羅曉賀,惠 梅

(北京理工大學(xué)光電學(xué)院,北京 100081)

1 引 言

現(xiàn)有圓孔直徑的高精度測(cè)量方法有很多,比較成熟的有采用工具顯微鏡和孔徑干涉測(cè)量?jī)x進(jìn)行測(cè)量。其中工具顯微鏡可以達(dá)到微米級(jí)精度[1-3],孔徑干涉測(cè)量?jī)x可以達(dá)到亞微米級(jí)精度[3]。但是這些方法的測(cè)量?jī)x器比較復(fù)雜,測(cè)量速度慢,同時(shí)對(duì)測(cè)量環(huán)境還有很高的要求,很難滿足現(xiàn)代生產(chǎn)的需求。

為了實(shí)現(xiàn)在線測(cè)量,新的測(cè)量方法不斷被提出,現(xiàn)主要有投影成像法和激光衍射法。

投影成像法是指在激光照射下將被測(cè)圓孔的陰影輪廓成像在光電探測(cè)器上,然后根據(jù)該陰影輪廓測(cè)量出圓孔直徑。最典型的結(jié)構(gòu)是準(zhǔn)直系統(tǒng)加光電接收系統(tǒng),該結(jié)構(gòu)利用平行光投射被測(cè)物,并用已標(biāo)定好放大率的光電接收系統(tǒng)對(duì)被測(cè)物陰影輪廓進(jìn)行接收[4],最后利用圖像處理的方法進(jìn)行陰影輪廓的定位和尺寸測(cè)量[5],測(cè)得的陰影輪廓尺寸即為所求直徑。該結(jié)構(gòu)測(cè)量過(guò)程簡(jiǎn)單,但在測(cè)量過(guò)程中未考慮衍射效應(yīng)造成的影響,使得陰影輪廓的定位誤差較大。雙光源投影法[6]針對(duì)上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn),該方法利用兩個(gè)一定距離的點(diǎn)光源和無(wú)透鏡的CMOS進(jìn)行測(cè)量,設(shè)備簡(jiǎn)單；并在陰影輪廓定位時(shí)考慮了菲涅爾衍射的影響,將最大光強(qiáng)值的1/4處定位為輪廓。但是該定位方法受噪聲影響比較大,進(jìn)而精度受到限制。

隨著衍射理論的發(fā)展,基于夫瑯禾費(fèi)衍射的尺寸測(cè)量方法被提出[7-9]。該方法利用圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布進(jìn)行測(cè)量,精度較高。但是為了實(shí)現(xiàn)有限距離的夫瑯禾費(fèi)衍射,一般需要增加一個(gè)高精度的光學(xué)系統(tǒng),在增加了測(cè)量成本的同時(shí),還增加了儀器調(diào)整的復(fù)雜性。

本文將投影成像法和衍射理論進(jìn)行結(jié)合,提出了一種新的測(cè)量方法——基于菲涅爾衍射的圓孔直徑測(cè)量法。該方法由準(zhǔn)直系統(tǒng)加無(wú)透鏡CMOS組成。CMOS對(duì)平行光下的圓孔菲涅爾衍射光強(qiáng)分布圖進(jìn)行接收。通過(guò)探測(cè)光強(qiáng)分布圖的峰值輪廓,再結(jié)合峰值輪廓尺寸和圓孔直徑之間的關(guān)系式,達(dá)到直徑測(cè)量的目的。該方法無(wú)需額外的光學(xué)系統(tǒng),測(cè)量設(shè)備及測(cè)量過(guò)程簡(jiǎn)單,成本低,精度高,測(cè)量速度快,有望用于現(xiàn)代生產(chǎn)的在線測(cè)量。

2 測(cè)量原理

測(cè)量原理如圖1所示。平行光束經(jīng)過(guò)圓孔后發(fā)生菲涅爾衍射現(xiàn)象,衍射光強(qiáng)分布圖被圓孔后距離d處的CMOS接收。CMOS被放置在電動(dòng)平移臺(tái)上,可以保證d在一定范圍內(nèi)高精度地變化。圓孔處的坐標(biāo)系為o1x1y1,CMOS處的坐標(biāo)系為oxy,oo1為光軸。圓孔所在的面和CMOS所在的面相互平行,且垂直于光軸。

在CMOS所接收的衍射光強(qiáng)分布圖中,峰值輪廓和邊界投影輪廓為同心圓,且半徑差為m。2r為圓孔邊界投影輪廓直徑(等同于被測(cè)圓孔的直徑),L是峰值輪廓直徑,則2r=L+2m。L的具體數(shù)值可以通過(guò)對(duì)光強(qiáng)圖進(jìn)行圖像處理獲得,而m是關(guān)于λ、r和d的函數(shù)且未知。因而,本文的重點(diǎn)和難點(diǎn)是推導(dǎo)m關(guān)于λ、r和d的關(guān)系表達(dá)式(又稱峰值定位公式)。

