黃 強(qiáng)，程勇剛，周 偉，常曉林

(1.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072； 2.武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072)

0 引 言

降雨是邊坡失穩(wěn)的主要誘因之一[1,2]，其實(shí)質(zhì)在于降雨入滲導(dǎo)致巖土體強(qiáng)度特性發(fā)生變化以及應(yīng)力狀態(tài)調(diào)整，因此，研究一種可以考慮非穩(wěn)定非飽和滲流作用的邊坡穩(wěn)定性分析方法具有重要意義和工程實(shí)用價(jià)值。關(guān)于非穩(wěn)定非飽和滲流下的邊坡穩(wěn)定性分析方法國內(nèi)外已經(jīng)有許多研究。Fredlund[3]、黃潤秋等[4]分析了邊坡土體中基質(zhì)吸力對穩(wěn)定性的影響，認(rèn)為降雨入滲導(dǎo)致基質(zhì)吸力降低，土體強(qiáng)度減弱，從而使邊坡穩(wěn)定性下降。Fredlund[5]比較了各種條分法的不同點(diǎn)，分析其在非飽和土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析的問題。Alonso 等[6]考慮了土體類型、土體滲透性、土-水特征曲線、降雨持時(shí)和降雨強(qiáng)度等影響因素，利用極限平衡法進(jìn)行二維非飽和土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性分析。Cai 等[7]、Huang 等[8]和榮冠等[9]將非穩(wěn)定非飽和滲流有限元分析與有限元強(qiáng)度折減法相結(jié)合，對降雨或水位變化下的土坡穩(wěn)定進(jìn)行分析。李榮建等[10]利用極限平衡法和有限元強(qiáng)度折減法，分別探討了Fredlund 和Bishop 非飽和抗剪強(qiáng)度理論在邊坡穩(wěn)定分析問題中的特點(diǎn)。

Mauldon and Ureta[11]從能量的角度出發(fā)，基于最小勢能原理，提出了一種針對棱柱形滑面的邊坡穩(wěn)定性分析方法。李小強(qiáng)等[12]在此基礎(chǔ)上，利用最小勢能法推導(dǎo)了二維均質(zhì)和非均質(zhì)邊坡安全系數(shù)的計(jì)算公式，并與簡化Bishop 法結(jié)果進(jìn)行對比。李鈾等[13]考慮滑床剪切勢能，進(jìn)行錨固邊坡的穩(wěn)定性分析。沈愛超等[14]將最小勢能法應(yīng)用到任意滑移面的邊坡穩(wěn)定分析中。溫樹杰等[15]研究了任意滑裂面的三維均質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析的最小勢能法。

目前廣泛應(yīng)用的條分法包括Mogenstern-Price法、Spencer法和Janbu法等，均是在土體摩爾-庫倫破壞準(zhǔn)則以及力與力矩平衡條件理論下建立的。它們需要通過對土條側(cè)向力作不同假定使得問題靜定可解，同時(shí)計(jì)算過程中存在迭代收斂問題[16,17]。最小勢能法是基于整個(gè)滑體能量的理論體系，適用于任意形狀的滑面，不需要?jiǎng)澐滞翖l，也就不存在條間力的假定以及迭代計(jì)算，同時(shí)根據(jù)最小勢能原理滿足平衡微分方程和力的邊界條件，具有廣闊的應(yīng)用前景?，F(xiàn)有的研究工作表明了最小勢能法在邊坡穩(wěn)定分析問題中的有效性和可靠性，但沒有考慮非飽和滲流對邊坡穩(wěn)定的作用，而基質(zhì)吸力對土體抗剪強(qiáng)度有著重要影響[18,19]。

為此，本文引入不同時(shí)刻滑面上的孔隙水壓力來考慮非穩(wěn)定非飽和滲流對邊坡系統(tǒng)勢能的作用，建立勢能函數(shù)，并基于Fredlund 雙應(yīng)力變量理論將基質(zhì)吸力的時(shí)空分布轉(zhuǎn)換為邊坡土體強(qiáng)度參數(shù)的時(shí)空分布，從而推導(dǎo)出非穩(wěn)定非飽和滲流條件下的邊坡安全系數(shù)計(jì)算公式。最后通過算例，與現(xiàn)有方法進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文方法的合理性。

1 降雨入滲下非飽和土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的最小勢能法分析理論

1.1 均質(zhì)土坡穩(wěn)定性分析的最小勢能法

對于如圖1所示的單一均質(zhì)邊坡ACBD，重度為γ，黏聚力為c′，內(nèi)摩擦角為φ′。對于任意形狀滑面ADB，曲線方程可表示為y=f(x)的函數(shù)形式，點(diǎn)D為浸潤線與滑面交點(diǎn)。采用如下假定：

