李寶麟, 安曉偉, 茍海德

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

Henstock-Kurzweil積分包含了Riemann積分和Lebesgue積分[1],這類積分的一個典型特征是如F′(t)這樣的高振動函數(shù)的積分可以定義,其中F(t)=t2sin t-2,t∈(0,1],F(0)=0.Henstock等[2]于1957—1958年建立的Henstock-Kurzweil積分在常微分方程問題研究中有很好的應(yīng)用.李寶麟等[3]借助Henstock-Kurzweil積分研究了一類滯后型泛函微分方程

的有界變差解的存在性.本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上,借助Henstock-Kurzweil積分,考慮滯后型脈沖微分方程

(1)

的有界變差解的存在性,其中t0∈R,r≥0,σ≥0,x∈Rn表示定義在[t0-r,t0+σ]上的函數(shù).對任意的t∈[t0,t0+σ],定義函數(shù)xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-r,0],Ik:Rn→Rn連續(xù),k=1,2,…,m,t0

(2)

本文假定滯后型脈沖微分方程的右端函數(shù)所滿足的條件比文獻(xiàn)[4-6]更為廣泛,假定被積函數(shù)f是Henstock-Kurzweil可積的,且φ是正則函數(shù).

1 Henstock-Kurzweil積分

引理1.2[6]如果u在[a,b]上Lebesgue可積,則它在[a,b]上H-K可積.

引理1.3[6]如果u在[a,b]上是非負(fù)的且H-K可積,則它在[a,b]上Lebesgue可積.

定理1.4設(shè)u,um:[a,b]→Rn,m=1,2,…,其中{um}在[a,b]上H-K可積.如果:

(i) 存在正值函數(shù)δ:[a,b]→R+,使得對任意的ε>0,存在P:[a,b]→N及定義在閉區(qū)間J?[a,b]上的正值超可加區(qū)間函數(shù)Φ:J?[a,b]→R+,滿足Φ([a,b])<ε,使得對每個τ∈[a,b]及δ-精細(xì)區(qū)間[τ,j],τ∈J,當(dāng)m>P(τ)時,有

‖(um(τ)-u(τ))|J|‖≤Φ(J);

(3)

(4)

則稱u在[a,b]上H-K可積,且

(5)

證明易知Rn-值函數(shù)是收斂的當(dāng)且僅當(dāng)它的每個分量都收斂.因此,不失一般性,僅考慮實值函數(shù)序列.設(shè)u是一個實值函數(shù),由(3)式有

|(um(τ)-u(τ))|J||≤Φ(J).

再由文獻(xiàn)[8]的定理1.29,結(jié)論成立.

2 滯后型脈沖微分方程

本章主要回顧滯后型脈沖微分方程及相關(guān)的結(jié)果.

顯然,當(dāng)函數(shù)x∈G-([t0-r,t0+σ],Rn)時,對任意的t∈[t0,t0+σ]都有xt∈G-([-r,0],Rn).

令H1?G-([-r,0],Rn),{xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}?H1,假設(shè)f(t,xt):(t,xt)∈[t0,t0+σ]×G-([-r,0],Rn)滿足以下條件:

(A) 存在正值函數(shù)δ(τ):[t0,t0+σ]→R+,使得對每個區(qū)間[u,v]滿足τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,t0+σ]及x∈G1,都有

‖f(τ,xτ)(v-u)‖≤|h(v)-h(u)|;

(B) 對每個區(qū)間[u,v]滿足τ∈[u,v]?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[t0,t0+σ]及x,y∈G1,都有

‖f(τ,xτ)-f(τ,yτ)‖(v-u)≤
ω(‖xτ-yτ‖)|h(v)-h(u)|,

其中,h:[t0,t0+σ]→R是不減的左連續(xù)函數(shù),ω:[0,∞)→R是連續(xù)的增函數(shù),且ω(r)=r,r≥0.

定義2.1設(shè)Ω?[t0,t0+σ]×H1是開集,若函數(shù)f:Ω→Rn是Carathéodory函數(shù),如果f滿足條件(A)和(B),則f∈H(Ω,h,ω).

證明設(shè)ε>0給定,由條件(B),對每個τ∈[α,β]?[t0,t0+σ],t1≤τ≤t2,[t1,t2]?[α,β],有

‖f(τ,(xk)τ)-f(τ,xτ)‖(t2-t1)≤
ω(‖(xk)τ-xτ‖)(h(t2)-h(t1)).

(6)

令

函數(shù)μ:[α,β]→R是不減的且μ(β)-μ(α)<ε,因此

由于對每個t∈[α,β],函數(shù)ω在0處連續(xù),則存在p(τ)∈N,使得對k≥p(τ),有

令Φ(J)=μ(t2)-μ(t1),J=[t1,t2],對k≥p(τ),不等式(6)可寫為形式

其中τ∈J?(τ-δ(τ),τ+δ(τ))?[α,β].

S={x∈Rn:‖x‖

(7)

證明由于每個有界變差函數(shù)都是有限階梯函數(shù)的一致極限[9],由推論2.3,結(jié)論成立.

(8)

成立.

由ε>0的任意性有

下面考慮方程(2)的脈沖項,對脈沖函數(shù)Ik:Rn→Rn,k=1,2,…,n,假設(shè)以下條件成立.

(C) 存在一個常數(shù)K>0,使得對所有的k=1,2,…,n及x,y∈Rn,有

Ik(x)-Ik(y)≤K|x-y|.

