臧 萬(wàn) 軍， 孫 文 濤

( 1.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院， 福建 福州 350118； 2.地下工程福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 福建 福州 350118 )

0 引 言

在地下結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)方面，研究方法主要有地震觀測(cè)、模型試驗(yàn)和理論分析3種[1-2]，其各有優(yōu)缺點(diǎn)，本文僅就理論分析研究予以闡述．理論分析研究分為數(shù)值模擬和理論解析兩種方法．?dāng)?shù)值模擬比理論解析方法更接近于實(shí)際工況，但有時(shí)局限于本構(gòu)模型的適用條件，與真實(shí)情況有所偏差；理論解析法對(duì)實(shí)際工況進(jìn)行簡(jiǎn)化，在揭示物理力學(xué)本質(zhì)方面具有優(yōu)勢(shì)，但在計(jì)算復(fù)雜邊值問題上存在困難，如復(fù)變函數(shù)與其積分變換的計(jì)算等，簡(jiǎn)單模型尚且如此，復(fù)雜模型更是困難，為得到解析解需要做更多簡(jiǎn)化而與實(shí)際情況相去甚遠(yuǎn)，甚至無(wú)法得出結(jié)果．

國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者基于波函數(shù)展開法對(duì)地下結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)問題進(jìn)行了研究．梁建文等[3-4]研究了在P波和SV波激勵(lì)下地下洞室群的動(dòng)應(yīng)力集中問題；孫紅陽(yáng)[5]、梁建文等[6]運(yùn)用Fourier-Bessel級(jí)數(shù)展開法和鏡像法，推導(dǎo)出半空間中地下洞室群在SH波入射下隧道位移解析解；杜金金[7]、付佳等[8]采用波函數(shù)展開法求解了單隧道在SH波入射下位移解析解．

以上學(xué)者僅就單洞隧道或隧道群作了研究，但在巖溶隧道[9]動(dòng)力響應(yīng)解析解方面研究較少．本文主要運(yùn)用波函數(shù)展開法和Fourier-Bessel級(jí)數(shù)變換，推導(dǎo)巖溶隧道在平面SH波激勵(lì)下動(dòng)力響應(yīng)位移解析解的計(jì)算公式，并研究溶洞半徑、溶洞與隧道的中心距和平面SH波入射角度等因素對(duì)巖溶隧道動(dòng)力響應(yīng)位移幅值的影響，為巖溶隧道抗減震設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)．

1 理論解析解推導(dǎo)

1.1 分析模型建立

巖溶形態(tài)及性質(zhì)各異，在隧道施工和運(yùn)營(yíng)過程中對(duì)隧道影響較大的是具有一定規(guī)模和尺度的巖溶空洞．為簡(jiǎn)化分析、突出重點(diǎn)，本文不考慮溶洞充填物質(zhì)．因此，本文中巖溶特指具有一定規(guī)模的巖溶空洞，將此類地質(zhì)條件下的隧道稱之為巖溶隧道．現(xiàn)建立如圖1所示的簡(jiǎn)化模型，在一個(gè)均勻的半空間中，存在一溶洞和一隧道，溶洞半徑為a1，圓心到地表距離為D，隧道半徑為a2．溶洞與隧道的中心距為s．

圖1 巖溶隧道模型及其鏡像Fig.1 The model of karst tunnel and its mirror image

作如下假定：

(1)隧道襯砌為剛性；

(2)無(wú)限半空間為彈性、均質(zhì)、各向同性．

假設(shè)一單位幅值為1的平面SH波入射，入射角度為γ，如圖1所示．

1.2 波場(chǎng)分析

巖溶隧道模型為平面二維模型，z軸垂直于紙面，假定入射波為垂直于紙面沿著z軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)．入射波滿足波動(dòng)方程[5]：

(1)

在極坐標(biāo)系下圓心O1處SH波表達(dá)式如下：

(2)

入射波波長(zhǎng)λ的比值表達(dá)式如下：

(3)

運(yùn)用鏡像法模擬邊界條件為零應(yīng)力的地表模型．

一波源處入射波的表達(dá)式見式(2)．通過鏡像法，在地表邊界另一波源，該入射波可表示為

(4)

入射波在傳播過程中遇到溶洞和隧道異常區(qū)域后，發(fā)生散射效應(yīng)，產(chǎn)生4組散射波，其表達(dá)式為

Bj，msinmθj)；j=1，2，3，4

(5)

全空間的總位移場(chǎng)可表示為

(6)

利用內(nèi)域型Graf加法公式，把外域型的模型轉(zhuǎn)換到內(nèi)域型Graf加法公式中進(jìn)行計(jì)算，具體步驟詳見文獻(xiàn)[5]．

1.3 邊界條件引入

溶洞表面邊界處無(wú)荷載，引入模型應(yīng)力和位移邊界條件可得[5-6]

τr1z1=0 τr2z2+gw(z2，

2)=0

(7)

-ω2M′0Δ1=0 -ω2M0Δ2=-f

(8)

