陳文森，常曉林，馬 剛，徐 琨，周 偉

(1. 武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國家重點實驗室，湖北 武漢 430072；2. 武漢大學(xué) 水工巖石力學(xué)教育部重點實驗室，湖北 武漢 430072)

堆石壩因其工期短、投資少、對地形地質(zhì)條件適應(yīng)性強等優(yōu)點，在不斷改進的基礎(chǔ)上已得到廣泛的應(yīng)用。目前，對堆石壩的應(yīng)力變形研究主要采用有限單元法，通過建立有限元模型、選擇合理的堆石體本構(gòu)模型及模型參數(shù)進行堆石壩的應(yīng)力變形計算。堆石體的本構(gòu)模型參數(shù)一般通過室內(nèi)或現(xiàn)場試驗獲得。此外，隨著人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和智能優(yōu)化算法的發(fā)展，利用已建堆石壩的實測變形進行參數(shù)反演，也為參數(shù)的選取提供了新的途徑[1-9]。

堆石體除了瞬時變形外，由于堆石體自身散粒料的特性，其力學(xué)響應(yīng)具有流變性，導(dǎo)致堆石壩變形在竣工后仍能隨時間進一步發(fā)展。國內(nèi)外學(xué)者對堆石體的流變特性進行了廣泛的試驗研究，提出了一些描述堆石體時效變形的流變模型，如三參數(shù)指數(shù)流變模型[10]、基于指數(shù)衰減Merchant模型的五參數(shù)流變模型[11]、九參數(shù)冪函數(shù)流變模型[12]等。堆石體流變參數(shù)的選取，受試驗條件、縮尺效應(yīng)、室內(nèi)流變試驗持續(xù)時間等因素的限制，使得測定的模型參數(shù)與實際值存在一定差異[13]。

參數(shù)敏感性分析能合理地判斷流變模型參數(shù)對壩體位移等指標(biāo)的影響程度，對獲得相對準(zhǔn)確的流變模型參數(shù)具有一定的指導(dǎo)意義。目前，已有多種方法被用于堆石體瞬變和流變參數(shù)的敏感性分析，如牟聲遠等[14]采用單因素分析法對鄧肯E-B模型參數(shù)進行了敏感性與統(tǒng)計分析；李炎隆等[15]采用正交試驗法和極差分析法對鄧肯E-B模型的參數(shù)進行了敏感性分析；王瑞駿等[16]采用正交試驗法和方差分析法對七參數(shù)流變模型的參數(shù)進行了敏感性分析；康飛等[17]采用Morris法對雙曲服面模型的參數(shù)進行了敏感性分析。已有的參數(shù)敏感性分析多基于統(tǒng)計方法，文獻[18]指出當(dāng)模型參數(shù)較多或者參數(shù)與預(yù)測結(jié)果之間的非線性關(guān)系較強時，采用統(tǒng)計方法處理得到的結(jié)果不理想，精度達不到要求。

研究者開始采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來建立預(yù)測模型，通過人工神經(jīng)元之間的連接權(quán)重，建立能夠較好反映數(shù)據(jù)真實情況的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[19]，當(dāng)隱含層神經(jīng)元數(shù)目足夠多時，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以以任意精度逼近任何一個具有有限間斷點的非線性函數(shù)。因此，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠求解高度非線性的復(fù)雜巖土工程問題[20]，如在混凝土材料參數(shù)反演[21]、土體細觀力學(xué)參數(shù)反演分析[22]、隧道圍巖力學(xué)參數(shù)反演[23]和堆石體力學(xué)參數(shù)反演[20,24,25]方面的應(yīng)用。

