盧 斌，何 勇，劉傳群，彭 達(dá)

（東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620）

自適應(yīng)濾波器越來(lái)越多地被應(yīng)用在工業(yè)中，與一般濾波器相比，具有能夠根據(jù)系統(tǒng)誤差來(lái)調(diào)節(jié)自身參數(shù)的特性，從而能夠較好地適應(yīng)環(huán)境，實(shí)現(xiàn)高效的自適應(yīng)濾波。自適應(yīng)濾波器在工業(yè)工程上應(yīng)用較為廣泛的是LMS自適應(yīng)濾波器，LMS自適應(yīng)濾波算法就是基于維納濾波器理論的最小均方算法，具有運(yùn)算量較小、程序較少、易于工程應(yīng)用等優(yōu)點(diǎn)，是實(shí)際工程中被廣泛采用的自適應(yīng)濾波算法。LMS算法的性能優(yōu)劣主要體現(xiàn)在系統(tǒng)能否快速收斂、能否保持穩(wěn)定狀態(tài)以及是否具有良好的抗干擾能力，這些性能和LMS算法中的步長(zhǎng)參數(shù)存在密切聯(lián)系[6]。LMS算法中的步長(zhǎng)參數(shù)的變化能影響算法的收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差等性能，步長(zhǎng)值較小時(shí)算法穩(wěn)態(tài)誤差就會(huì)降低，但同時(shí)算法的收斂速度也會(huì)一起降低；步長(zhǎng)值較大時(shí)算法的收斂速度就會(huì)提升，但同時(shí)算法的穩(wěn)態(tài)誤差也會(huì)一起增大，所以兩者存在矛盾。

LMS自適應(yīng)濾波算法在信號(hào)去噪、跟蹤和預(yù)測(cè)等方面有諸多應(yīng)用。本文首先對(duì)一些變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法的原理及性能進(jìn)行研究分析，再針對(duì)紗線信號(hào)數(shù)據(jù)低信噪比、變化迅速的特點(diǎn)，提出一種收斂速度更快同時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差又較小的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法，并將其應(yīng)用到紗線信號(hào)的數(shù)據(jù)濾波中，在實(shí)驗(yàn)中取得了良好的效果。

1 LMS自適應(yīng)濾波算法原理及其性能分析

1.1 LMS自適應(yīng)濾波算法

LMS自適應(yīng)濾波器是自適應(yīng)濾波器中的一種，其特點(diǎn)是應(yīng)用了最小均方算法LMS的快速求值能力，算法中的誤差是均方誤差并且與權(quán)系數(shù)向量呈二次函數(shù)關(guān)系，從空間角度看就是一個(gè)角度向上的拋物曲面，最小均方誤差就是沿著拋物曲面下降方向找到的最小值。根據(jù)梯度的概念，濾波器輸出信號(hào)與期望信號(hào)之間的誤差可以用梯度來(lái)表示，梯度取到最小值時(shí)就是誤差最小[2]。LMS自適應(yīng)濾波算法的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)濾波器的基本結(jié)構(gòu)Fig.1 Basic structure of adaptive filter block diagram

圖1所示的 x（n）和y（n）分別表示在 n時(shí)刻系統(tǒng)的輸入信號(hào)和系統(tǒng)的輸出信號(hào)，系統(tǒng)在n時(shí)刻的期望信號(hào)在圖1中由 d（n）表示，e（n）表示系統(tǒng)期望信號(hào)與輸出信號(hào)兩者的誤差。根據(jù)圖1，LMS自適應(yīng)算法可由如下公式表示：

式中：W（n）為濾波器的權(quán)系數(shù)向量；μ為濾波器的步長(zhǎng)因子。

算法收斂是LMS自適應(yīng)濾波算法有效的首要條件，要保證算法最終能夠收斂，必須滿足的條件為，經(jīng)過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)后得到步長(zhǎng)因子滿足收斂的取值范圍為