(1)滑體ACBD為剛性體，在滑裂面上發(fā)生彈性變形；

(2)對于滑裂面上任一微分段dl，其彈性變形按法向彈簧模擬，其剛度k與長度dl成正比；

(3)滑體ACBD整體在合外力R作用下發(fā)生一微小位移d，使得系統(tǒng)總勢能最小。

圖1 單一均質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析示意圖Fig.1 stability analysis of single uniform soil slope

根據(jù)上述條件可也確定最小勢能法邊坡穩(wěn)定性分析中的一些基本幾何與力學(xué)參數(shù)：

(1)

k=mdl

(3)

式中：dl為微分段長度；k為彈簧剛度；m為與材料有關(guān)的常數(shù)；n為外法線向量；n1，n2為在坐標(biāo)軸的投影分量。

假設(shè)滑體為剛形體，在合外力作用下發(fā)生一微小位移，當(dāng)系統(tǒng)恢復(fù)平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)勢能最小，此時(shí)滑體在滑裂面上存儲的彈性勢能可表示為：

(4)

1.2 考慮非飽和非穩(wěn)定滲流的最小勢能法

在涉及滲流的邊坡穩(wěn)定性分析問題中，對于滑體的受力狀態(tài)需要考慮水對土體的作用力。以浸水土體為研究對象時(shí)，水對土顆粒的作用力可以看為兩個(gè)部分：①滑體容重的改變；②滑面上水的作用。對于第一部分，在計(jì)算土體自重時(shí)需要按飽和非飽和情況考慮。對于第二部分，在非飽和滲流問題中，存在滑面與自由面相交的情況。此時(shí)，位于水位線上下的滑面受孔隙水壓力作用，對系統(tǒng)做功；位于水位線以上的滑面，其處于非飽和區(qū)，土體抗剪強(qiáng)度受飽和度影響。

為此，在計(jì)算系統(tǒng)總勢能時(shí)需要考慮滑裂面上孔隙水壓力所做的功。

對于一些簡單的滲流問題，浸潤線可以用形如y=H(x)的函數(shù)表示，此時(shí)滑面上的孔隙水壓力分布為：

p=γ[H(x)-f(x)]

(5)

則滑面ADB段孔隙水壓力所做的功WH為：

(6)

式中：p為孔隙水壓力值；d1，d2分別為位移d在坐標(biāo)軸的分量。

對于復(fù)雜的非飽和非穩(wěn)定滲流問題，浸潤線很難以函數(shù)形式顯式表示，但當(dāng)滑裂面上第i點(diǎn)的孔隙水壓力pi已知時(shí)，可對滑裂面上孔隙水壓力所做的功進(jìn)行分段求和，WH近似為

(7)

則系統(tǒng)總勢能V為：

(8)

式中：Wτ為除滑裂面上孔隙水壓力外其他外力所做的功。

根據(jù)最小勢能原理，當(dāng)系統(tǒng)勢能最小時(shí)，滿足：

(8)

求解式(9)即可得到位移分量d1，d2。對于單一均質(zhì)土體，求解得到的d1，d2是以m為分母的表達(dá)式，即：

(10)

式中：U1(x)，U2(x)為不包含m項(xiàng)的函數(shù)表達(dá)式。

則滑面上的法向應(yīng)力為：

f(σ)=m(d·n)=m[d1n1(x)+d2x2(x)]

(11)

根據(jù)法向應(yīng)力分布，結(jié)合抗剪強(qiáng)度公式，沿滑面路徑進(jìn)行積分即可確定滑體的總抗滑力?？梢钥闯?，最小勢能法是對整個(gè)滑體進(jìn)行分析，在確定法向應(yīng)力分布的過程中無需劃分條塊迭代，相比極限平衡法，計(jì)算過程簡單。

對于部分位于水位線以上的滑面，其處于非飽和區(qū)，滑面上土體的抗剪強(qiáng)度受基質(zhì)吸力影響。對于這種非飽和土特性，采用Fredlund雙應(yīng)力變量理論[20]，將基質(zhì)吸力作為一個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力變量，通過納入到等效黏聚力中來考慮其對強(qiáng)度的影響。非飽和土抗剪強(qiáng)度公式為：

τf=c′+(σ-ua)tanφ′+(ua-uw)tanφb

(12)

