殷冰潔 徐友根 劉志文

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院，北京，100081)

引 言

波達(dá)方向(Direction-of-arrival，DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一[1-2]。近年來，基于電磁矢量傳感器陣列的信號(hào)DOA估計(jì)方法日益受到關(guān)注[3-4]。采用電磁矢量傳感器陣列可以充分利用信號(hào)源極化信息、提高DOA估計(jì)精度，因而很多基于不同類型電磁矢量傳感器陣列的信號(hào)DOA估計(jì)方法被相繼提出。`文獻(xiàn)[5，6]分別提出了矢量叉積和單電磁矢量傳感器源信號(hào)旋轉(zhuǎn)不變信號(hào)參數(shù)估計(jì)(Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques，ESPRIT)方法。采用交叉偶極子陣列，文獻(xiàn)[7]提出了一種基于多重信號(hào)分類(Multiple signal classification，MUSIC)方法[8]的信號(hào)DOA估計(jì)方法，文獻(xiàn)[9]則提出了一種基于ESPRIT的方法。然而這兩種方法均為子空間類方法，無法處理相干源信號(hào)。

近年來壓縮感知理論[10-12]迅速興起，信號(hào)稀疏表示與重構(gòu)(Sparse signal reconstruction，SSR)方法被用于解決信號(hào)DOA估計(jì)等一系列問題[13-17]?；谠摾碚摽蚣艿募夹g(shù)主要根據(jù)陣列協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來利用空域信息。具有代表性的SSR方法包括遞歸加權(quán)最小范數(shù)方法[18]、基于l1-范數(shù)懲罰的方法[19-20]及基于l2-范數(shù)懲罰的方法[21]。然而以上方法均針對(duì)基于標(biāo)量陣列的窄帶信號(hào)DOA估計(jì)。

文獻(xiàn)[22]提出了一種基于同點(diǎn)正交磁環(huán)偶極子矢量天線(Co-centered orthogonal loop and dipole，COLD)陣列的稀疏表示窄帶信號(hào)DOA估計(jì)方法，但沒有利用COLD子陣列稀疏矢量的稀疏共性。對(duì)于寬帶信號(hào)情形，已有的l1-范數(shù)奇異值分解(l1-norm singular value decomposition，l1-SVD)[19]方法首先進(jìn)行頻域分解至窄帶后再進(jìn)行DOA估計(jì)，最終的DOA估計(jì)結(jié)果是各個(gè)子窄帶結(jié)果的平均值，同樣沒有充分利用各子窄帶之間的聯(lián)合稀疏性。

針對(duì)以上問題，本文提出一種基于COLD矢量天線均勻線陣的聯(lián)合稀疏重構(gòu)信號(hào)DOA估計(jì)方法。利用COLD陣列的特點(diǎn)構(gòu)造極化-空間域協(xié)方差矩陣，并對(duì)其第一列進(jìn)行稀疏表示。由于COLD天線由磁環(huán)與偶極子組成，稀疏矢量可由磁環(huán)構(gòu)成的陣列與偶極子構(gòu)成的陣列分別恢復(fù)。為了利用兩個(gè)子陣列稀疏矢量的共性，采用l2-范數(shù)構(gòu)造待恢復(fù)的聯(lián)合稀疏矢量，進(jìn)而基于凸優(yōu)化(l1-范數(shù))進(jìn)行稀疏重構(gòu)實(shí)現(xiàn)信號(hào)DOA估計(jì)。

1 COLD陣列信號(hào)模型

考慮M個(gè)相互獨(dú)立的窄帶完全極化信號(hào)入射到如圖1所示的COLD矢量天線均勻線陣，其中矢量陣元數(shù)為L(zhǎng)(L>M)，矢量陣元間距為d(d≤c/2f)，其中c為信號(hào)波傳播速度，f為信號(hào)中心頻率。