圖1 測(cè)量原理圖及衍射光強(qiáng)圖。圖示光強(qiáng)分布對(duì)應(yīng)參數(shù):

2.1 圓孔菲涅爾衍射光強(qiáng)分布

根據(jù)基爾霍夫衍射公式[10],平面波照射下,圓孔菲涅爾衍射的復(fù)振幅公式為:

(1)

根據(jù)光強(qiáng)和復(fù)振幅之間的關(guān)系,可得光強(qiáng)為:

I(x,y)=|E(x,y)|2

(2)

圓孔是一個(gè)中心對(duì)稱的圖形。故而只需求得其中一條直徑線上各點(diǎn)的光強(qiáng)值即可。假設(shè)圓孔直徑2r=5 mm,衍射距離d=300 mm,觀察線為:y=0,x∈[-2.5,2.5] mm。根據(jù)公式(1)和(2),求得的觀察線上各點(diǎn)的光強(qiáng)分布如圖2中黑色實(shí)線所示。

圖2 圓孔及直邊菲涅爾衍射光強(qiáng)分布曲線

2.2 峰值定位公式

根據(jù)文獻(xiàn)[11],平行光照射下,直邊菲涅爾衍射對(duì)應(yīng)的峰值點(diǎn)和邊界投影點(diǎn)之間的距離mz滿足條件:(2/λd)0.5mz=1.2172,即mz=0.8607(λd)0.5。

在圖2中,點(diǎn)實(shí)線表示位于x1=-2.5 mm處的直邊菲涅爾衍射光強(qiáng)分布曲線,該曲線對(duì)應(yīng)的觀察線為:y=0,x∈[-2.5,0]。很顯然,圖2中兩條光強(qiáng)分布曲線的主峰部分(即包含最大峰值在內(nèi)的峰區(qū)域)非常相似,黑色實(shí)線相當(dāng)于在點(diǎn)實(shí)線的基礎(chǔ)上添加了一些小波動(dòng)。如果忽略小波動(dòng)的影響,圓孔菲涅爾衍射光強(qiáng)分布中峰值位置與邊界投影的距離m等同于mz,即滿足公式:

(3)

但是小波動(dòng)的存在使得公式(3)有一定的誤差Δm,為分析該誤差數(shù)值,仿真如下:

假設(shè)圓孔直徑2r=5 mm,衍射距離d∈[10,500] mm,觀察范圍為:y=0,x∈[-2.5,2.5] mm,光強(qiáng)圖的像元尺寸為5.5 μm。通過(guò)對(duì)光強(qiáng)分布的主峰部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合的方法獲得峰值的精確位置,進(jìn)而得到仿真的m值(稱為“擬合值”)。不同衍射距離d對(duì)應(yīng)的m的擬合值如圖3(a)所示；根據(jù)公式(3)計(jì)算所得的m也同時(shí)繪制于圖3(a)中,稱為“理論值”。觀察圖3(a)可知,m的擬合值和理論值非常相近,兩者的差值即為公式(3)的誤差值Δm,峰值定位誤差曲線d-Δm被繪制于圖3(b)中。

圖3 峰值定位公式曲線及峰值定位誤差曲線

圖3(b)中的峰值定位誤差曲線是針對(duì)2r=5 mm的情況?，F(xiàn)改變2r的數(shù)值為7.5 mm、10 mm、12.5 mm和15 mm,可以得到其余四條峰值定位誤差曲線?，F(xiàn)對(duì)該5條誤差曲線進(jìn)行分析,提取出曲線的分段最大值,并列于表1中。

表1 峰值定位誤差分段最大值

注：max(|Δm|)表示在一定衍射距離范圍內(nèi)|Δm|的最大值。

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可得:(1)當(dāng)衍射口徑尺寸2r不變時(shí),峰值定位誤差的數(shù)值會(huì)隨著衍射距離d的增加而增加；(2)當(dāng)衍射距離d固定時(shí),峰值定位誤差的數(shù)值會(huì)隨著衍射口徑尺寸2r的增加而減小。

因此,針對(duì)每一個(gè)被測(cè)孔,為減小測(cè)量誤差,實(shí)際測(cè)量中所用的衍射距離d應(yīng)盡量小。

2.3 圓孔直徑計(jì)算公式

根據(jù)公式(3),可以推出峰值輪廓的直徑為:

(4)

在實(shí)際測(cè)量中,衍射距離d的絕對(duì)值很難精確得知,但是d的相對(duì)變化量可以非常精確(利用電動(dòng)平移臺(tái)可達(dá)到0.1 μm的精度)。故而我們采用兩個(gè)不同衍射距離的衍射圖來(lái)進(jìn)行測(cè)量。具體的操作過(guò)程為:采集兩個(gè)相對(duì)位置Δd已知的兩衍射光強(qiáng)圖,根據(jù)這兩圖得到對(duì)應(yīng)的峰值輪廓直徑L1和L2,結(jié)合公式(4)可得被測(cè)圓孔的直徑為:

(5)

3 實(shí) 驗(yàn)

為了驗(yàn)證分析結(jié)果,在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了一系列的實(shí)驗(yàn)。

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

搭建實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

在圖4中,光源采用波長(zhǎng)為647 nm的光纖激光器；準(zhǔn)直系統(tǒng)選用口徑為25 mm,焦距為200 mm的雙膠合透鏡；被測(cè)圓孔為三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓孔,標(biāo)稱尺寸分別為5 mm、7.5 mm和10 mm；CMOS的像元尺寸為5.5 μm×5.5 μm,分辨率為2048×2048；CMOS被安裝在一個(gè)電動(dòng)平移臺(tái)上,該平移臺(tái)的移動(dòng)靈敏度為0.1 μm。在采集圖像之前,CMOS的靶面調(diào)整至與光軸方向垂直,平移臺(tái)移動(dòng)方向調(diào)整至與光軸方向平行。

3.2 圖像采集及數(shù)據(jù)處理

3.2.1 10 mm圓孔的測(cè)量

先測(cè)量標(biāo)稱尺寸為10 mm的圓孔。

受限于機(jī)械結(jié)構(gòu),CMOS和被測(cè)圓孔之間的最小距離大于95 mm,故而我們移動(dòng)平移臺(tái),使得初始衍射距離約為100 mm并采集圖像,該位置記為初始位置。為了提高信噪比,我們控制CMOS在每個(gè)位置自動(dòng)快速連續(xù)采集30幅圖,然后計(jì)算出它們的均值圖用于后續(xù)的計(jì)算。

以初始位置為基準(zhǔn),以1 mm的間隔向后連續(xù)移動(dòng)電動(dòng)平移臺(tái)99次,總共獲得100幅均值衍射圖像,分別標(biāo)記為I1～I(xiàn)100。現(xiàn)將I1～I(xiàn)100分為兩組,I1～I(xiàn)50為第一組,I51～I(xiàn)100為第二組。根據(jù)公式(5),兩組圖兩兩結(jié)合計(jì)算圓孔直徑,即I1和I51結(jié)合,I2和I52結(jié)合,依次類推。此時(shí)兩圖之間的位置間隔Δd=50 mm。圖像處理的界面如圖5所示,圖中顯示的為I1和I51的圖像處理過(guò)程。

圖5 圖像處理界面

重復(fù)圖5所示的過(guò)程,可以得到50個(gè)圓孔直徑的測(cè)量值2r,并繪制于圖6中。

圖6 10 mm圓孔測(cè)量結(jié)果曲線

圖6中的橫坐標(biāo)表示這50對(duì)衍射圖像的序號(hào),縱坐標(biāo)為相應(yīng)的圓孔直徑測(cè)量值。我們以圖I1～I(xiàn)50對(duì)應(yīng)的衍射距離d表示這50對(duì)衍射圖的位置。很顯然,隨著序號(hào)的增加,衍射距離逐漸增加,而對(duì)應(yīng)的圓孔直徑測(cè)量值沒(méi)有明顯的變化,因此這50個(gè)測(cè)量值的波動(dòng)范圍可以看作是該方法的測(cè)量精度。

根據(jù)圖6曲線可知:50組測(cè)量值相對(duì)于均值的最大偏差為0.3737 μm。因此,利用菲涅爾衍射測(cè)量10 mm圓孔直徑的測(cè)量精度為0.3737 μm。

3.2.2 7.5 mm和5 mm圓孔的測(cè)量

重復(fù)3.2.1的過(guò)程,測(cè)量標(biāo)稱尺寸為7.5 mm和5 mm的圓孔直徑,所得的測(cè)量結(jié)果曲線分別如圖7和8所示。

圖7 7.5 mm圓孔測(cè)量結(jié)果曲線

圖8 5 mm圓孔測(cè)量結(jié)果曲線

根據(jù)圖7和圖8的曲線可知:利用菲涅爾衍射法測(cè)量7.5 mm和5 mm圓孔直徑的測(cè)量精度分別為0.6726 μm和0.9746 μm。

綜上,該方法對(duì)于5～10 mm范圍內(nèi)的圓孔可以達(dá)到亞微米級(jí)的精度；在相同的測(cè)量條件下,圓孔直徑越大,測(cè)量精度越高,這和2.2的結(jié)論相同。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于菲涅爾衍射的圓孔直徑測(cè)量的方法。該方法將直徑測(cè)量轉(zhuǎn)換為峰值位置的檢測(cè)。該方法的測(cè)量?jī)x器非常簡(jiǎn)單,僅僅需要一個(gè)平移臺(tái)和一個(gè)CMOS即可；而且計(jì)算很快,只需要尋求峰值位置即可,所以可以用于在線測(cè)量。仿真和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示,該方法對(duì)于5～10 mm范圍內(nèi)的圓孔可以達(dá)到亞微米級(jí)的精度。

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