式中：c′，φ′為有效黏聚力和有效內(nèi)摩擦角；(σ-ua)為凈法向應(yīng)力；(ua-uw)為基質(zhì)吸力；τf為非飽和土抗剪強(qiáng)度；σ為總法向應(yīng)力；ua為孔隙氣壓力；uw為孔隙水壓力；tanφb為與基質(zhì)吸力有關(guān)的吸力內(nèi)摩擦角。

Vanapalli and Fredlund[21]建立了φb與體積含水率之間的關(guān)系式：

(13)

式中：θw為體積含水率；θr為殘余體積含水率；θs為飽和體積含水率。

1.3 非穩(wěn)定滲流條件下的最小勢能法邊坡安全系數(shù)定義

不考慮氣相的影響，將最小勢能法確定的法向應(yīng)力分布代入非飽和抗剪強(qiáng)度公式中，從而獲得滑面上土體抗剪強(qiáng)度分布：

滑面上每一微分段在滑動方向上能提供的極限抗滑力為：

dT=cosα·τfdl

(16)

式中：dT為每一微分段能提供的極限抗滑力；α為抗滑力與滑動方向的夾角；t為外切線向量。

則總極限抗滑力為：

(17)

當(dāng)滑體只受重力W作用時(shí)，在飽和非飽和滲流條件下，土體自重按飽和非飽和情況計(jì)算。此時(shí)下滑力為：

(18)

則最小勢能法安全系數(shù)為：

(19)

對于圓弧形滑面，總極限抗滑力的表達(dá)式為：

(20)

則安全系數(shù)按抗滑力矩與下滑力矩的比值定義：

(21)

式中：r為圓弧滑面半徑；rw為下滑力力臂。

2 降雨入滲下非飽和土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性的最小勢能法實(shí)現(xiàn)過程

上述分析是針對某一指定潛在滑面的，在邊坡穩(wěn)定性分析問題中，為確定最危險(xiǎn)滑面的位置以及最小安全系數(shù)，需要選取若干個(gè)潛在滑面進(jìn)行對比分析。因此，降雨入滲下非飽和土質(zhì)邊坡的最小勢能法分析流程如圖2所示，其分析過程如下：

圖2 降雨入滲下非飽和土質(zhì)邊坡的最小勢能法流程圖Fig.2 Flowchart of Minimum potential energy method for stability analysis of unsaturated soil slope under rainfall infiltration

(1)邊坡模型的建立以及土體參數(shù)確定；

(2)降雨入滲下的非飽和土質(zhì)邊坡滲流分析，確定孔隙水壓力分布；

(3)擬定若干個(gè)可能的滑移面，獲取滑面上的孔隙水壓力及浸潤線位置，確定滑體在飽和非飽和情況下的自重，飽和區(qū)滑面上的水壓力及非飽和區(qū)的基質(zhì)吸力；

(4)基于最小勢能原理，求解各滑體在滿足勢能最小原則時(shí)的位移，以確定滑面上的法向應(yīng)力分布；

(5)分別計(jì)算各個(gè)滑體的抗滑力及下滑力，按式(19)或式(21)求解各個(gè)滑面的安全系數(shù)；

(6)對比選取安全系數(shù)最小的滑動面為最危險(xiǎn)滑面，其安全系數(shù)為邊坡的最小安全系數(shù)。

3 基于最小勢能法的降雨入滲下非飽和土質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析

為了簡化問題，下面分析沒有考慮滑面上的剪切勢能，但其影響不大[13]。

3.1 降雨入滲下的非飽和均質(zhì)粉砂土邊坡穩(wěn)定分析

取一簡單的降雨入滲模型[7]，按圓弧滑面考慮。堤高10 m，堤頂寬24 m，堤坡比1∶1.5，跛腳距模型左邊界16 m，模型總高度15 m，總寬度55 m。模型兩側(cè)為法向約束，底部為全約束，初始地下水位高度為5 m，模型BC與BD段受降雨作用，降雨強(qiáng)度為5 mm/h，降雨持續(xù)10 d。模型共劃分9 464個(gè)單元，9 706 個(gè)節(jié)點(diǎn)。計(jì)算模型如圖3所示，土體參數(shù)見表1，非飽和土-水特征曲線(見圖4)采用Van-Genuchten模型[22]。