圖1 均勻COLD線陣Fig.1 A uniform linear COLD array

注意到COLD陣列可看作由兩個(gè)子陣構(gòu)成，其中一個(gè)為偶極子陣，另一個(gè)為磁環(huán)陣。記偶極子陣的陣列輸出為xD(t)，磁環(huán)陣的陣列輸出為xL(t)，則COLD陣的輸出矢量可表示為

(1)

式中：nD(t)和nL(t)分別為偶極子陣和磁環(huán)陣的空時(shí)-極化白加性高斯噪聲矢量；am為第m個(gè)信號(hào)sm(t)的導(dǎo)向矢量

(2)

式中：(·)T表示轉(zhuǎn)置，aD,m=-sinγmejηmas,m，aL,m=-cosγmas,m，并且as,m=[1,…,ej2πfldsinθm/c,…,ej2πf(L-1)dsinθm/c]T。而θm為第m個(gè)信號(hào)的DOA，γm和ηm則分別為第m個(gè)信號(hào)的極化輔助角和極化相位差。

為了便于處理，將式(1)所示陣列輸出矢量重寫為

(3)

式中：s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T表示信號(hào)矢量；AD=[aD,1,aD,2,…,aD,M]和AL=[aL,1,aL,2,…,aL,M]分別為對(duì)應(yīng)于偶極子陣和磁環(huán)陣的陣列流形矩陣。

2 基于聯(lián)合稀疏重構(gòu)的窄帶信號(hào)DOA估計(jì)方法

定義極化-空間域協(xié)方差矩陣為

(4)

(5)

式中(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置，且

A=[as,1,as,2,…,as,M]

ND=NL=σ2I

利用式(4，5)，進(jìn)一步得到

(6)

定義矢量r0=[r21,r31,…,rL1]T，其中rij對(duì)應(yīng)于協(xié)方差矩陣R的第(i,j)個(gè)元素，則r0可表示為

r0=Bp

(7)

為了利用信號(hào)的空域稀疏性來估計(jì)信號(hào)DOA，根據(jù)式(7)，r0可進(jìn)一步表示為

(8)

(9)

(10)

式中：zm(m=1,…,M′)表示Z的第m列；‖·‖2表示l2-范數(shù)。那么，信號(hào)DOA可通過求解下面的問題來獲得

(11)

3 基于聯(lián)合稀疏重構(gòu)的寬帶信號(hào)DOA估計(jì)方法

與窄帶信號(hào)相比，寬帶信號(hào)有一段相對(duì)較寬的頻帶范圍。然而，同一信號(hào)的波達(dá)方向并不會(huì)由于頻率的不同而改變?；谶@一特性，本文將所提窄帶方法推廣至寬帶情形，提出了一種聯(lián)合稀疏重構(gòu)寬帶信號(hào)DOA估計(jì)方法(Wideband joint sparse reconstruction, WJSR)。一方面，在寬帶信號(hào)整個(gè)頻率范圍內(nèi)聯(lián)合利用DOA信息，本文將這種不同頻率下的稀疏矢量所具有的稀疏共性稱為稀疏集；另一方面，利用COLD陣列協(xié)方差矩陣特點(diǎn)構(gòu)造用于稀疏恢復(fù)的聯(lián)合稀疏矢量。

將寬帶信號(hào)頻帶離散為Q個(gè)窄帶頻率集。本文仍需獲得極化-空間域協(xié)方差矩陣R并定義矢量r0，方法同窄帶情形。與窄帶情形相比，寬帶情形的r0包含了Q個(gè)窄帶頻率集的信息而非單一窄帶頻率集。

(12)

(13)

(14)

式中

(15)

式中ε2為可允許的邊界誤差。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

在本文仿真實(shí)驗(yàn)中，考慮一個(gè)6元線性均勻COLD陣列，陣元間距為半波長(zhǎng)(若入射信號(hào)為寬帶信號(hào)，則為信號(hào)最高頻率所對(duì)應(yīng)的半波長(zhǎng))。過完備字典DOA搜索網(wǎng)格范圍為[-90°,90°]，網(wǎng)格步長(zhǎng)為1°?？稍试S的誤差邊界ε1,ε2的最優(yōu)值通過多次實(shí)驗(yàn)獲得。