式中：M′0為溶洞單位長(zhǎng)度質(zhì)量，M0為隧道單位長(zhǎng)度質(zhì)量，Δ1、Δ2分別為溶洞和隧道位移幅值，f為隧道邊界上單位長(zhǎng)度上的力，g為隧道邊界約束剛度系數(shù)．

1.4 位移解析解求解

解得溶洞和隧道的位移分別為

Δ1=J0(ka1)+exp(-2ikDcosγ)J0(ka1)×

(9)

Δ2=exp(-ikssinγ)J0(ka2)+exp(-2ikD×

cosγ-ikssinγ)J0(ka2)cosγ+

(10)

1.5 實(shí)用公式簡(jiǎn)化

為便于技術(shù)人員計(jì)算，根據(jù)Bessel函數(shù)的級(jí)數(shù)解和Bessel函數(shù)以及Hankel函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步作簡(jiǎn)化處理．

溶洞的位移公式整理為

Δ1=G+Gcosγ[cos(2kDcosγ)-

(11)

隧道的位移公式整理為

Δ2=G[cos(kssinγ)-isin(kssinγ)]+

G[cos(2kDcosγ+kssinγ)-

isin(2kDcosγ+kssinγ)]cosγ-

(12)

其中

為求出實(shí)際地震動(dòng)的位移時(shí)程曲線，基于Matlab軟件通過快速傅里葉變換將地震波時(shí)程記錄分解為若干間隔相等的覆蓋0～21 Hz的不同頻率分量，乘以對(duì)應(yīng)的頻域放大譜值，再把放大后的頻域結(jié)果通過傅里葉變換得到相應(yīng)的時(shí)域結(jié)果[7]．

2 理論解析解驗(yàn)證

巖溶隧道動(dòng)力響應(yīng)位移解析解的推導(dǎo)基于復(fù)變函數(shù)方法和工程波動(dòng)理論，適用于均質(zhì)、各向同性的巖溶隧道動(dòng)力響應(yīng)分析．為驗(yàn)證解析解的正確性，現(xiàn)與數(shù)值模擬解進(jìn)行比較分析．

2.1 數(shù)值模擬模型

某巖溶隧道開挖半徑為5 m，截面采用馬蹄形，隧道中心到地表的距離為105 m．根據(jù)工程地質(zhì)報(bào)告，計(jì)算物理參數(shù)見表1．

計(jì)算模型如圖2所示．

表1 材料的物理力學(xué)參數(shù)Tab.1 Physico-mechanical parameters of materials

圖2 巖溶隧道數(shù)值模擬三維模型Fig.2 The three-dimensional model of karst tunnel numerical simulation

馬蹄形隧道輪廓和6個(gè)檢測(cè)點(diǎn)如圖3所示．

圖3 隧道形狀和6個(gè)檢測(cè)點(diǎn)Fig.3 Tunnel shape and six monitoring points

2.2 馬蹄形換算為圓形的可行性研究

為將馬蹄形換算成圓形，先討論該數(shù)值計(jì)算與解析解有無(wú)可比性．為不失一般性，現(xiàn)提取數(shù)值模擬解中隧道任意截面中仰拱、右拱腳、右拱肩、拱頂、左拱肩和左拱腳6個(gè)檢測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程曲線進(jìn)行比較．

地震波選用汶川地震波，經(jīng)濾波基線校準(zhǔn)的位移時(shí)程曲線如圖4所示．

圖4 汶川地震波經(jīng)濾波基線校準(zhǔn)的位移時(shí)程曲線Fig.4 The time-displacement curve of Wenchuan earthquake wave calibrated by filter baseline

在入射角度γ=0°和γ=90°時(shí)，隧道位移時(shí)程曲線如圖5所示．

現(xiàn)給出2、4、6和8 s時(shí)的位移幅值(表2、3)．

(b)γ=90°

圖5 隧道在入射角度γ=0°和γ=90°時(shí)的位移時(shí)程曲線

Fig.5 The time-displacement curve of tunnel atγ=0° andγ=90°

數(shù)值模擬解中隧道任意截面中拱頂、左拱肩、右拱肩、左拱腳、右拱腳和仰拱6個(gè)關(guān)鍵部位的位移時(shí)程曲線基本重合，波形一致，但6個(gè)關(guān)鍵部位的位移幅值的數(shù)據(jù)存在允許范圍內(nèi)的差異，如表2、3所示，說明隧道形狀對(duì)位移影響較小，因此，在入射角度γ=0°、γ=90°時(shí)，推導(dǎo)位移解析解時(shí)把隧道簡(jiǎn)化為圓形是可行的．拱腳等斷面突變位置在數(shù)值模擬中存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，6個(gè)關(guān)鍵部位應(yīng)力曲線與上述位移曲線不同，故若推導(dǎo)應(yīng)力解析解，不能直接把隧道簡(jiǎn)化為圓形．

表2 2、4、6和8 s的測(cè)點(diǎn)位移幅值(γ=0°)Tab.2 Displacement amplitude of monitoring points at 2, 4, 6 and 8 s (γ=0°)