式中：λ為濾波器的輸入向量X（n）的相關(guān)矩陣R的特征值。

當(dāng)?shù)螖?shù)趨近于無(wú)窮時(shí)，濾波器的權(quán)向量W（n）就逼近維納解 W0[3]。

1.2 變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法

固定步長(zhǎng)的LMS算法存在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差兩個(gè)性能難以同時(shí)達(dá)到最優(yōu)解的缺點(diǎn)，所以在工程上很難直接應(yīng)用。為了解決這個(gè)問(wèn)題，對(duì)固定步長(zhǎng)的LMS算法進(jìn)行優(yōu)化是首要方法。變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法的原理是在系統(tǒng)剛開(kāi)始收斂的時(shí)候，期望的最優(yōu)權(quán)值與濾波器當(dāng)前的權(quán)值存在較大誤差，根據(jù)式（1）～式（3）可知在這種情況下取較大步長(zhǎng)可以更快地接近期望權(quán)值，即算法能以更快的速度收斂；系統(tǒng)在接近收斂時(shí)，即系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，濾波器的當(dāng)前權(quán)值與最優(yōu)權(quán)值相差很小，在這種情況下如果取較大步長(zhǎng)反而會(huì)造成誤差往更大的方向偏，所以應(yīng)取較小的步長(zhǎng)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性[4]。定步長(zhǎng)LMS算法中的步長(zhǎng)μ是固定不變的，不同的是變步長(zhǎng)LMS算法中的步長(zhǎng)μ（n）的值是可以根據(jù)誤差e（n）進(jìn)行調(diào)整的。變步長(zhǎng)LMS算法的流程如圖2所示。

圖2 變步長(zhǎng)LMS算法框圖Fig.2 Variable step LMS algorithm block diagram

為了更好地讓LMS算法應(yīng)用在工程上，不少改進(jìn)的LMS算法被開(kāi)發(fā)出來(lái)，比如歸一化LMS算法、變階數(shù)LMS算法、稀疏LMS算法等。下面對(duì)兩種比較有代表性的變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法機(jī)理加以分析。

第一種是歸一化LMS算法，該算法是利用輸入信號(hào)X（n）的平方歐氏范數(shù)將步長(zhǎng)“歸一化”處理，該算法中步長(zhǎng)因子表達(dá)式為

式中：μ1為初始步長(zhǎng)，且滿足：

第二種算法是一種基于Sigmoid函數(shù)變步長(zhǎng)最小均方算法SVSLMS，該算法中步長(zhǎng)因子的函數(shù)表達(dá)式為

式中：α大小決定S函數(shù)曲線開(kāi)口的寬窄以及上升的快慢；β大小決定S函數(shù)的高度，即S函數(shù)的最大值[5]。

由于 μ（n）隨著 e（n）的減小而減小，當(dāng) e（n）為 0時(shí)，μ（n）也減小為零。但是隨著算法的不斷收斂，步長(zhǎng)的改變也越來(lái)越劇烈，快速變化的步長(zhǎng)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)產(chǎn)生較大的影響，可能會(huì)引起振蕩，對(duì)算法性能產(chǎn)生影響。

2 變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法

2.1 算法改進(jìn)

雖然LMS自適應(yīng)濾波算法的優(yōu)化原理不同，但優(yōu)化的目的都是一樣的，即在系統(tǒng)初始收斂階段選取較大步長(zhǎng)，以獲得較快的收斂速度；而在系統(tǒng)處于收斂狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)獲得的權(quán)值和最優(yōu)權(quán)值之間的誤差已經(jīng)較小，為了提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性反而需要選擇較小的步長(zhǎng)[6]。

本文根據(jù)步長(zhǎng)調(diào)整原則，結(jié)合Sigmoid函數(shù)的一些特性，設(shè)計(jì)一種變步長(zhǎng)LMS算法。對(duì)Sigmoid函數(shù)進(jìn)行新的簡(jiǎn)單變換，即令。變換前后的函數(shù)曲線如圖4所示，根據(jù)圖4可以看出當(dāng)自變量趨向于0時(shí)，函數(shù)值變化更慢，變化值也更小。

