張 毅

（蘇州科技大學 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011）

研究動力學方程的第一積分有重要意義。如果能夠找到若干積分，便對力學系統(tǒng)的動力學行為有所了解；如果能夠找到全部積分，也就找到了問題的解。Whittaker在其著作[1]中討論了一類完全可積的完整保守系統(tǒng)，其廣義坐標全部為分離坐標，相應(yīng)地系統(tǒng)有n個局部能量積分。Liouville將結(jié)果進行了推廣：凡力學系統(tǒng)的動能和勢能可以寫成某種形式，則該力學系統(tǒng)可以分成單積分的形式來求解[1-3]。文獻[4]從廣義Chaplygin方程出發(fā)，將局部能量積分的理論推廣到一類非完整保守系統(tǒng)。文獻[5]初步研究了Birkhoff系統(tǒng)的局部能量積分。關(guān)于約束力學系統(tǒng)的分離變量和局部能量積分的研究尚不多見。

廣義Birkhoff系統(tǒng)是Birkhoff系統(tǒng)的推廣。在Birkhoff方程的右端增加一個附加項成為廣義Birkhoff方程。由于附加項的調(diào)節(jié)作用，構(gòu)造廣義Birkhoff系統(tǒng)比Birkhoff系統(tǒng)更容易，非保守和非完整力學系統(tǒng)都可以直接納入廣義Birkhoff系統(tǒng)，因此，對廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學的研究具有重要意義[6-16]。筆者將研究廣義Birkhoff系統(tǒng)的分離變量與局部能量積分問題，分別討論分離變量為單變量和耦合的兩個變量情形下，存在局部能量積分的條件及其形式，并將結(jié)果應(yīng)用于Birkhoff系統(tǒng)。文中給出相應(yīng)的算例以說明結(jié)果的應(yīng)用。

1 分離變量為單變量時系統(tǒng)的局部能量積分

研究由 2n 個變量 aμ（μ=1，2，…，2n）描述的廣義 Birkhoff系統(tǒng)。 設(shè) Birkhoff函數(shù)為 B=B（t，av），Birkhoff函數(shù)組為 Rμ=Rμ（t，av），附加項為 Λμ=Λμ（t，av），則廣義 Birkhoff方程為[6]

如果有一個Birkhoff變量，例如aj，可在Birkhoff函數(shù)B中被分離出來，即

則aj稱為廣義Birkhoff系統(tǒng)（1）的分離變量。由方程（1），關(guān)于aj的廣義Birkhoff方程為

因此，有

于是有如下命題：

命題1對于廣義Birkhoff系統(tǒng)（1），設(shè)aj為系統(tǒng)的分離變量，如果滿足條件

則系統(tǒng)有第一積分

積分（6）可稱為廣義Birkhoff系統(tǒng)（1）的局部能量積分。

例1 四階廣義Birkhoff系統(tǒng)為[6]

試研究其局部能量積分。

廣義 Birkhoff方程（1）給出

將Birkhoff函數(shù)表示為

利用方程（8），易驗證

因此，a3是分離變量，而局部能量積分

如果系統(tǒng)有m個獨立的分離變量，則對每一個分離變量應(yīng)用命題1，因此，系統(tǒng)存在m個獨立的局部能量積分。

例2 四階廣義Birkhoff系統(tǒng)為

廣義 Birkhoff方程（1）給出

將Birkhoff函數(shù)表示為

易驗證

因此，a3和a4是獨立的分離變量。應(yīng)用命題1，得到

式（17）和（18）是相應(yīng)于分離變量a3和a4的獨立的局部能量積分。

2 分離變量為耦合的兩個變量時系統(tǒng)的局部能量積分

如果有兩個Birkhoff變量，例如aj和ak，可在Birkhoff函數(shù)B中被分離出來，即

這里 BL（aj，ak）不能表示為 BL1（aj）和 BL2（ak）之和，則 aj和 ak稱為廣義 Birkhoff系統(tǒng)（1）的兩個耦合的分離變量。由方程（1），關(guān)于aj和ak的廣義Birkhoff方程分別為

因此，有

于是有如下命題：

命題2對于廣義Birkhoff系統(tǒng)（1），設(shè)aj和ak是該系統(tǒng)的兩個耦合的分離變量，如果滿足條件

則系統(tǒng)有第一積分

積分（24）可稱為廣義Birkhoff系統(tǒng)（1）的局部能量積分。

例3研究Hojman-Urrutia問題，其方程為[17]