本文采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立堆石體九參數(shù)流變模型參數(shù)與壩體位移的映射關(guān)系，采用Olden方法[26,27]對網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值進行處理，進行參數(shù)敏感性分析。以變量敏感性已知的測試算例論證上述方法的有效性和準(zhǔn)確性。以水布埡面板堆石壩為工程實例，進行九參數(shù)冪函數(shù)流變模型的參數(shù)敏感性計算和分析，得出各個流變參數(shù)對不同測試指標(biāo)的敏感性排序，并結(jié)合單因素分析方法佐證所得結(jié)果的合理性。

1 基于BP-Olden方法的參數(shù)敏感性分析

1.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以避免知識的具體形式，不必像統(tǒng)計模型那樣要求有前提假設(shè)以及事先的因子確定，而且在理論上可以實現(xiàn)任何函數(shù)的逼近[24]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也存在人為因素影響大、收斂速度慢、全局搜索能力差等問題[28]。為改進傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不足，啟發(fā)式算法、全局算法和數(shù)值優(yōu)化算法被應(yīng)用于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。作為數(shù)值優(yōu)化算法的一種，萊文貝格-馬夸特(Levenberg-Marquardt)算法兼有梯度下降法的全局特性與高斯-牛頓法的局部特性，能提高網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的穩(wěn)定性和精度[29]。

本文采用(N-L-M)三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，N為輸入層的輸入變量個數(shù)，L為隱含層的隱含神經(jīng)元個數(shù)，M為輸出層的輸出神經(jīng)元個數(shù)，層與層之間通過權(quán)值連接。采用萊文貝格-馬夸特算法(Levenberg-Marquardt)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意圖如圖1所示。圖中，wij、aj和f1(netj(i=1,…,N、j=1,…,L)分別為輸入層的輸入變量xi(i=1,…,N)與隱含層的神經(jīng)元j(j=1,…,L)之間的連接權(quán)值、閾值和激活函數(shù),vjk、bk和f2(netk)(j=1,…,N、k=1,…,M)分別為隱含層的神經(jīng)元j(j=1,…,L)與輸出層的輸出變量yk(k=1,…,M)之間的連接權(quán)值、閾值和激活函數(shù)。

圖1 三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.1 Flow chart of three layers of neural network

1.2 Olden方法

Olden方法是Olden及其合作者提出的一種評估各個輸入變量對輸出變量影響程度的方法，稱為連接權(quán)值法(Connection Weight Approach)。輸入變量xi對輸出變量yk的相對影響程度可由式(1)表示。

(1)

式中：Oik為輸入變量xi對yk的敏感性指標(biāo)值；Oik的絕對值越大，則該變量對對應(yīng)的測試指標(biāo)的影響程度(敏感性)越大；其他變量的含義如1.1節(jié)所述。

文獻[27]采用關(guān)系已知的仿真數(shù)據(jù)構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，基于訓(xùn)練完成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對比分析了結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評估輸入變量對輸出變量貢獻程度(敏感性大小)的九種方法，結(jié)果表明Olden方法無論是準(zhǔn)確性還是精度方面均優(yōu)于其他方法。

2 九參數(shù)冪函數(shù)流變模型

堆石體軸向流變和體積流變均可用冪函數(shù)進行表述，九參數(shù)冪函數(shù)流變模型可表述為：

εs(t)=εsf(1-t-λs)

(2)

εv(t)=εvf(1-t-λv)

(3)

式中：εs(t)、εsf分別為 時段內(nèi)累計的和某個應(yīng)力狀態(tài)下最終的軸向流變量；εv(t)、εvf分別為0～t時段內(nèi)累計的和某個應(yīng)力狀態(tài)下最終的體積流變量；λs為累計軸向流變的時間冪指數(shù)；λv為累計體積流變的時間冪指數(shù)。

εsf和應(yīng)力水平SL與圍壓σ3的關(guān)系為：

(4)

λs=ησ-m3

(5)

εvf與圍壓σ3和應(yīng)力水平SL可用線性函數(shù)擬合為：

εvf=cαSdαL+cβSdβL

(6)

λv=const

(7)

