劉 康，陳 政

（昆明理工大學信息工程與自動化學院，云南 昆明 650504）

0 引言

線性調(diào)頻信號因其具有大時寬、帶寬積、距離分辨率高、低峰值功率等優(yōu)良特性而廣泛應用于通信、雷達、地震勘探等領域，其頻率特征的提取是估計參數(shù)最重要的問題之一，也是相關(guān)領域重要的研究內(nèi)容。

作為最常用的非平穩(wěn)信號之一，在一些情況下，對于LFM信號頻率特性的快速、精確估計顯得尤為重要，傳統(tǒng)具有代表性的估計方法有：各種基于最大似然估計的算法，該類算法估計精度高，但運算量大，不利于工程上的快速實現(xiàn)[1-3]；一些以短時傅里葉變換（STFT）、分數(shù)階傅里葉變換（FrFT）為代表的時頻分析方法[4-8]充分利用了 LFM 信號的時頻聚集特性，也可用于該信號的參數(shù)估計，但需復雜的搜索和計算，同樣有待研究改進。總的來說，提出一種不需要參數(shù)搜索的快速、精確的線性調(diào)頻信號參數(shù)估計方法具有重要的現(xiàn)實意義，本文基于文獻[9]中提及的使用希爾伯特變換提取出的瞬時相位會產(chǎn)生卷疊的問題[9]，提出了一種新的去卷疊方法，新方法具有計算簡單、易于實現(xiàn)、能真實還原相位的特點。

1 LFM信號瞬時相位及頻率分析

不失一般性，假設接收到的線性調(diào)頻實信號表達式為：

其中：1f為調(diào)頻率，0f為起始頻率，0φ為初始相位，這里1f和0f為待估參數(shù)，由（1）式可知，LFM信號的瞬時相位可表達為：

由（2）式可知，LFM信號的瞬時相位為時間t的二次函數(shù)，因此只要提取信號的瞬時相位，再對提取的瞬時相位利用二次多項式 y = a x2+ b x + c 進行擬合，根據(jù)擬合獲得的二次式系數(shù)與參數(shù) f1和 f0的對應關(guān)系，即可得到參數(shù)估計值。

對式（1）表達的信號進行希爾伯特變換，并將信號表示為解析信號的形式：

其實部、虛部分別表達為：

瞬時相位表達式為：

利用希爾伯特變換構(gòu)建解析信號，然后計算（6）式的反正切函數(shù)值即可得到瞬時相位。

2 拋物線預測去卷疊算法原理

通過反正切函數(shù)計算出的相位值域在/π-2~/2π之間，按模π計算相位序列會使相位發(fā)生卷疊，因此需對得到的相位進行去卷疊，此時引入拋物線預測矩陣[10]：

考慮一個形式為二次多項式的信號：

其無偏估計可以由下式表示：

其中 hl（ i）是受高斯白噪聲影響的系數(shù)，在沒有噪聲影響的情況下x?( n ) = x( n)，若各系數(shù)中的噪聲統(tǒng)計獨立，那么噪聲的功率為：

各項約束條件為：

為使噪聲的功率最小，使用拉格朗日乘子法，可得拉格朗日方程：

其中jλ可由下面的矩陣方程解得：

K=3 時，系數(shù) h（1）=3，h（2）=-3，h（3）=1，即： x ( n ) = 3 x( n - 3 )- 3 x( n - 2 ) + x ( n - 1 )寫成矩陣形式： F = [ 3 - 3 1]. 得到預測系數(shù)矩陣后，即可根據(jù)前三個相位值預測下一個相位，然后將預測相位和反正切值進行比較、修正，即可還原真實相位，達到去卷疊的目的。

使用多項式最優(yōu)系數(shù)陣可以對瞬時相位進行去卷疊處理，處理后的瞬時相位仍會存在部分異常點，本文使用最小二乘對瞬時相位序列進行擬合，減少異常點對參數(shù)估計精度的影響，同時根據(jù)得到的瞬時相位使用高階差分計算瞬時頻率[11]，可以降低噪聲的影響。

3 算法仿真

本節(jié)通過仿真實驗來驗證本文算法的參數(shù)估計性能。選用的LFM信號為 u ( t) = c os(10 t + 2 0 t2)，采樣頻率f s =1 kHz，采樣點數(shù)N =1 024點，噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比 15 dB，文獻[8]中利用希爾伯特變換提取的未進行去卷疊處理的瞬時相位如圖（1）所示。

使用本文拋物線預測去卷疊方法處理后得到的真實相位如圖2所示。

瞬時相位、瞬時頻率擬合得到參數(shù)估計結(jié)果如表（1）所示，初始頻率真值為10 rad/s，參數(shù)估計結(jié)果為10.1288 rad/s，調(diào)頻斜率真值為40 rad/s^2，參數(shù)估計結(jié)果為 39.9024 rad/s^2。證明本文方法能有效用于LFM信號參數(shù)估計中的相位卷疊問題。

圖1 未進行去卷疊處理的瞬時相位Fig.1 The phase without Unwrapping

圖2 拋物線預測去卷疊后的瞬時相位Fig.2 The phase by using the Parabola Prediction

表1 參數(shù)估計結(jié)果Tab.1 results of parameters estimation

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)的線性調(diào)頻信號參數(shù)估計算法往往需要大量的搜索和計算，這給參數(shù)估計帶來了困難。本文基于文獻[9]中在提取瞬時相位的過程會發(fā)生相位卷疊的問題提出了一種新的去卷疊方法，并簡述了算法原理，以及仿真分析。新方法具有計算簡單、易于實現(xiàn)、能真實還原相位的特點，仿真實驗說明了本文算法的有效性。

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