3.1.1 降雨入滲下非飽和土質(zhì)邊坡的滲流場分析

圖5給出了降雨不同時(shí)刻下邊坡土體的含水率分布情況。

圖3 計(jì)算模型及網(wǎng)格Fig.3 Calculation model and finite element mesh

圖4 土-水特征曲線Fig.4 Soil-water characteristic curve

表1 材料參數(shù)Tab.1 parameters of material

圖5 降雨入滲下邊坡土體不同時(shí)刻的體積含水率云圖Fig.5 Contours of water content at different times for a soil slope under rainfall conditions

在初始地下水位作用下，邊坡土體的體積含水率呈層狀分布。降雨開始后，坡頂和坡面迅速飽和。伴隨降雨繼續(xù)，表面雨水從暫態(tài)飽和區(qū)向深部移動，形成由坡頂往深部體積含水率飽和(高)→非飽和(低)→飽和(高)的封閉現(xiàn)象，并隨著降雨入滲深度增大，封閉區(qū)逐漸縮小且向內(nèi)部發(fā)展。

圖6給出了坡頂C處斷面在降雨入滲條件下壓力水頭隨高程的變化情況。從圖6中可以看出，在初始水位下，壓力水頭隨高程呈線性分布，當(dāng)降雨開始，坡頂表面迅速飽和。隨著降雨的繼續(xù)，濕潤鋒向下推進(jìn)，表面飽和區(qū)不斷擴(kuò)大，土體基質(zhì)勢梯度逐漸減小，同時(shí)底部部分土體吸水飽和，并逐漸向上部發(fā)展，使得坡體中部的非飽和帶縮小。

圖6 不同時(shí)刻下壓力水頭沿高度的分布情況Fig.6 Development of water pressure head at different times for various heights of slope

3.1.2 不同方法的邊坡安全系數(shù)對比分析

分別按最小勢能法、Spencer法和Morgenstern-Price法對降雨入滲下的非飽和土質(zhì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析。圖7給出了3種方法確定的邊坡安全系數(shù)隨降雨歷時(shí)的演化過程，圖8給出了3種方法在不同降雨歷時(shí)下確定的最危險(xiǎn)滑面位置，黑色虛線為Spencer法確定的最危險(xiǎn)滑面，灰色虛線為Morgenstern-Price法確定的最危險(xiǎn)滑面，黑色粗線為最小勢能法(MPE)確定的最危險(xiǎn)滑面，點(diǎn)劃線為該時(shí)刻下的浸潤線。。

圖7 3種方法確定的安全系數(shù)演化過程Fig.7 factors of safety histories between minimum potential energy method, Spencer method and Morgenstern-Price method

圖8 3種方法確定的不同時(shí)刻下最危險(xiǎn)滑面位置Fig.8 Most critical slip surfaces at different times between minimum potential energy method, Spencer method and Morgenstern-Price method

由圖7可知，最小勢能法、Spencer法和Morgenstern-Price法確定的安全系數(shù)變化規(guī)律基本相同，總體表現(xiàn)為安全系數(shù)隨降雨時(shí)間不斷減小。降雨開始時(shí)，雨水入滲，土壤中基質(zhì)吸力減小，抗剪強(qiáng)度降低，安全系數(shù)隨之下降。在降雨大約持續(xù)3天后，雨水滲入坡體一定深度，安全系數(shù)迅速下降。隨著降雨的繼續(xù)，土體孔隙被水充填，基質(zhì)吸力不斷減小，雨水入滲速率下降，使得安全系數(shù)下降趨勢逐漸放緩。同時(shí)比較3種方法在不同時(shí)刻下的邊坡安全系數(shù)，其基本一致，最小勢能法與Spencer法、Morgenstern-Price法最大相差0.054，說明本文提出的降雨入滲下非飽和土邊坡穩(wěn)定性的最小勢能法是合理的。從圖8可以發(fā)現(xiàn)，3種方法確定的最危險(xiǎn)滑面位置基本一致，Spencer法和Morgenstern-Price法確定的最危險(xiǎn)位置完全一致，最小勢能法除降雨1天時(shí)的滑面位置相比Spencer法要淺一些，其他時(shí)刻的滑面位置相同，證明了最小勢能法在降雨入滲下非飽和土邊坡穩(wěn)定性分析中的合理性。為了簡化問題，本文沒有考慮滑面上的剪切勢能，但其影響不大[13]。

3.2 降雨入滲下的非飽和均質(zhì)黏土邊坡穩(wěn)定分析

取一坡高5 m、坡長30 m、坡度為1∶2的典型均質(zhì)黏土邊坡[23]。初始地下水位高度為3 m，模型左邊界為透水邊界，模型右邊界及底部不透水，模型ABCD整段受降雨作用，降雨強(qiáng)度為3.125 mm/h，降雨持續(xù)48 h。模型共劃分3 613個(gè)單元， 3 754個(gè)節(jié)點(diǎn)。計(jì)算模型如圖9所示，土體參數(shù)見表2，非飽和土-水特征曲線(見圖10)采用Van-Genuchten模型[24]。