4.1 實(shí)驗(yàn)1：窄帶入射信號(hào)情形下的信號(hào)DOA估計(jì)

實(shí)驗(yàn)1基于以下兩個(gè)場(chǎng)景：(1)兩個(gè)等功率的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)從θ1=35°，θ2=40°入射，對(duì)應(yīng)的極化參數(shù)分別為(45°,60°)和(30°,60°)，快拍數(shù)為200，信噪比(Signal-to-noise ratio，SNR)為20 dB，閾值ε1=0.000 8；(2)兩個(gè)等功率的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)從θ1=-35°，θ2=45°入射，對(duì)應(yīng)的極化參數(shù)分別為(30°,75°)和(20°,60°)，快拍數(shù)為100，SNR為5 dB，閾值ε1=0.000 8。在以下所有窄帶入射信號(hào)情形的仿真中，本文將所提的NJSR方法與文獻(xiàn)[22]中的TY方法進(jìn)行性能比較。圖2為實(shí)驗(yàn)1條件下NJSR方法和TY方法的空間譜結(jié)果。

圖2 實(shí)驗(yàn)1條件下的空間譜Fig.2 Spatial spectrum versus DOAs of experiment 1

從圖2可以看出，本文提出的NJSR方法對(duì)兩個(gè)不同間隔的信源具有較好的分辨能力，即使兩個(gè)信號(hào)DOA鄰近，NJSR也能得到精度較高的估計(jì)結(jié)果，而在同等條件下TY方法則無法準(zhǔn)確分辨兩個(gè)信號(hào)。此外，在低信噪比、短快拍條件下，NJSR方法同樣顯示出較好的分辨性能。

4.2 實(shí)驗(yàn)2：窄帶入射信號(hào)情形下的估計(jì)精度

兩個(gè)等功率的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到陣列，方位角分別為θ1=35°和θ2=50°，對(duì)應(yīng)的極化參數(shù)分別為(45°,60°)和(30°,60°)?？炫臄?shù)為200，將其SNR在5～20 dB之間變化，變化間隔為5 dB，不同SNR下分別進(jìn)行100次獨(dú)立試驗(yàn)，對(duì)每個(gè)SNR下的100次獨(dú)立試驗(yàn)結(jié)果求平均得到均方根誤差(Root mean squared error，RMSE)隨SNR的變化曲線，如圖3所示。RMSE定義為

(16)

從圖3可以看出，估計(jì)精度隨著SNR的增加而提高，本文所提的NJSR方法的性能明顯優(yōu)于TY方法。原因在于隨著SNR的增加，信號(hào)功率逐漸變大，信號(hào)特性愈加顯現(xiàn)，本文方法基于信號(hào)的稀疏特性，聯(lián)合利用COLD陣列兩個(gè)子陣的稀疏矢量找到充分稀疏的唯一解，稀疏信號(hào)重構(gòu)更精確。

4.3 實(shí)驗(yàn)3：窄帶入射信號(hào)情形下的分辨概率

兩個(gè)等功率的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)DOA分別為θ1=35°和θ2=60°，將其SNR在0～35 dB之間變化，其余實(shí)驗(yàn)條件同實(shí)驗(yàn)2，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為分辨概率(Resolution probability，RSPB)隨SNR的變化曲線如圖4所示。在每個(gè)SNR下，RSPB定義為信號(hào)DOA分辨成功的次數(shù)與獨(dú)立試驗(yàn)總次數(shù)的比值，并定義當(dāng)信號(hào)DOA估計(jì)的均方根誤差在1°以內(nèi)，則認(rèn)為信號(hào)成功分辨。RSPB變化范圍為[0,1]，RSPB越大，分辨性能越好。

