廣東工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院 史 彥 王銀河

0 引言

欠驅(qū)動系統(tǒng)，是指獨立的控制輸入維度少于系統(tǒng)狀態(tài)自由度的一類非線性系統(tǒng)，如倒立擺系統(tǒng)[1]、球桿系統(tǒng)[2]、各種起重機（橋式起重機、臂式起重機、塔式起重機）等[3]。與完全驅(qū)動系統(tǒng)相比，欠驅(qū)動系統(tǒng)在節(jié)約能耗、降低造價、減輕整體重量、增強系統(tǒng)可靠性等方面具有不可替代的優(yōu)勢。從控制理論的角度來看，由于控制輸入數(shù)量的缺失，使得欠驅(qū)動系統(tǒng)控制問題變得十分復(fù)雜，通常需要利用各自由度間的耦合關(guān)系來實現(xiàn)整個系統(tǒng)的控制目標(biāo)。因此，不僅在控制理論上還是實際應(yīng)用中，欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制問題都具有較高的研究價值。

到目前為止，對于欠驅(qū)動系統(tǒng)的研究已有豐富的成果，一些比較好的理論和方法已被提出。對于一類二自由度欠驅(qū)動機械系統(tǒng)，文獻(xiàn)[4]提出了一種基于趨近率法的分級滑?？刂撇呗?，其基本原理是將一種非線性趨近律引入到系統(tǒng)的控制機制中。文獻(xiàn)[5]中針對欠驅(qū)動系統(tǒng)在系統(tǒng)不確定性和外界干擾條件下的穩(wěn)定控制問題，提出了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂撇呗?。文獻(xiàn)[6]針對具有未建模不確定性的欠驅(qū)動吊車系統(tǒng)的抗擺控制問題，提出了一種類似滑模控制的魯棒控制策略。針對球桿系統(tǒng)的位置控制問題，文獻(xiàn)[7]提出了一種基于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制的球桿位置控制新方法。但關(guān)于關(guān)聯(lián)跟蹤目標(biāo)的欠驅(qū)動系統(tǒng)的跟蹤控制的研究還鮮見于報道。

欠驅(qū)動系統(tǒng)的跟蹤控制，通常要求系統(tǒng)狀態(tài)跟隨給定的參考軌跡運動，一般情況下跟蹤的參照值是相互獨立的，但是在某些情況下，跟蹤的參照值是相互關(guān)聯(lián)的，例如在對永磁同步電機（PMSM）控制策略的研究時，我們通常采用矢量控制策略，通過對PMSM在三相靜止坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行Clarke變換和Park變換，可實現(xiàn)同步旋轉(zhuǎn)的d、q、0坐標(biāo)系中完成對電壓、電流和磁勢的解耦，使得各變量能分解在互相垂直的d、q、0坐標(biāo)上[8]。當(dāng)采用id= 0的控制策略時，從電動機的端口來看，PMSM相當(dāng)于一臺他勵直流電動機，電機定子磁鏈?zhǔn)噶颗c永磁體磁鏈?zhǔn)噶吭诳臻g上相互正交，定子電流中只有交軸分量，無電流弱磁分量，交軸電流與輸出轉(zhuǎn)矩成正比[9]。當(dāng)采用弱磁控制時，由于PMSM中由永磁體產(chǎn)生勵磁磁場，磁場恒定，需要調(diào)節(jié)定子電流，通過增加定子電流的直軸分量來削弱氣隙磁場，達(dá)到弱磁增速的目的[11]，那么此時直軸分量id≠ 0。通過對永磁同步伺服電機的動態(tài)方程[14]分析，發(fā)現(xiàn)電機的電壓、電流和轉(zhuǎn)速三者之間所跟蹤參照值需要滿足一定的約束關(guān)系，因此對電流、電壓和轉(zhuǎn)速做跟蹤控制的時候，必須考慮這種約束關(guān)系。其次，在對永磁同步電機弱磁控制的控制器設(shè)計時，從電流跟蹤誤差方程，發(fā)現(xiàn)控制只是作用在電流環(huán)系統(tǒng)，對于速度環(huán)我們沒有施加任何的直接控制，它只是通過狀態(tài)耦合關(guān)系的影響達(dá)到所期望的轉(zhuǎn)速，可見該系統(tǒng)是一個欠驅(qū)動系統(tǒng)。將類似于以上跟蹤控制方法加以抽象就形成了基于關(guān)聯(lián)跟蹤目標(biāo)的欠驅(qū)動系統(tǒng)跟蹤控制問題。因此，本文討論在參考跟蹤目標(biāo)關(guān)聯(lián)的情況下進(jìn)行欠驅(qū)動系統(tǒng)跟蹤控制。

1 系統(tǒng)模型

考慮如下欠驅(qū)動系統(tǒng)：

對于模型（1），其控制輸入u少于控制目標(biāo)x、ρ，而在控制輸入u作用下需要通過系統(tǒng)狀態(tài)x、ρ之間的耦合關(guān)系來達(dá)到跟蹤目的。在對電機矢量控制時常使用這類模型，首先設(shè)定電機的預(yù)定轉(zhuǎn)速，然后設(shè)定合適的直軸電流參考值，交軸電流參考值也隨之而定， 最后對電機的電流、電壓進(jìn)行控制，再利用他們和轉(zhuǎn)速之間的耦合關(guān)系來控制轉(zhuǎn)速。

2 控制設(shè)計方法

控制目標(biāo)為：對于給定的理想定常值向量x*（主要參考目標(biāo)），設(shè)計控制輸入u與輔助可調(diào)節(jié)目標(biāo)使，并同時通過耦合作用達(dá)到。