綜上，9個參數(shù)c、d、η、m、cα、dα、cβ、dβ、λv及其表達式完整地表述了堆石體的九參數(shù)流變模型。

3 堆石體流變模型參數(shù)敏感性分析

(1)選擇測試指標(biāo)。參考已有堆石體流變參數(shù)敏感性分析的測試指標(biāo)，選取如堆石壩壩體最大的豎向位移V等作為敏感性分析的測試指標(biāo)。

(2)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練。將流變模型的試驗參數(shù)無量綱化后上下浮動Δd作為訓(xùn)練和測試神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本空間，在該樣本空間生成m組訓(xùn)練和n組測試樣本參數(shù)組合。選定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元個數(shù)、激活函數(shù)(線性函數(shù)pureline、雙曲正切S形函數(shù)tansig、對數(shù)S形函數(shù)logsig等)。將生成的流變模型的參數(shù)組合作為輸入變量，將壩體位移V等作為輸出變量，完成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練。

(3)Olden方法求解敏感性指標(biāo)值及結(jié)果分析。提取BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值，按照式(1)進行計算，求出流變模型中各個參數(shù)(輸入變量)與對應(yīng)測試指標(biāo)(輸出變量)的敏感性指標(biāo)值，進行參數(shù)敏感性分析，得到參數(shù)敏感性分析結(jié)果。

上述敏感性分析的流程如圖2所示。

圖2 敏感性分析流程圖Fig.2 Flow chart of sensitivity analysis

4 BP-Olden方法驗證

通過構(gòu)造一個含有9個變量的非線性函數(shù)，如式(8)所述。該函數(shù)各變量前的系數(shù)能夠反映該變量的變化(x1,x2,…,x9)對于因變量f(x1,x2,…,x9)的影響程度(敏感性大小)，將其作為“真實的敏感指標(biāo)值”。將本文所述方法的計算結(jié)果與其對比，以此來檢驗本文方法的有效性和準(zhǔn)確性。

f(x1,x2,…,x9)=x21+2x22+3x23+4x24+5x25+

6x26+7x27+8x28+9x29

(8)

采用如圖1所示流程，進行各個自變量的敏感性分析，得出各個變量敏感性分析的結(jié)果。變量(x1,x2,…,x9)的取值范圍為[0.8, 1.2]，以因變量的值f(x1,x2,…,x9)為測試指標(biāo)，以此為樣本空間隨機生成500組參數(shù)組合并計算對應(yīng)的函數(shù)值，得到500個樣本。其中450組作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本，50組作為測試樣本。采用(9-9-1)三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，最大訓(xùn)練次數(shù)800，訓(xùn)練要求精度10E-20，學(xué)習(xí)率0.1，f1(net1)和f2(netk)分別為tansig和purelin函數(shù)。進行多次神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，選用預(yù)測誤差最小的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)效果驗證如圖3所示，圖3中點都聚攏在y=x直線附近，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與式(8)的計算值基本完全相等，表明該網(wǎng)絡(luò)具有非常好的預(yù)測能力。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值如表1所示。采用Olden方法計算敏感性指標(biāo)值，為更清晰地說明計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，將所得指標(biāo)值按照式(9)進行處理后，結(jié)果如表2所示。

(9)

式中：Oxs為變量xs對應(yīng)的敏感性指標(biāo)值；O*xt為處理后的敏感性指標(biāo)值；t為式(8)中個各自變量前的系數(shù)。

表1 神經(jīng)元連接權(quán)值Tab.1 Neuron connection weight

表2 敏感性指標(biāo)值Tab.2 Sensitivity index value

由圖3可知BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確建立了該多變量非線性函數(shù)的自變量與因變量的映射關(guān)系。由表2可知，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與Olden方法相結(jié)合得到的測試函數(shù)的敏感性指標(biāo)值經(jīng)處理后與“真實的敏感性指標(biāo)值”近乎相等。計算結(jié)果表明本文所述方法對求解多變量非線性的敏感性分析問題的有效性和準(zhǔn)確性。

