摘 要 目前基于小波框架的圖像復原模型研究較為普遍，它在圖像方面的成功應用主要是因為稀疏逼近的分段光滑函數(shù)。雖然基于l0平滑的圖像復原算法中能夠提供圖像的稀疏表示，但基于l0范數(shù)的約束項會使得計算量較為復雜，且代碼運行時間較長。針對此問題，提出一種改進的MDAL算法。算法中采用光滑高斯函數(shù)近似代替l0范數(shù)，通過牛頓迭代法來更新小波框架的系數(shù)。實驗結果表明，與其他算法相比，提出的改進的MDAL算法具有自適應的魯棒性，很好地保持了圖像的邊緣特征，能夠明顯改善圖像的視覺效果，且具有較高的峰值信噪比（PSNR）。

【關鍵詞】小波框架 圖像復原 l0最小化 MDAL算法

1 引言

圖像恢復技術是圖像處理領域一類重要的處理技術，與圖像增強等其他基本圖像處理技術類似，該技術也是以獲取視覺質量得到某種程度改善為目的的。圖像恢復過程需要根據(jù)指定的圖像退化模型來完成，根據(jù)這個退化模型對在某種情況下退化或惡化了的退化圖像進行恢復，以獲取到原始的、未經(jīng)過退化的原始圖像。換句話說，圖像恢復的處理過程實際是對退化圖像品質的提升，并通過圖像品質的提升來達到圖像在視覺上的改善。圖像復原技術在航空航天、生物醫(yī)學、國防公安等領域具有廣泛的應用。目前，在非平穩(wěn)圖像先驗知識未知等前提下，圖像復原方法得到了不錯的復原效果。

較早的復原方法有Wiener濾波、RL方法等，但復原圖像有大量的振鈴效應。Fergus 等人[1]利用混合高斯模型來逼近重尾分布，取得了具有標志性的的進展，然而復原出的圖像中含有振鈴效應。Shan等人[2]采用新的分段函數(shù)模型來逼近梯度分布，有效地抑制了圖像復原過程中造成的振鈴現(xiàn)象，但是恢復出的圖像中含有噪聲。Xu等人[3]提出一種選擇顯著性邊緣的方法，很好地保持了模糊核的稀疏性，但未考慮模糊核的連續(xù)性。

基于小波框架的圖像復原模型研究較為普遍，比較常見的算法有PD算法和MDAL算法。通常情況下，采用l0范數(shù)來度量數(shù)據(jù)的稀疏性比較準確，即考察數(shù)據(jù)集中非零元的個數(shù)。但在實際應用中，一方面，當優(yōu)化模型中存在基于l0范數(shù)的約束項時，就會使得求解方法較為復雜，且時間復雜度較高；另一方面，l0范數(shù)對于數(shù)據(jù)中的噪聲是極其敏感的。為了克服l0范數(shù)的不足，本文通過光滑高斯函數(shù)近似代替l0范數(shù)，提出了一種改進的MDAL算法。改進的MDAL算法具有自適應的魯棒性，很好地保持了圖像的邊緣特征和視覺特性。

2 小波框架下的圖像復原模型

為了獲得高質量的圖像復原，目前各種正則化方法在文獻中被提出。在所有關于圖像復原的正則化模型中，變分方法和小波框架是很成功的，并且在實際中得到了廣泛應用。

基于文獻[4]的小波框架能根據(jù)基本解的奇異性，適應性地在給定圖像的不同區(qū)域選取適當?shù)奈⒎炙阕?，所以它們?yōu)于一些變分模型。在離散設置時，w表示快速的張量積框架分解，wT表示快速重構。然后通過單一的擴展原理（UEP）[5]，得到一個更好的重構：因為WTW=1，所以對于任何矩陣u，滿足u=WTWu。小波框架的構造也能通過UEP來獲得。在數(shù)值模擬中，Haar框架將以特定[7]形式被構造使用。用以下公式來表示u的L層的框架系數(shù)分解：

I表示所有框架帶的指數(shù)集，Wl，ju是u在j帶l層的小波框架。我們也使用α表示小波框架系數(shù)，即α=Wu，

使用基于文獻方法[6]的分析來解決圖像重構問題：

其中f表示噪聲模糊圖像，A表示模糊算子。l0范數(shù)||w||0被定義為w的非零項的數(shù)目。在小波變換的確定層和波段的給定的像素位置上，用（Wu）i表示W(wǎng)u的值（與λi類似）。為了符號的簡單，優(yōu)化模型（3）可以重新寫成：

3 小波框架中基于l0最小化的MDAL算法

均值雙重增強拉格朗日問題可以被定義為：

基于l0范數(shù)的約束項會使得計算量較為復雜，且代碼運行時間較長。同時，l0范數(shù)對于數(shù)據(jù)中的噪聲是極其敏感的。光滑高斯函數(shù)的傅氏變換還是它本身，其頻譜圖是一個單瓣，因此能比較好地保留圖像的低頻和高頻信息，并在保留圖像信息和濾出噪聲之間找到一個平衡點。高斯函數(shù)的計算上的可分離性，使得其高維計算可以高效進行。例如二維高斯函數(shù)的卷積計算，可以先用原始二維圖像對一個一維高斯函數(shù)卷積，再對另外一個方向垂直的一維高斯函數(shù)進行第二次卷積。本文采用光滑高斯函數(shù)近似代替l0范數(shù)，提出一種改進的基于l0最小化的MDAL算法?？紤]到帶參數(shù)σ1的連續(xù)高斯函數(shù)[6]：