令 a1＝x，a2=y，a3=x˙，a4=y˙，方程（25）可化為廣義 Birkhoff系統(tǒng)，其中

廣義 Birkhoff方程（1）給出

將Birkhoff函數(shù)表示為

利用方程（27），易驗證

因此，a2和a3是該系統(tǒng)的兩個耦合的分離變量。根據(jù)命題2，得到

式（30）是與分離變量a2和a3相應(yīng)的局部能量積分。

如果系統(tǒng)有m對耦合的分離變量，則對每一對分離變量應(yīng)用命題2，因此，系統(tǒng)存在m個獨立的局部能量積分。此外，上述方法可進一步拓展到分離變量是由l個變量耦合的情形（l＜2n）。

3 Birkhoff系統(tǒng)的分離變量與局部能量積分

對于Birkhoff系統(tǒng)，其方程為

于是有

命題3對于廣義Birkhoff系統(tǒng)（31），設(shè)aj為系統(tǒng)的分離變量，如果滿足條件

則系統(tǒng)存在局部能量積分

命題3是命題1的推論。

命題4對于廣義Birkhoff系統(tǒng)（31），設(shè)aj和ak是該系統(tǒng)的兩個耦合的分離變量，如果滿足條件

則系統(tǒng)存在局部能量積分

命題4是命題2的推論。

例4研究一類動力學系統(tǒng)[1]，其動能為

勢能為

其中 v1，v2，…，vn，w1，w2，…，wn是其相應(yīng)變量的任意函數(shù)。

引進廣義動量

令

于是有

其中

由于

因此，對每一個s，as和an+s是該系統(tǒng)的兩個耦合的分離變量，由命題4，得到

式（45）是系統(tǒng)相應(yīng)于耦合分離變量as和an+s的局部能量積分。

4 結(jié)語

研究動力學系統(tǒng)的積分是分析力學研究的一個重要方面。文章研究了廣義Birkhoff系統(tǒng)的分離變量與局部能量積分，給出了局部能量積分存在的條件及其形式，將局部能量積分理論推廣到廣義Birkhoff系統(tǒng)。文章的主要結(jié)果是其中的4個命題。命題1和命題2是一般廣義Birkhoff系統(tǒng)的，命題3和命題4是Birkhoff系統(tǒng)的。文章討論了分離變量為單變量和兩個耦合變量情形，這一思路同樣適用于多個變量耦合的情形。由于廣義Birkhoff系統(tǒng)的一般性，文章給出的方法和結(jié)果可進一步推廣和應(yīng)用。

[1]WHITTAKER E T.A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles&Rigid Bodies[M].4th ed.Cambridge：Cambridge University Press，2016.

[2]梅鳳翔，劉桂林.分析力學基礎(chǔ)[M].西安：西安交通大學出版社，1987.

[3]梅鳳翔.分析力學[M].上卷.北京：北京理工大學出版社，2013.

[4]梅鳳翔.非完整動力學研究[M].北京：北京工業(yè)學院出版社，1987.

[5]鄭世旺，賈利群.Birkhoff系統(tǒng)的局部能量積分[J].物理學報，2006，55（11）：5590-5593.

[6]梅鳳翔.廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學[M].北京：科學出版社出版，2013.

[7]梅鳳翔，張永發(fā)，何光，等.廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學的基本框架[J].北京理工大學學報，2007，27（12）：1035-1038.

[8]張毅.廣義 Birkhoff系統(tǒng)的 Birkhoff對稱性與守恒量[J].物理學報，2009，58（11）：7436-7439.

[9]ZHANG Yi.The method of variation on parameters for integration of a generalized Birkhoffian system[J].Acta Mechanica Sinica，2011，27（6）：1059-1064.

[10]張毅.廣義 Birkhoff系統(tǒng)的 Bertrand 定理[J].蘇州科技學院學報（自然科學版），2012，29（4）：1-3.

[11]MEI Fengxiang，WU Huibin.Bifurcation for the generalized Birkhoffian system[J].Chinese Physics B，2015，24（5）：054501.

[12]梅鳳翔，吳惠彬.廣義Birkhoff系統(tǒng)與一類組合梯度系統(tǒng)[J].物理學報，2015，64（18）：184501.

[13]李彥敏，陳向煒，吳惠彬，等.廣義Birkhoff系統(tǒng)的兩類廣義梯度表示[J].物理學報，2016，65（8）：080201.

[14]葛偉寬，張毅，樓智美.一類廣義Birkhoff系統(tǒng)的無限小正則變換與積分[J].物理學報，2012，61（14）：40204.

[15]ZHANG Yi.Stability of motion for generalized Birkhoffian systems[J].Journal of China Ordnance，2010，6（3）：161-165.

[16]SONG Chuanjing，ZHANG Yi.Conserved quantities and adiabatic invariants for fractional generalized Birkhoffian systems[J].International Journal of Non-Linear Mechanics，2017，90：32-38.

[17]SANTILLI R M.Foundations of Theoretical Mechanics[M].New York：Springer，1983.