圖3 Sigmoid函數(shù)變換前后曲線Fig.3 Transformation curve of sigmoid function

圖4 Sigmoid函數(shù)新變換前后曲線Fig.4 New transformation curve of sigmoid function

由圖4可以看出，兩個(gè)函數(shù)曲線都遵循步長(zhǎng)變化原則，當(dāng)x接近0時(shí)，函數(shù)值變化速度減慢，函數(shù)底部趨于平滑；當(dāng)x絕對(duì)值變大時(shí)，函數(shù)值隨著x的變化變快。對(duì)比圖中的兩條曲線，可以看出本文新變換后的曲線在x絕對(duì)值較大時(shí)函數(shù)值變化速度比變換前更快，并且在x接近0時(shí)，函數(shù)值變化速度比變換前緩和，由此得出新變換后的函數(shù)更好地遵循步長(zhǎng)原則性能。

將上述函數(shù)的x，f（x）變量換成定步長(zhǎng)LMS算法中的 e（n），μ（n）變量，得到一個(gè)e（n）和μ（n）的新函數(shù)，即新的步長(zhǎng)因子：

為了更好地分析步長(zhǎng)因子與誤差之間的關(guān)系，引入α、β兩個(gè)參數(shù)，得到一個(gè)改進(jìn)的非線性函數(shù)模型：

下面分別討論這兩個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)模型性能的影響，并分析其可能的取值。

圖5所示為 α 分別取 0.5、1、1.5、2，β取 1時(shí)的步長(zhǎng)因子μ（n）與誤差e（n）的函數(shù)模型曲線。

圖5 參數(shù)α變動(dòng)時(shí)的函數(shù)模型曲線Fig.5 Function model curve when parameter α is changed

由圖5所示可知，這4條曲線均滿足步長(zhǎng)調(diào)整原則。當(dāng)誤差為1時(shí)（此時(shí)誤差比較大），圖中大多數(shù)曲線都已經(jīng)達(dá)到或者接近步長(zhǎng)因子的最大值，說(shuō)明此時(shí)的收斂速度非常快，步長(zhǎng)因子減小十分迅速；在誤差逐漸較小為0的過(guò)程中，步長(zhǎng)因子也逐漸減小為0，并且在誤差值趨向0時(shí)，步長(zhǎng)因子變化越來(lái)越緩慢，有利于減小穩(wěn)態(tài)誤差。

通過(guò)以上分析和圖5所示可知，總體上看，α值越大，在誤差比較大時(shí)步長(zhǎng)因子減小迅速但是穩(wěn)態(tài)誤差也會(huì)增大，α值越小，在誤差比較小時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差很小但是收斂速度較慢。因此，綜合以上分析，本文選擇的α=0.5能保證在誤差較大時(shí)步長(zhǎng)因子曲線能更快地收斂，而且在誤差趨近于0時(shí)變化逐漸緩慢，穩(wěn)態(tài)誤差小。

圖6 參數(shù)β變動(dòng)時(shí)的函數(shù)模型曲線Fig.6 Function model curve when parameter β is changed

由圖6所示可知，這4條曲線均滿足步長(zhǎng)調(diào)整原則。在初始收斂階段，步長(zhǎng)因子隨著誤差變化迅速；在算法收斂后，步長(zhǎng)因子隨著誤差變得比較緩慢，穩(wěn)態(tài)誤差較小?？傮w上看，β取值太大時(shí)步長(zhǎng)因子收斂較快但是在誤差較小時(shí)容易出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差，β取值太小時(shí)步長(zhǎng)因子收斂較慢但是在誤差接近0時(shí)較為穩(wěn)定。因此，綜合上述分析，本文選取β=0.02使系統(tǒng)性能達(dá)到最佳。

綜上所述，本文最終設(shè)計(jì)出一個(gè)變步長(zhǎng)因子μ（n）與e（n）的非線性函數(shù)模型：

結(jié)合式（1）～式（3），本文提出的一種變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法可由如下公式表示：