從圖4可以看出，本文的方法對(duì)信號(hào)的DOA有很高的分辨能力，在SNR為0 dB時(shí)，分辨概率接近0.9，在SNR大于25 dB后，分辨概率保持為1。

圖3 RMSE隨輸入SNR變化曲線 圖4 RSPB隨輸入SNR變化曲線 Fig.3 Curve of RMSE versus input SNR Fig.4 Curve of RSPB versus input SNR

4.4 實(shí)驗(yàn)4：寬帶入射信號(hào)情形下的DOA估計(jì)

假設(shè)入射的寬帶信號(hào)帶限于20～30 kHz，采樣頻率為100 kHz。陣列數(shù)據(jù)觀測(cè)時(shí)間分為100段，每段做64點(diǎn)離散傅里葉變換(Discrete Fourier transform，DFT)?？紤]：(1)兩個(gè)等功率的遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶信號(hào)入射方位角分別為θ1=-30°，θ2=60°，對(duì)應(yīng)的極化參數(shù)分別為(26°,60°)和(45°,30°)，SNR為20 dB，閾值ε2=0.008；(2)兩個(gè)等功率的遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶信號(hào)入射方位角分別為θ1=30°，θ2=40°，對(duì)應(yīng)的極化參數(shù)分別為(45°,60°)和(30°,60°)，SNR為20 dB，閾值ε2=0.008。圖5為實(shí)驗(yàn)4條件下WJSR方法對(duì)DOA的估計(jì)結(jié)果。從圖5可以看出，本文所提的WJSR方法對(duì)寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)能得到精度較高的估計(jì)結(jié)果，估計(jì)值和真實(shí)值基本重合，能區(qū)分兩個(gè)離得較近的信號(hào)。

圖5 實(shí)驗(yàn)4條件下的空間譜Fig.5 Spatial spectrum versus DOAs of experiment 4

4.5 實(shí)驗(yàn)5：寬帶入射信號(hào)情形下的分辨概率

考慮兩個(gè)等功率的遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶信號(hào)入射到陣列，入射的方位角角度間隔在2～16°之間變化，變化步長(zhǎng)為2°，對(duì)應(yīng)的極化參數(shù)分別為(45°,60°)和(30°,60°)，SNR為25 dB，閾值ε2=0.008。本文將所提的WJSR方法與文獻(xiàn)[23]中的非相干子空間方法(Incoherent signal subspace method，ISM)，文獻(xiàn)[24]中的導(dǎo)向最小方差方法(Steered minimum variance，STMV)進(jìn)行性能比較。圖6為RSPB隨DOA間隔的變化曲線。從圖6可以看出，本文提出的WJSR方法能分辨出距離很近的兩個(gè)信號(hào)，在寬帶信號(hào)入射DOA間隔大于4°時(shí)，RSPB為1。

圖6 RSPB隨DOA間隔變化曲線 Fig.6 RSPB versus DOA interval

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于COLD陣列的極化-空間域聯(lián)合稀疏重構(gòu)信號(hào)DOA估計(jì)方法。根據(jù)COLD陣列的特點(diǎn)構(gòu)造極化-空間域協(xié)方差矩陣，并利用其兩個(gè)子陣稀疏矢量的共性構(gòu)造聯(lián)合稀疏矢量，進(jìn)而利用l1-范數(shù)進(jìn)行稀疏重構(gòu)獲得信號(hào)DOA估計(jì)。構(gòu)造的聯(lián)合稀疏矢量充分利用了信號(hào)的空域稀疏性，為尋求充分稀疏的唯一解提供了保證。仿真結(jié)果表明，無論是窄帶還是寬帶入射信號(hào)情形，該方法對(duì)距離較近的入射信號(hào)都保持著較好的分辨性能，能得到精度較高的DOA估計(jì)結(jié)果。

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