給定一個d∈[t0,t0+σ],定義

則

且方程(2)等價于

3 有界變差解的存在性

定義3.1[10]x(t,t0,x0),t∈[t0,T]?[a,b]是滯后型脈沖微分方程(1)的解,如果:

(ii)x(t)在[t0,T]上的任意緊子區(qū)間是有界變差的;

(iii) 對t∈[t0,T],有(x,t)∈G;

(v)Δ(t)|t=tk=x(tk+)-x(tk)=Ik(x(tk)),tk∈[t0,T].

定理3.2設(shè)f∈H(Ω,h,ω).如果x:[α,β]→Rn,[α,β]?[t0-r,t0+σ]是方程(6)的一個解,則x在[α,β]上有界變差且

證明令α=t0

引理3.3設(shè)X是Banach空間,U是X中的有界閉凸集,T:U→U連續(xù)且T(U)列緊,則T在U上必有一個不動點.

定理3.4設(shè)φ是H1上的函數(shù),f∈H(Ω,h,ω),Ik:Rn→Rn滿足條件(C),且對θ1,θ2∈[-r,0],有

‖φ(θ1)-φ(θ2)‖≤|h(θ1)-h(θ2)|,

(10)

則對每個(t0,φ)∈Ω,存在Δ>0,使得方程(2)在區(qū)間[t0-r,t0+Δ]?[t0-r,t0+σ]上存在解

G-([t0-r,t0+Δ],Rn).

證明考慮以下2種情形:函數(shù)h:[t0,t0+σ]→R在點t0處連續(xù)及不連續(xù).

首先,設(shè)函數(shù)h在點t0處連續(xù),即有h(t0+)=h(t0).由于G1是開集,則存在Δ>0,使得對任意的t∈[t0,t0+Δ]?[t0,t0+σ]及x∈Rn有

‖x(t)-φ(0)‖=‖x(t)-x(t0+)‖<
|h(t)-h(t0)|, (t,xt)∈Ω.

‖z-φ(0)‖≤‖zk-z‖+‖zk-φ(0)‖<ε+b,

即有

‖z-φ(0)‖≤b.

類似地,對每個t∈[t0,t0+Δ]有

從而,對任意的ε>0及t∈[t0,t0+Δ],當(dāng)k∈N充分大時有

即有

其中,

h(t)=h1(t)+h2(t),

其中θ1=s-t0∈[-r,0].令

b=max{|h(t0+Δ)-h(t0)|,

|h(θ1)-h(θ)|},

(11)

取t0≤s1

和

因此

由ε>0的任意性有

及

(13)

從而由函數(shù)ω1=ω(r)+K在0處連續(xù),且ω1(0)=0,有

從而由(13)式有

再由(11)式有

另一方面,對t∈[t0-r,t0]有

(Tzk)(t)=φ(t-t0)=(Tz)(t),

則Tzk→Tz(k→∞),即T是連續(xù)映射.

最后,證明T(Q)?Q在Banach空間BV([t0-r,t0+Δ],Rn)是序列緊的.

由(8)式有y∈BV-([t0-r,t0+Δ],Rn),且易證

從而T是序列緊的.

下面考慮函數(shù)h在點t0處不連續(xù).定義

類似于上一種情形,存在Δ>0,使得對t∈[t0,t0+Δ]?[t0,t0+σ]及x∈Rn,(t,xt)∈Ω,有

G-([t0-r,t0+Δ],Rn).

[1] LEE P Y. Lectures on Henstock Integration[M]. Singapore:World Scientific,1989.

[2] KURZWEIL J. Generalized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter[J]. Czech Math J,1957,7(82):418-449.

[3] 李寶麟,茍海德. 滯后型泛函微分方程的有界變差解[J]. 數(shù)學(xué)雜志,2015,35(3):567-578.

[4] FEDERSON M, SCHWABIK S. Generalized ODE approach to impulsive retarded functional differential equations[J]. Diff Integ Eqns,2006,19(11):1201-1234.

[5] WU C X, LI B L. Bounded variation solution for discontinuous systems[J]. J Math Study,1998,31(4):417-427.

[6] 傅希林,閆寶強,劉衍勝. 脈沖微分系統(tǒng)引論[M]. 北京:科學(xué)出版社,2005.

[7] FEDERSON M, T′ABOAS P Z. Topological dynamics of retarded functional differential equations[J]. J Diff Eqns,2003,195(2):313-331.

[8] SCHWABIK S. Generalized Ordinary Differential Equations[M]. Singapore:World Scientifc,1992.

[9] SCHWABIK S, TVRD′Y M. Boundary value problems for generalized linear differential equations[J]. Czech Math J,1979,29(3):451-477.

[10] 李寶麟,梁雪峰. 一類脈沖微分系統(tǒng)的有界變差解[J]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2007,41(4):192-198.

[11] FEDERSON M. Converse Lyapunov theorems for retarded functional differential equations[J]. Cadernos de Matematica,2007,8(1):285-303.

[12] PURNA C D, RISHI R S. Existence and stability of measure differential equations[J]. Czechoslovak Math J,1972,22(97):145-158.

[13] HINO Y, MURAKAMI S, NAITO T. Functional Differential Equations with Infinite Delay[M]. New York:Springer-Verlag,1991.

[14] KURZWEIL J. Generalized ordinary differential equations[J]. Czechoslovak Math J,1958,83(8):360-389.

[15] 朱雯雯,徐有基. 帶非線性邊界條件的一階微分方程多個正解的存在性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,39(2):226-230.

[16] SLAVIK A. Well-posedness results for abstract generalized differential equations and measure functional differential equations[J]. J Math Anal Appl,2015,259(2):666-707.

[17] FEDERSON M, GRAU R, MESQUITA J G, et al. Boundedness of solutions of measure differential equations and dynamic equations on time scales[J]. J Diff Eqns,2017,263(1):26-56.