2.2 算法參數(shù)的仿真

在確定了算法的參數(shù)后需要對(duì)其進(jìn)行仿真檢驗(yàn)，仿真條件為輸入信號(hào)sin2πt+cos2πt，疊加randn隨機(jī)噪聲，濾波器階數(shù)采用2階，采用二階線性自適應(yīng)預(yù)測(cè)來(lái)估計(jì)變步長(zhǎng)自適應(yīng)算法中的參數(shù)α、β對(duì)濾波性能的影響，采樣點(diǎn)數(shù)為1024，為了減少誤差，本文選擇求出200次獨(dú)立仿真的統(tǒng)計(jì)平均值作為結(jié)果，最后得出誤差收斂圖。

如圖7所示，本文提出的LMS自適應(yīng)濾波算法中的誤差迅速減小并保持穩(wěn)定，具有很好的收斂性能，可以調(diào)整參數(shù)α、β來(lái)控制函數(shù)的模型。在具體工程應(yīng)用中，可以根據(jù)不同的工作環(huán)境和輸入信號(hào)來(lái)調(diào)整并確定合適的參數(shù)α、β，使系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)最佳狀態(tài)。

圖7 采用新算法的收斂曲線Fig.7 Convergence curve using the new algorithm

2.3 算法性能分析

本文中變步長(zhǎng)LMS算法能快速收斂，比定步長(zhǎng)LMS算法更加柔性，適應(yīng)性更強(qiáng)，并且在初始時(shí)誤差下降較快，所以系統(tǒng)在初始狀態(tài)時(shí)能快速到達(dá)穩(wěn)定。在后面區(qū)域穩(wěn)定時(shí)，誤差一直穩(wěn)定在某個(gè)區(qū)間，基本穩(wěn)定在0附近。本文使用Matlab軟件對(duì)算法進(jìn)行仿真測(cè)試，得到的結(jié)果如圖8所示。在圖8中可以看到新算法濾波性能明顯優(yōu)于原算法，特別是濾波速度，新算法在0.1處就基本完成濾波。

圖8 算法仿真測(cè)試Fig.8 Algorithm simulation test

圖9 原始紗線信號(hào)Fig.9 Original yarn signal diagram

3 算法在紗線信號(hào)濾波中的應(yīng)用及分析

3.1 應(yīng)用背景

紗線信號(hào)的處理是電子清紗器最重要的部分，紗線信號(hào)的去噪是其中一個(gè)關(guān)鍵步驟。紗線信號(hào)曲線通常表現(xiàn)為在一較穩(wěn)定的平均值附近波動(dòng)，并且在時(shí)域上信噪比較低[8]。同時(shí)，由于粗節(jié)、細(xì)節(jié)、異纖等紗疵，紗線信號(hào)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些異常值。由于紗線信號(hào)的特點(diǎn)要求采用的濾波器具有快速處理能力，以滿足工程需要，這就需要采用具有學(xué)習(xí)功能的濾波器來(lái)取得滿意的效果[9]。

3.2 算法應(yīng)用及分析

為了能更好地對(duì)紗線信號(hào)進(jìn)行處理，設(shè)計(jì)出針對(duì)紗線信號(hào)的濾波器。本文首先利用ADC轉(zhuǎn)換器采集紗線信號(hào)并導(dǎo)入到Matlab中，這樣方便觀察算法的性能并調(diào)試參數(shù)[10]。本文提出的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法可以將信號(hào)中的噪聲較好地去除，為下一步的模式識(shí)別做好準(zhǔn)備。

本文將新的LMS算法應(yīng)用到紗線信號(hào)的濾波中，圖9中第一幅圖所示為檢測(cè)到的一段紗線的信號(hào)圖，采樣頻率為20 kHz，圖中縱坐標(biāo)代表信號(hào)的幅值[11]。期望信號(hào)表示的是理想狀況下檢測(cè)到的紗線疵點(diǎn)信號(hào)圖，圖中表示紗線出現(xiàn)兩處不同的疵點(diǎn)，其中圖中第一處峰值代表細(xì)結(jié)，第二處峰值代表粗結(jié)。