圖9 計(jì)算模型及網(wǎng)格Fig.9 Calculation model and finite element mesh

表2 材料參數(shù)Tab.2 parameters of material

圖10 土-水特征曲線Fig.10 Soil-water characteristic curve

3.2.1 不同方法的邊坡安全系數(shù)對比分析

分別按最小勢能法、Spencer法和Morgenstern-Price法對降雨入滲下的非飽和土質(zhì)邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析。圖11給出了3種方法確定的邊坡安全系數(shù)隨降雨歷時(shí)的演化過程，圖12給出了3種方法在不同降雨歷時(shí)下確定的最危險(xiǎn)滑面位置，黑色虛線為Spencer法確定的最危險(xiǎn)滑面，灰色虛線為Morgenstern-Price法確定的最危險(xiǎn)滑面，黑色粗線為最小勢能法(MPE)確定的最危險(xiǎn)滑面，點(diǎn)劃線為該時(shí)刻下的浸潤線。

圖11 3種方法確定的安全系數(shù)演化過程Fig.11 factors of safety histories between minimum potential energy method, Spencer method and Morgenstern-Price method

圖12 3種方法確定的不同時(shí)刻下最危險(xiǎn)滑面位置Fig.12 Most critical slip surfaces at different times between minimum potential energy method, Spencer method and Morgenstern-Price method

由圖11可知，最小勢能法、Spencer法和Morgenstern-Price法確定的安全系數(shù)變化規(guī)律基本相同，總體表現(xiàn)為安全系數(shù)隨降雨時(shí)間不斷減小，降雨結(jié)束后安全系數(shù)逐漸回升。降雨開始時(shí)，雨水入滲，土壤中基質(zhì)吸力減小，抗剪強(qiáng)度降低，安全系數(shù)隨之下降。降雨停止后，孔隙水在自重作用下消散，基質(zhì)吸力增大，抗剪強(qiáng)度逐漸增加，安全系數(shù)回升。同時(shí)比較3種方法在不同時(shí)刻下的邊坡安全系數(shù)，其基本一致，最小勢能法相比Spencer法、Morgenstern-Price法安全系數(shù)最大相差0.030，說明本文提出的降雨入滲下非飽和土邊坡穩(wěn)定性的最小勢能法是合理的，同時(shí)也說明傳統(tǒng)非飽和土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析方法偏保守。從圖12可以發(fā)現(xiàn)，3種方法確定的最危險(xiǎn)滑面位置基本一致，最小勢能法的滑面位置較其他兩種方法要淺一些，但總體相差不大。這進(jìn)一步證明了最小勢能法在降雨入滲下非飽和土邊坡穩(wěn)定性分析中的合理性。

4 結(jié) 語

本文通過建立考慮滲流作用的勢能函數(shù)，基于Fredlund非飽和土抗剪強(qiáng)度理論，提出了非穩(wěn)定非飽和滲流下邊坡穩(wěn)定性的最小勢能法，并對降雨入滲下的邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得出如下結(jié)論：

(1)考慮非飽和非穩(wěn)定滲流的最小勢能法是將滑體視為一個(gè)整體，不假定滑面形狀，基于最小勢能原理，進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析。該方法無需劃分條塊及迭代，不對條間力作假定，滿足平衡微分方程和力的邊界條件，可以方便納入慣性力及地面荷載等外部荷載，同時(shí)計(jì)算過程簡單，具有較好的實(shí)用價(jià)值。其適用于任意滑面的飽和-非飽和單一均質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析問題，對于多層土的應(yīng)用有待進(jìn)一步研究。

(2)以降雨入滲下的邊坡穩(wěn)定分析為例，對比Spencer法、Morgenstern-Price法和最小勢能法結(jié)果發(fā)現(xiàn)，三者確定的最危險(xiǎn)滑面位置基本一致，且安全系數(shù)隨降雨時(shí)間的演化規(guī)律也基本相同，同時(shí)最小勢能法與其他兩種方法的安全系數(shù)最大相差0.054，驗(yàn)證了本文方法的合理性，同時(shí)說明了傳統(tǒng)非飽和土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析方法偏于保守。本文分析沒有考慮滑面上的剪切勢能，但其對結(jié)果影響不大。

□

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