表3 2、4、6和8 s的測(cè)點(diǎn)位移幅值(γ=90°)Tab.3 Displacement amplitude of monitoring points at 2, 4, 6 and 8 s (γ=90°)

2.3 數(shù)值模擬解與理論解析解的比較

取數(shù)值模擬解中溶洞和隧道拱頂?shù)奈灰茣r(shí)程曲線與解析解進(jìn)行比較，結(jié)果如圖6所示．

圖6 溶洞和隧道的位移時(shí)程曲線Fig.6 The time-displacement curve of karst cave and the tunnel

由圖6可以看出，數(shù)值解和解析解位移時(shí)程曲線中第1～5 s吻合較好，而前1 s和后3 s相差較大．比較溶洞和隧道在入射角度γ=0°和γ=90°時(shí)解析解和數(shù)值解的位移幅值峰值可知，溶洞的位移幅值峰值在入射角度γ=0°和γ=90°時(shí)分別相差11%和9%，隧道的位移幅值峰值在入射角度γ=0°和γ=90°時(shí)分別相差9%和10%，可見理論解析解具有較好的精度．

3 算 例

3.1 地震動(dòng)輸入

理論解析所用地震波采用2008年汶川地震中的臥龍波，持時(shí)8 s．其中地震峰值位移為-0.062 m．地震波波形如圖4所示．

3.2 解析解影響因素分析

根據(jù)解析解，考慮溶洞半徑、溶洞與隧道中心距以及平面SH波入射角度等因素[10]，探討巖溶隧道在SH波激勵(lì)作用下的地震動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律．計(jì)算工況如表4所示．

表4 工況說明表Tab.4 The table of working condition

各工況溶洞和隧道位移時(shí)程曲線如圖7所示．

從圖7(a)可以看出，工況1溶洞位移峰值略微比工況3的大0.14%，工況1隧道位移峰值比工況3的大28%；從圖7(b)可知，工況2溶洞位移峰值比工況4的大0.57%，工況2的隧道位移峰值比工況4的大7%．說明當(dāng)平面SH波入射角度相等，溶洞與隧道間的中心距相等時(shí)，溶洞半徑越大，溶洞與隧道的位移幅值越大．

從圖7(a)可知，工況3溶洞位移峰值比工況5對(duì)應(yīng)值小4%，工況3隧道位移峰值比工況5的小4%；從圖7(b)可知，工況4溶洞位移峰值比工況6的對(duì)應(yīng)值小1.5%，工況4隧道位移峰值比工況6的小9%．說明當(dāng)平面SH波入射角度固定，溶洞半徑相等時(shí)，溶洞與隧道間的中心距越小，溶洞與隧道的位移幅值越大．

從圖7(c)、(d)可以看出，平面SH波入射角度為90°時(shí)的位移峰值大于入射角度為0°時(shí)的對(duì)應(yīng)值，增幅從1.80%、2.57%、5.79%、6.00%、21.00%到24.00%不等，在總體上說明當(dāng)溶洞半徑相等，溶洞與隧道間的中心距相等時(shí)，平面SH波入射角度越大，溶洞與隧道的位移幅值越大．

(a) 工況1、3、5的比較

(b) 工況2、4、6的比較

(c) 溶洞

(d) 隧道

圖7 不同工況溶洞和隧道位移時(shí)程曲線

Fig.7 The time-displacement curve of karst cave and tunnel at different cases

4 結(jié) 論

(1)基于工程波動(dòng)理論，利用波函數(shù)展開法和Fourier-Bessel級(jí)數(shù)變換，推導(dǎo)了巖溶隧道在平面SH波激勵(lì)下動(dòng)力響應(yīng)位移解析解的計(jì)算公式，并提出了實(shí)用的簡(jiǎn)化解．

(2)通過數(shù)值模擬解驗(yàn)證了動(dòng)力響應(yīng)位移解析解的合理性．?dāng)?shù)值模擬解和解析解位移時(shí)程曲線基本吻合，在波形上保持一致．溶洞和隧道在平面SH波激勵(lì)作用下的位移幅值峰值相差10%左右，表明解析解具有較好的精度．

(3)研究了溶洞半徑、溶洞與隧道間的中心距以及平面SH波入射角度等3個(gè)影響因素對(duì)溶洞和隧道的動(dòng)力響應(yīng)作用，發(fā)現(xiàn)溶洞和隧道位移幅值與溶洞半徑成正比，當(dāng)溶洞半徑由0.5a2增大到a2時(shí)，隧道的位移幅值會(huì)增大7%～28%；溶洞和隧道位移幅值與兩者中心距呈反比，當(dāng)溶洞與隧道中心距從2.5a2增加到4.0a2時(shí)，溶洞和隧道的位移幅值會(huì)減小1.5%～9%；溶洞和隧道的位移幅值與平面SH波入射角度成正比，當(dāng)入射角度γ從0°增大到90°時(shí)，溶洞與隧道的位移幅值增幅從1.80%、2.57%、5.79%、6.00%、21.00% 到24.00%不等．

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