用本文提出的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法對(duì)紗線信號(hào)進(jìn)行處理后得到的信號(hào)如圖9（d）所示。從圖中可以看出，新算法不僅能很好地去除信號(hào)中的噪聲，而且相比于原固定步長(zhǎng)算法，紗疵信號(hào)經(jīng)過(guò)新算法處理后與理想信號(hào)更接近，并且在第二次紗疵出現(xiàn)時(shí)能更快收斂。檢測(cè)過(guò)程中紗線速度為200 m/min，兩處紗疵距離為1.64 m?？梢?jiàn)經(jīng)過(guò)自適應(yīng)濾波算法濾波后原信號(hào)中的大量噪聲已經(jīng)被很好地濾去了，并且有較好的收斂性。算法的誤差收斂圖如圖10所示，從圖中可以看出誤差下降很快并且第二次誤差值更接近0。

圖10 誤差收斂圖Fig.10 Error convergence graph

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)一般定步長(zhǎng)LMS算法和文中提出的變步長(zhǎng)LMS算法進(jìn)行了對(duì)比分析，步長(zhǎng)因子的大小能夠影響算法的性能，步長(zhǎng)因子需要在系統(tǒng)初始階段能夠快速變化以加快收斂速度，在系統(tǒng)收斂后能夠緩慢變化以減小穩(wěn)態(tài)誤差。本文在步長(zhǎng)因子選取原則的基礎(chǔ)上，通過(guò)仿真選取適合紗線檢測(cè)的變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法，結(jié)果證明算法具有較好的收斂性和穩(wěn)態(tài)性。根據(jù)紗線信號(hào)的特征，本文利用變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波算法對(duì)紗線信號(hào)進(jìn)行濾波處理，在紗線速度為200 m/min的條件下取得了較好的效果，為進(jìn)一步對(duì)紗疵的精確識(shí)別和處理打下基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Turan C，Salman M S，Eleyan A.A new variable step-size block LMS algorithm for a non-stationary sparse systems[C]//Twelve International Conference on Electronics Computer and Computation.IEEE，2015：1-4.

[2]Zhu Z，Gao X，Cao L，et al.Analysis on theadaptive filter based on LMS algorithm[J].Optik-International Journal for Light and Electron Optics，2016，127（11）：4698-4704.

[3]Garg R，Kohli A K.Parameter estimation and tracking of sinusoid using variable-step-size LMS algorithms[J].Optik-International Journal for Light and Electron Optics，2016，127 （22）：10953-10960.

[4]Agarwal R K，Hussain I，Singh B.Integration of single-stage SPV generation to grid using admittance based LMS technique[C]//IEEE International Conference on Emerging Trends in Electrical，Electronics&Sustainable Energy Systems，IEEE，2016.

[5]賀遠(yuǎn)，劉剛，寧尚昆.無(wú)線數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)及自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)[J].自動(dòng)化與儀表，2015，30（11）：26-30.

[6]周基陽(yáng)，徐聲偉，林楠森，等.一種提取動(dòng)作電位的自適應(yīng)閾值算法[J].自動(dòng)化與儀表，2014，29（3）：1-5.

[7]孫勇，肖勇，方彥軍.基于改進(jìn)自適應(yīng)閾值法的指針儀表圖像預(yù)處理[J].自動(dòng)化與儀表，2014，29（9）：5-9.

[8]靳翼，邵懷宗.一種新的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法及其仿真[J].信號(hào)處理，2010，26（9）：1385-1388.

[9]彭繼慎，劉爽，安麗.低信噪比下基于新型變步長(zhǎng)LMS的自適應(yīng)濾波算法[J].傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2013（8）：1116-1120.

[10]徐洋，徐松濤，馬健，等.基于Sigmoid二次型隸屬度函數(shù)的改進(jìn)LMS 算法[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014（10）：3470-3476.

[11]張中華，張端金.一種新的變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法及性能分析[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31（9）：2238-2241.