5 水布埡面板堆石壩工程應(yīng)用

水布埡工程位于清江干流湖北省巴東縣境內(nèi)，最大壩高233 m，水庫正常蓄水高程400 m。壩體最大剖面和有限元計算模型如圖4所示。采用有限元進行壩體應(yīng)力變形分析，瞬變靜力本構(gòu)模型為鄧肯E-B模型，流變模型為九參數(shù)冪函數(shù)流變模型，流變模型試驗參數(shù)如表3所示。

水布埡面板堆石壩九參數(shù)冪函數(shù)流變模型的參數(shù)敏感性計算分析過程如下：

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驗證Fig.3 Neural network effect verification

圖4 壩體最大剖面和有限元模型Fig.4 Maximum section of dam and Finite element calculation model

材料cdηmcαdαcβdβλV茅口組0.28920.84650.08310.38990.44452.08270.43601.63830.0678

(1)選擇測試指標(biāo)。分別選取壩體豎向最大位移V、壩體水平向上游最大位移V上和壩體水平向下游最大位移V下作為敏感性分析的測試指標(biāo)。

(2)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練。將流變試驗參數(shù)上下浮動20%作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的樣本空間，為了保證樣本具有足夠的代表性，分別采用正交設(shè)計和均勻設(shè)計共生成41組樣本，加上隨機生成的259組樣本，共300組樣本，其中250組作為訓(xùn)練樣本，50組作為測試樣本。將流變參數(shù)的樣本值與試驗值的比值作為各個參數(shù)的輸入變量(參數(shù)無量綱化處理),提取樣本組合的測試指標(biāo)的有限元計算結(jié)果,生成的樣本集如表4所示。采用(9-9-1)三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，最大訓(xùn)練次數(shù)800，訓(xùn)練要求精度10E-20，學(xué)習(xí)率0.1，f(netj)和f(netk)分別為tansig和purelin。進行多次神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，選用預(yù)測誤差最小的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。壩體位移V、V上、V下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測效果驗證圖分別如圖5～圖7所示，圖中點都聚攏在y=x直線附近，表明訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能真實、準(zhǔn)確地反映輸入變量與對應(yīng)測試指標(biāo)的映射關(guān)系。

表4 參數(shù)樣本集Tab.4 Parameter sample set

圖5 壩體位移V神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)效果驗證Fig.5 Neural network effect verification of dam displacement V

圖6 壩體位移V上神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)效果驗證Fig.6 Neural network effect verification of dam displacement V上

圖7 壩體位移V下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)效果驗證Fig.7 Neural network effect verification of dam displacement V下

(3)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值的提取。提取分別以壩體位移V、V上、V下為測試指標(biāo)訓(xùn)練的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層與隱含層之間，隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值，提取結(jié)果如表5-7所示。

(4)Olden方法求解敏感性指標(biāo)值及結(jié)果分析。將上述步驟(3)提取的連接權(quán)值代入式(1)計算，得到敏感性指標(biāo)值，如表8所示，將結(jié)果繪制成圖，如圖8所示。從圖中可知流變參數(shù)中參數(shù)m對三項測試指標(biāo)的敏感性相對較高，其次是參數(shù)η、c、d；參數(shù)cα、dα、cβ、dβ、λv對三項測試指標(biāo)的影響相對均較小，因此，在參數(shù)選取過程中，應(yīng)重點考慮m、η、c、d四個參數(shù)。

為了進一步論證上述方法得到的九參數(shù)冪函數(shù)流變模型的參數(shù)敏感性排序結(jié)果的準(zhǔn)確性，采用操作較簡單的單因素分析方法對上述參數(shù)的敏感性進行分析，該方法能夠比較直觀的 反映各參數(shù)對指標(biāo)值的影響。采用單因素分析方法將流變模型的9個參數(shù)的試驗值按順序分別乘以1.2，同時保持其他參數(shù)值的大小不變，生成九組參數(shù)組合進行計算，提取壩體位移V、V上、V下后，減去采用試驗參數(shù)計算的得到的壩體對應(yīng)的三項位移，得到各個參數(shù)改變后壩體位移的相對變化量，如表9所示，并將結(jié)果繪制成圖，如圖9所示。

