王軍鋒，賀亞茹

(西安理工大學(xué) 理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710054)

0 引 言

在數(shù)字圖像的生成、傳輸、儲存等過程中容易造成圖像的模糊、缺損和噪聲污染等現(xiàn)象，因而對降質(zhì)圖像的恢復(fù)成為了當(dāng)前的研究熱點之一。最常見的圖像恢復(fù)主要是去除噪聲、修復(fù)劃痕、文字污染和去除運(yùn)動模糊。

目前，二階、四階和分?jǐn)?shù)階的偏微分方程算法在去噪方面已經(jīng)取得了很好的效果。1990年，Perona和Malik提出了二階偏微分去噪算法[1]，Catte提出了改進(jìn)的正則化P-M模型以及各向同性和各向異性的去噪算法[2-4]，恢復(fù)后的圖像在平滑的過程中模糊了邊緣，出現(xiàn)明顯的階梯效應(yīng)。You和Kaven在2000年提出了四階去噪算法[5]，該算法有效抑制了“階梯效應(yīng)”的產(chǎn)生，但同時產(chǎn)生了斑點。Liu Tianhua[6]和王璐[7]分別提出了二階和四階結(jié)合的偏微分方程算法。Bai Yunjiao等[8]利用差分曲率算子[9]檢測邊緣，使圖像在邊緣處盡可能慢的擴(kuò)散或不擴(kuò)散，有效保留了邊緣。Hajiaboli提出了非線性的四階擴(kuò)散方程[10]，在梯度方向采用各向異性擴(kuò)散，在梯度的垂直方向采用各向同性擴(kuò)散。白云蛟等提出了自適應(yīng)的四階去噪模型[11]，提高了圖像質(zhì)量。

在介紹現(xiàn)有的四階偏微分方程算法的各向同性和各向異性擴(kuò)散的基礎(chǔ)上，在自適應(yīng)的四階去噪模型中引入一種新的擴(kuò)散函數(shù)，并通過實驗對其進(jìn)行驗證。

1 四階偏微分方程模型

為了避免階梯效應(yīng)，You和Kaven提出了四階的偏微分方程去噪模型(Y-K模型)。其能量泛函為：

(1)

通過求解歐拉-拉格朗日方程，得梯度下降流為：

(2)

(3)

由于拉普拉斯算子會過渡平滑圖像，導(dǎo)致圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息的丟失，因此Hajiaboli提出用|I|代替|2I|檢測圖像特征信息。為了不產(chǎn)生斑點和階梯效應(yīng)，Hajiaboli提出了非線性的四階偏微分方程(Hajiaboli模型)：

(4)

(5)

其中，η為梯度方向；ξ為梯度方向的法向。

該模型在噪聲較小時，梯度方向擴(kuò)散速度大于法向，能更好地保留邊緣。

2 文中算法

用于檢測邊緣的算子有很多，如梯度模值算子、雙十字梯度算子[12]、差分曲率算子[13]、path similary[13]算子等，其中應(yīng)用最廣泛的是梯度模值算子。例如，P-M模型中采用的邊緣檢測函數(shù)為：

(6)

Weichert提出了一種邊緣檢測函數(shù)：

(7)

白云蛟等提出了一種自適應(yīng)的邊緣檢測函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)：

(8)

其中，h0為常數(shù)；n為迭代次數(shù)；梯度模閾值用h0×n-1/3表示。隨著迭代次數(shù)的增加，梯度模閾值將逐漸減少，與傳統(tǒng)的取閾值方法相比，具有自適應(yīng)和調(diào)節(jié)閾值的能力，更有利于檢測和保護(hù)邊緣。

(9)

圖1中取k=20,隨著|I|的變化，c1、c2、c3函數(shù)曲線整體呈下降趨勢。通過對比可看出，當(dāng)|I|≤k時，c1呈下降趨勢，c2=1，c3的值先取到1，再逐漸下降；而當(dāng)|I|>k，c2、c3下降很快，并逐漸趨近于0。因此，選取合適的閾值，且在|I|≈k的一個小鄰域內(nèi)，擴(kuò)散函數(shù)快速從1下降到0，能更有效地去除噪聲，保留邊緣。

因此文中提出了一種新的邊緣檢測函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)：

(10)

令x=|I|-k

(11)

圖1 各種擴(kuò)散函數(shù)變化曲線

3 數(shù)值實現(xiàn)

(12)

采用中心差分格式求解圖像在x,y方向的一階、二階導(dǎo)數(shù):

(13)

圖像η和ξ方向的二階導(dǎo)數(shù)為:

(14)

對應(yīng)的邊界條件為：

(15)

(16)

對應(yīng)的邊界條件為：

(17)

將式(4)變型為：

(18)

4 實驗結(jié)果分析

為驗證算法的有效性，將文中方法與四階自適應(yīng)模型(Hajiaboli+c1模型、Hajiaboli+c2模型、Hajiaboli+c3模型)進(jìn)行比較，采用均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)[14-16]評價算法性能。均方差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)定義如下：

(19)

(20)

其中，M×N為圖像大??；I(i,j)和I0(i,j)分別代表原圖像和去噪后圖像在對應(yīng)像素點的像素值。

在仿真實驗1中，選取256×256的Lena圖像并加10倍的隨機(jī)噪聲。文中模型參數(shù)為：迭代步長t=0.03,迭代次數(shù)i=70，為方便對比，梯度模閾值k=5，高斯濾波的方差為3，窗口大小為3×3。從四種模型的圖像恢復(fù)結(jié)果(圖2)中可看出，隨著迭代次數(shù)的增加，采用c1算子會出現(xiàn)過渡平滑造成帽子邊緣、頭發(fā)等區(qū)域模糊，采用c2、c3算子去噪效果明顯，但丟失了頭發(fā)區(qū)域等部分細(xì)節(jié)，采用c4算子去噪效果很好，保留了邊緣，頭發(fā)區(qū)域也比較清晰。

圖2 實驗1中各種模型的Lena圖像恢復(fù)效果比較

仿真實驗2中，選取242×308的eight圖像并加10倍的隨機(jī)噪聲。文中模型參數(shù)為：梯度模閾值k=20。從四種模型的圖像恢復(fù)結(jié)果(圖3)中可看出，隨著迭代次數(shù)的增加，采用c1、c2、c3算子去噪效果良好，但會造成邊緣模糊，采用c4算子去噪效果很好，硬幣上的圖案也比較清晰。

表1是各種算法的評價參數(shù)對比結(jié)果。從實驗數(shù)據(jù)可知，文中模型有效克服了階梯效應(yīng)和斑點的出現(xiàn)，且盡可能多地保留邊緣和部分細(xì)節(jié)信息，提高了圖像的質(zhì)量。

表1 各模型的均方差和峰值信噪比

5 結(jié)束語

針對已有的偏微分方程模型的不足，提出了一種基于自適應(yīng)的四階偏微分方程算法。從實驗結(jié)果可以看出，該算法在去除噪聲的同時，能保留邊緣和細(xì)節(jié)，并能有效克服階梯效應(yīng)和斑點的產(chǎn)生，提高了圖像的質(zhì)量。

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