在假定1成立的前提下，我們考慮滿足下列方程的輔助可調(diào)節(jié)目標(biāo)。

等式（4）體現(xiàn)了系統(tǒng)（1）對主要參考跟蹤目標(biāo)與輔助參考目標(biāo)值間的關(guān)系要求。例如在永磁交流電機的矢量控制時，電機轉(zhuǎn)速控制的第一步是確定預(yù)定轉(zhuǎn)速ω*（主要參考目標(biāo)），同時交軸電流的參考值（輔助可調(diào)節(jié)目標(biāo)）也隨之確定。

由此可得輔助可調(diào)節(jié)目標(biāo)為：

注1：（i）若系統(tǒng)（1）中M為Hurwitz矩陣，則可取矩陣M0= 0，根據(jù)方程（2），輔助可調(diào)節(jié)目標(biāo)可以按下列代數(shù)方程取常值向量：

在電機矢量控制時，若采用id≠ 0如弱磁控制策略時，輔助可調(diào)節(jié)目標(biāo)（交軸電流的參考值）可以按照（6）選取。

由方程（2）容易得到跟蹤誤差方程：

利用方程（4），模型（7）轉(zhuǎn)化為：

針對系統(tǒng)（1），本文提出如下控制律：

定理1：考慮動態(tài)方程（1），如果假設(shè)1，2成立，那么在控制器（9）與輔助參考目標(biāo)（4）的作用下有下式成立：

把假定1中（3）以及控制器（7）帶入上式可得：

從（9）式可知，V(t) ≤ 0，通過控制器（7）的控制作用后，可以使誤差系統(tǒng)（4）穩(wěn)定，e1(t )、e2(t )是有界的。同時，V(t)是單調(diào)遞減的，又有V(t ) ≥ 0，所以存在。

由（9）兩端積分得：

即有：

上式左邊關(guān)于上限t的函數(shù)是單調(diào)遞增的，且又有上界，所以有存在。

注3：利用定理1解決關(guān)聯(lián)跟蹤目標(biāo)的非線性系統(tǒng)（1）的跟蹤控制的步驟如下：

步驟二：驗證假定1，若假定1成立則進(jìn)行下一步，否則本文方法失效；

步驟三：選擇合適的參照值x*，得到輔助可調(diào)節(jié)參照值ρ*；

步驟四：驗證假定2，若假定2成立則進(jìn)行下一步，否則本文方法失效；

步驟五：構(gòu)造控制器（9）。

3 仿真實例

3.1 永磁同步伺服電機仿真

考慮如下的永磁同步伺服電機的動態(tài)方程[14]：

仿真中永磁同步伺服電機（隱極式）的動態(tài)方程（13）的參數(shù)有轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)矩常數(shù)與反電勢常數(shù)相等、轉(zhuǎn)子極對數(shù)、電氣時間常數(shù)、機械時間常數(shù)、定子電阻q軸電感，額定轉(zhuǎn)矩為，轉(zhuǎn)速阻尼系數(shù)：

仿真結(jié)果如下：

圖1 電流id、iq、轉(zhuǎn)速ω的時間響應(yīng)曲線圖

從圖1所示可以看出，電流id、iq與轉(zhuǎn)速ω響應(yīng)基本上已經(jīng)完全重合，控制效果良好。

圖2 突加負(fù)載電流id、iq、轉(zhuǎn)速ω的時間響應(yīng)曲線圖

圖3 突卸負(fù)載電流id、iq、轉(zhuǎn)速ω的時間響應(yīng)曲線圖

從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)負(fù)載增加（減少）時，id都能夠保持在參照值附近，iq隨負(fù)載增加（減少）而快速提高（降低），從而使轉(zhuǎn)速ω能夠快速調(diào)整后繼續(xù)跟蹤參照轉(zhuǎn)速ω*。

3.2 球桿系統(tǒng)仿真

球桿系統(tǒng)[2]，通過對橫桿的傾斜角度的調(diào)節(jié)，實現(xiàn)對小球運動的控制，最后使小球達(dá)到預(yù)期位置。假設(shè)忽略球桿之間的摩擦力，球桿總是保持接觸，球在桿上滾動而不滑動，桿在一定范圍內(nèi)旋轉(zhuǎn)。

上述系統(tǒng)(17)符合系統(tǒng)(1)所描述的欠驅(qū)動系統(tǒng)模型。

圖4 的時間響應(yīng)曲線圖

圖5 r、θ 的誤差時間曲線圖

圖6 輔助可調(diào)節(jié)目標(biāo)的時間曲線圖

4 結(jié)論

本文針對一類欠驅(qū)動系統(tǒng)，做跟蹤控制其跟蹤目標(biāo)相互之間有一定的約束關(guān)系，并且其模型也是比較特殊，控制輸入的維度少于控制目標(biāo)的維度，提出了一種控制方法。同時，建立永磁同步伺服電機控制系統(tǒng)，利用本文的控制方法，在設(shè)定直軸交流分量不等于0的情況下，電機在升速、恒轉(zhuǎn)速、突加負(fù)載、突卸負(fù)載等情況下，電流波形穩(wěn)定，響應(yīng)迅速，控制效果良好。對于球桿系統(tǒng)，在給桿的角速度的參照值為0的情況下，獲得球的位置、球的加速度和桿的角度的輔助可調(diào)節(jié)參照值，在桿有一定傾角的情況下，小球最終能穩(wěn)定在期望位置，從而驗證了該控制方法的正確性和可行性。

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