemin．Beijing：Tsinghua University Press，1997．（in Chinese））

［2］ 林紹忠，明崢嶸，祁勇峰．用數(shù)值流形法分析溫度場及溫度應(yīng)力［J］．長江科學(xué)院院報，2007，24（5）：72－75．（LIN Shaozhong，MING Zhengrong，QI Yongfeng．Thermal field and thermal stress analysis based on numericalmanifold Method［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research institute，2007，24（5）：72－75．（in Chinese））

［3］ 林紹忠，祁勇峰，蘇海東．基于矩陣特殊運算的高階流形元單元分析［J］．長江科學(xué)院院報，2006，23（3）：36－39．

（LIN Shaozhong，QI Yongfeng，SU Haidong．Element analysis of highorder numericalmanifold method based on specialmatrix operations［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2006，23（3）：36－39．（in Chinese））

［4］ 林紹忠．單純形積分的遞推公式［J］．長江科學(xué)院院報．2005，22（3）：32－34．（LIN Shaozhong．Recursive formula for simplex integration［J］．Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2005，22（3）：32－34．（in Chinese） ）

（編輯：周曉雁）

Recursive Formulae of Concrete Creep Suitable for Numerical M anifold M ethod Analysis

LIN Shaozhong1，MING Zhengrong2
（1．DDA Center，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China；2．Wuhan Branch of Beijing Bootes Electric Power Science＆Technology CO．，LTD．，Wuhan 430071，China）

Currently，the thermal stress analysis simulating the construction process ofmass concrete structures primarily adopts the finite elementmethod（FEM）．Butmuch computation is required and difficulties inmesh generation are encountered in conducting FEM analysis of complicated structures．For convenience in adaptive analysis and mesh division，the numericalmanifoldmethod（NMM）provides a new effective approach for the thermal stress analysis．The effects of the concrete creep should be generally considered in the thermal stress analysis as the concrete creep can reduce thermal stresses．The recursive formulae of the concrete creep widely used in FEM，which were derived based on the stresses at numerically integrated points of finite elements，are not suitable for NMM analysis due to the stresses of manifold elements are expressed in the polynomial form，especially in highorder NMM．According to the recursive formulae of concrete creep used in FEM，recursive formulae of concrete creep and formulae of corresponding equivalent loads suitable for NMM analysis are deduced．On the basis of the derived formulae，a program of highorder NMM for the thermal field and the thermal stress analysis is developed and verified by an example．

NMM；mass concrete structure；recursive formulae of creep；thermal stress；simulation analysis

TV315；O242

A

1001－5485（2010）07－0056－04

20090915

林紹忠（1960），男，福建福安人，教授級高級工程師，工學(xué)博士，主要從事水工結(jié)構(gòu)數(shù)值分析研究，（電話）02782820007（電子信箱）Linsz＠m(xù)ail．crsri．cn。