表5 壩體位移V神經(jīng)元連接權(quán)值Tab.5 Neuron connection weight of dam displacement V

因為單因素分析方法沒有考慮參數(shù)之間的相互影響，只能得出“定性”的結(jié)論。考慮單個參數(shù)放大1.2倍后壩體位移的變化，參數(shù)m改變后，壩體三項位移變化相對于其他參數(shù)均較高，敏感性相對較高，其次為參數(shù)η、c和d，參數(shù)cα、dα、cβ、dβ、λv變化后帶來的壩體位移的變化則相對較小，與本文方法得出的結(jié)論相比是基本一致的，說明了本文所提方法結(jié)果的可靠性。

表6 壩體位移V上神經(jīng)元連接權(quán)值Tab.6 Neuron connection weight of dam displacement V上

表7 壩體位移V下神經(jīng)元連接權(quán)值Tab.7 Neuron connection weight of dam displacement V下

表8 敏感性指標(biāo)值Tab.8 Sensitivity index value

表9 單個參數(shù)放大1.2倍的相對位移變化Table9 The relative displacement variation after a single parameter is magnified 1.2 times

圖8 參數(shù)敏感性結(jié)果Fig.8 Parameter sensitivity results

圖9 單個參數(shù)放大1.2倍的相對位移變化Fig.9 The relative displacement variation after a single parameter is magnified 1.2 times

此外，文獻[6]采用控制變量法，將參數(shù)縮放至0.1～10倍，對九參數(shù)流變模型進行參數(shù)敏感性分析，結(jié)果表明c、η、cα、cβ、λv五個流變參數(shù)對壩體沉降較為敏感，導(dǎo)致上述結(jié)果與本文的結(jié)果差別較大的原因可歸結(jié)為采用的方法和參數(shù)縮放范圍的不同。由于堆石體本構(gòu)模型的參數(shù)都有明確的物理意義，過分地放大某些參數(shù)值，可能會超出參數(shù)所代表的物理意義，與現(xiàn)實不相符。如何科學(xué)和恰當(dāng)?shù)卮_定參數(shù)縮放范圍的大小，不僅是參數(shù)敏感性分析所面臨的問題，同時也是堆石壩參數(shù)反演所面臨的問題。

6 結(jié) 語

(1)本文提出了一種采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與Olden方法相結(jié)合的堆石體流變參數(shù)敏感性分析方法，與已有的采用統(tǒng)計方法進行參數(shù)敏感性分析的方法相比，具有更好的考慮了參數(shù)與測試指標(biāo)的映射關(guān)系，試驗方案參數(shù)組合設(shè)計簡單，數(shù)據(jù)處理方便的優(yōu)點。

(2)以函數(shù)實例驗證了本文方法對求解多變量非線性敏感性分析問題的有效性和準(zhǔn)確性。采用該方法對水布埡面板堆石壩進行了九參數(shù)冪函數(shù)流變模型參數(shù)敏感性分析，并結(jié)合單因素分析方法加以論證，計算結(jié)果表明，流變參數(shù)m、η、c、d對指標(biāo)位移V、V上、V下敏感性較強，其中參數(shù)m敏感性相對最強，其次為參數(shù)η、c、d，其他參數(shù)的敏感性則相對較弱，因此參數(shù)選取應(yīng)著重考慮參數(shù)m、η、c、d。

(3)本文方法以及對九參數(shù)流變模型的參數(shù)敏感性分析的結(jié)果可以為堆石體力學(xué)參數(shù)的敏感性分析提供一定的借鑒。

□

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