逼近的準確性受參數(shù)來控制，同時用來逼近克羅內克函數(shù)（Kronecker delta）[13]。在數(shù)學術語上，有：

函數(shù)h是α中零項數(shù)目的一個指示器，重構向量α通過以下公式逼近：

其中，。在上面的公式中，N代表了所有包括在α中的元素的數(shù)量和，所以可以用重建優(yōu)化后的模型來代替（6）：

對于均值雙重增強拉格朗日（MDAL）問題，可以用以下三步迭代來描述，并通過應用光滑算法來解決最小化問題：

通過牛頓迭代法來更新小波框架的系數(shù)。通過牛頓下降梯度法求解α中所有元素的導數(shù)。在這種情況下，小波框架的系數(shù)有更少的非零項，小波框架系數(shù)得到最小值。在整個操作過程中，內循環(huán)通過牛頓法來控制小波系數(shù)，并采用合適的終止標準終止外循環(huán)。

4 模擬和結果

在這一部分，本文提供了改進的MDAL方法與其它方法進行圖像恢復質量比較。本文選取四幅不同的模糊圖像做測試，使用MATLAB中的“fspecial（‘gaussian，11，2）”函數(shù)來生成模糊核?；謴蛨D像的質量通過下面定義的PSNR值來測定：

其中，是待復原的清晰圖像。

本文測試兩種算法的信噪比和時間復雜度。所有的計算都在MATLAB上進行。電腦配置為Intel Core i7（3.4GHz）CPU， 16GB RAM， Window7操作系統(tǒng)。通過實驗，我們?yōu)閮煞N方法選擇相同的停止標準。

在Haar框架下，對于所有的圖像進行測試。對于改進的MDAL方法，設定參數(shù)σ1=0.5，step=0.68，k=6，μ=0.01，γ=0.003。這些參數(shù)的優(yōu)化調整可能會提高呈現(xiàn)的結果，但也可能降低算法的實用性，因為更多的參數(shù)是需要使用者自行調整的。

圖1是本文與其他方法的復原實驗對比結果。圖1（a）是一副模糊圖像，圖1（b、c、d）分別是Fergus，Shan以及Xu等人的結果，圖1（e）是本文改進的MDAL方法的結果。Fergus等[1]和Shan等[2]采用模糊核閾值截斷的方法，復原圖像中存在一定的模糊，如圖（b）和（c）所示。Xu等人[3]的復原結果中有明顯的振鈴效應，如圖1（c）所示。實驗結果顯示，本文方法的峰值信噪比（PSNR）的值比其他方法至少高2db，如表1所示。從圖1（e）和（f）中可以發(fā)現(xiàn)，本文在復原的同時，有效地抑制了振鈴效應，很好地保持了圖像的邊緣特征和視覺特性。

5 結束語

光滑高斯函數(shù)能比較好地保留圖像的低頻和高頻信息，同時由于高斯函數(shù)計算上的可分離性，使得其高維計算可以高效進行。在小波框架下，本文利用光滑高斯函數(shù)近似代替 范數(shù)，提出了基于改進的MDAL算法的圖像復原模型。實驗結果表明，改進的MDAL算法具有自適應的魯棒性，很好地保持了圖像的邊緣特征和視覺特性。采用峰值信噪比（PSNR）作為基于誤差敏感的圖像質量評價。與其他方法的定量結果相比，本文方法的PSNR值遠高于其他方法的PSNR值，具有很好的理論研究意義和實用價值。然而，對于一些特殊的圖像，改進的MDAL算法比其他兩種算法要慢。在未來的工作中，一方面要減少計算成本，另一方面，為了獲得更好的圖像質量，我們需要進一步優(yōu)化我們的算法，處理一些非光滑的圖像。

參考文獻

[1]Fergus Rob，Singh Barun， Hertzmann Aaron，et al.Removing camera shake from a single photograph[C].ACM Transactions on Graphics，2006，25（03）：787-794.

[2]Q.Shan，W.Xiong，and J.Jia.Rotational motion deblurring of a rigid object from a single image.In Proc.Int. Conf.Comput.Vision.IEEE，2007.

[3]Xu L and Jia J.Two-phase kernel estimation for robust motion deblurring.In Proc.10th European Conf.Comput.Vision.IEEE，2010.

[4]J.Cai，S.Osher，and Z.Shen，“Split Bregman methods and frame based image restoration，”Multiscale Modeling and Simulation：A SIAM Interdisciplinary Journal，vol.8，no.2， pp.337-369，2009.

[5]J.Cai，S.Osher，and Z.Shen，“Split Bregman methods and frame based image restoration，”Multiscale Modeling and Simulation：A SIAM Interdisciplinary Journal，vol.8，no. 2，pp.337-369，2009.

[6]王志堅.基于大氣模型的圖像復原改進算法及應用[J].計算機工程與應用，2007（03）：239-241+248.

作者簡介

張靜（1990-），女，山東省濱州市人。碩士學位。吉林建筑大學城建學院助教。主要研究方向為圖像處理，計算數(shù)學。

作者單位

吉林建筑大學城建學院基礎部 吉林省長春市 130000