黃美發(fā),唐哲敏,孫永厚,彭治國,鮑家定
(桂林電子科技大學 機電工程學院,廣西 桂林 541004)
零件的尺寸和幾何誤差的評定包括對真實零件的評定[1]和對虛擬零件的評定[2]。前者在產(chǎn)品檢測環(huán)節(jié)用于評定真實零件的幾何特性和合格率,常采用測點模型來表示真實零件[3];后者在產(chǎn)品設(shè)計環(huán)節(jié)用于評定虛擬零件[4-5],預計零件或裝配體的幾何特性和合格率[6]。
尺寸誤差和幾何誤差之間的補償關(guān)系稱為公差原則,包括獨立原則(Regardless of Feature Size, RFS)、包容原則、最大實體要求(Maximum Material Requirement, MMR)、最小實體要求(Least Material Requirement, LMR)和可逆要求(Reciprocity Requirement, RPR)[7],其中MMR是體現(xiàn)零件可裝配性的一種公差原則[8]??焖?、準確地計算和評定零件的尺寸和幾何誤差,具有重要的意義。
當定向誤差或定位誤差(統(tǒng)稱方位誤差)應(yīng)用有MMR時,可以通過通規(guī)或止規(guī)來檢測產(chǎn)品幾何特性的合格性[7]。Requicha等[9](1983)首先提出虛擬量規(guī)的概念,并建立了被測要素有MMR的二維數(shù)學模型,利用提出的模型可以產(chǎn)生虛擬零件并對虛擬零件進行評定,但這種模型沒有考慮零件的形狀誤差[9];蔡敏等[10](1999)將虛擬量規(guī)拓展到三維,建立了方位誤差有MMR和RPR的三維零件數(shù)學模型,但仍然沒有考慮零件的形狀誤差;Pairel[11](2007)進一步分析了方位誤差有MMR的幾種具體虛擬量規(guī)形式,并考慮了零件的形狀誤差。
真實零件的方位誤差的基準不可避免地存在幾何誤差。為了提高前述模型的精度,Pairel[11](2007)研究了基準的優(yōu)先等級,并分析了基準和基準體系的數(shù)學構(gòu)建方法;李春麗[12](2013)進一步分析了基準優(yōu)先順序?qū)φ`差累積極限的影響;Minguez等[13](2014)將虛擬量規(guī)方法應(yīng)用到日益發(fā)展的非接觸式測量方法中。
根據(jù)GB/T 16671-2009[14],ISO 2692-2014[7]和ASME Y14.5-2009[15]的規(guī)定,可以在方位誤差及其基準上同時應(yīng)用MMR(M-M方位誤差),通過相關(guān)聯(lián)的若干個量規(guī)檢驗零件的方位誤差合格性。這樣的誤差規(guī)范能夠在保證可裝配性的前提下進一步擴大可接受的零件幾何誤差,從而降低生產(chǎn)成本,但并未給出M-M方位公差評定的數(shù)學方法,仍處于研究階段。
Giordano M等[16](2007)建立了軸對稱幾何要素的M-M方位誤差的數(shù)學模型和評定方法,并將三維問題作為多個截面上的二維問題來處理;Jiang等[17](2014)用公差映射法(Tolerance Map, T-Map)求解了M-M方位誤差條件下被測圓柱要素的方位變動極限(3個空間平移變動和3個空間旋轉(zhuǎn)變動),將其M-M方位誤差的數(shù)學模型擴展到三維,然而這種方法忽略了形狀誤差,難以應(yīng)用于孔軸類零件以外的特征,而且不能直接用于誤差評定;吳玉光等[18](2014)研究了孔的一種特殊的M-M位置度誤差(第一基準要素是平面,第二基準要素是應(yīng)用MMR的孔),并將其轉(zhuǎn)換成曲柄導桿機構(gòu)和擺桿機構(gòu)的組合,分析了被測要素M-M位置度的方位變動極限和各方位變動之間的動態(tài)約束,建立了該種誤差的數(shù)學模型和評定方法,但是這種轉(zhuǎn)換為特殊機構(gòu)的方法也不易推廣到其他的M-M方位誤差分析中。因此,M-M方位誤差的數(shù)學建模和評定方法仍然是計算機輔助公差設(shè)計及評定領(lǐng)域的熱點和難點。
孔軸類零件廣泛應(yīng)用于機械工業(yè),其M-M同軸度誤差的被測要素和基準要素均為圓柱體,對應(yīng)的綜合量規(guī)是兩個同軸圓柱,因此M-M同軸度誤差是具有代表性的、相對簡單的M-M方位誤差形式,可以作為M-M方位誤差三維建模和評定方法研究的切入口。同時,三維坐標變換是一種通用性較強的零件運動仿真方法,可以用于模擬被測零件在量規(guī)中的調(diào)整運動。
本文研究M-M同軸度誤差的虛擬量規(guī)的建立方法,根據(jù)M-M同軸度誤差的工程語義,分析真實量規(guī)的幾何特性及其在合格性評定中的使用過程,用坐標轉(zhuǎn)換法建立相應(yīng)的虛擬量規(guī)和合格性評定數(shù)學模型,為產(chǎn)品的檢測與設(shè)計提供合格性檢驗的數(shù)學工具,為建立其他M-M方位誤差的數(shù)學模型提供參考。
M-M同軸度誤差對被測圓柱體和基準圓柱體有如下要求[7,14-15]:
(1)被測圓柱體和基準圓柱體的局部尺寸分別介于其各自的最大實體尺寸(Maximum Material Size, MMS)和最小實體尺寸(Least Material Size, LMS)之間。
(2)被測圓柱體和基準圓柱體均不得違反其各自的最大實體實效邊界(Maximum Material Virtual Boundary, MMVB)。
(3)被測圓柱體的MMVB與基準圓柱體的MMVB同軸。
(4)被測圓柱體的MMVS等于MMS加上(軸)或減去(孔)其同軸度公差值。
(5)當基準圓柱體的軸線沒有標注幾何公差要求,或者注有幾何公差但沒有MMR時,基準圓柱體的MMVS為其MMS;當基準圓柱體的軸線注有形狀公差,且有MMR時,基準圓柱體的MMVS由MMS加上(軸)或減去(孔)該形狀公差值。
當要求(1)滿足時,可以用真實的綜合量規(guī)檢驗M-M同軸度[7,14-15]。例如:圖1a所示零件的M-M同軸度可以通過圖1b所示的綜合量規(guī)進行檢驗,方法如下:綜合量規(guī)由A,b兩段量規(guī)孔構(gòu)成,且兩段量規(guī)孔同軸;b段量規(guī)孔的直徑為被測要素b軸的最大實體實效尺寸(MMVS);A段量規(guī)孔的直徑為基準要素A軸的MMVS;綜合量規(guī)必須通過被測真實零件。
該方法涵蓋了要求(2)~(5),但存在以下問題:①量規(guī)成本較高,不適用于中小批量生產(chǎn);②量規(guī)和產(chǎn)品規(guī)格一一對應(yīng),測量柔性小;③不能在設(shè)計階段對虛擬零件進行檢測。為了提高檢測方法的柔性并實現(xiàn)對虛擬零件的檢測,下面將建立與上述方法相對應(yīng)的虛擬量規(guī)及合格性評定數(shù)學模型。
在機械零件的造型階段,會給出零件的名義幾何形狀和尺寸,但是實際加工出來的真實零件不可能完全達到名義幾何形狀和尺寸。目前,可以通過CAD建模、加工仿真[19]、構(gòu)建膚面模型[20]等方法得到接近實際情況的虛擬零件,并用若干連續(xù)函數(shù)或離散點集來表示。本文評定的對象可以是真實零件或虛擬零件,為方便起見,將真實零件和虛擬零件統(tǒng)稱為實際零件。
在對實際零件進行誤差評定前,首先要獲取其測點數(shù)據(jù)。對于真實零件,要獲取其基準圓柱體和被測圓柱體的測點數(shù)據(jù);對于用連續(xù)函數(shù)表示的虛擬零件,要計算出若干個基準圓柱體和被測圓柱體上的點,用來構(gòu)成相應(yīng)的測點數(shù)據(jù);對于用離散點表示的虛擬零件,要提取其中若干個離散點,用來表示相應(yīng)的測點數(shù)據(jù)。測點的分布及可靠性在相關(guān)文獻里有大量討論[21],本文不再贅述。
所獲取的測點數(shù)據(jù)構(gòu)成了虛擬幾何要素,并分別用來表示被測真實零件或虛擬零件的基準幾何要素和被測幾何要素。用虛擬量規(guī)對被測實際零件或虛擬零件進行數(shù)學評定,實際上是對其虛擬幾何要素進行評定。
虛擬量規(guī)是一種理想的幾何概念,不存在實體,可以用數(shù)學的方式體現(xiàn),也可以用可視化的方法來展現(xiàn)。與綜合量規(guī)的理想幾何特性[7,15]相同,M-M同軸度誤差的虛擬量規(guī)由被測圓柱體的最大實體實效邊界MMVBb和基準圓柱體的最大實體實效邊界MMVBA構(gòu)成,并滿足要求(3)~(5),如圖2所示。
用虛擬量規(guī)對虛擬幾何要素進行數(shù)學評定的原理為:先將虛擬量規(guī)固定在局部坐標系中,再將實際被測圓柱體側(cè)面和實際基準圓柱體側(cè)面的幾何要素在局部坐標系中進行調(diào)整(平移和轉(zhuǎn)動);如果實際被測圓柱體側(cè)面和實際基準圓柱體側(cè)面的幾何要素能夠同時被相應(yīng)的MMVB包容(軸)或包容相應(yīng)的MMVB(孔),則被測零件符合給定的M-M同軸度公差,否則零件不合格,如圖2所示。
由要求(3)可知MMVBb和MMVBA是兩個同軸的無限長度的圓柱,其軸線的方位決定了MMVBb和MMVBA的方位。
為便于理解和計算,可以將該軸線置于局部坐標系的一個坐標軸上(本文置于z軸上),即該軸的方向向量nVA在局部坐標系中的坐標nVA,L為(0,0,1),該軸上一個點pVA在局部坐標系中的坐標pVA,L為(0,0,0),如圖4所示。
由要求(4)可知,軸和孔的MMVBb的直徑Dvb分別為
(1)
式中:Dbm為被測圓柱的最小實體尺寸;DbM為被測圓柱的最大實體尺寸;Tcoa為被測圓柱上標注的同軸度公差值。
由要求(5)可知,MMVBA的直徑DvA為
(2)
式中:DAm為基準圓柱的最小實體尺寸;DAM為基準圓柱的最大實體尺寸;TA為基準圓柱上標注的幾何公差值。
基于2.1節(jié)所述的虛擬量規(guī),參考1.2節(jié)所述的M-M同軸度誤差的物理評定方法,按照以下步驟對真實零件或虛擬零件的測點數(shù)據(jù)進行M-M同軸度誤差評定,如圖3所示。
2.2.1 將實際被測零件置于局部坐標系中
如2.1節(jié)所述,將實際被測零件的測量坐標置于虛擬量規(guī)中。為了提高數(shù)值計算的精度,先將基準圓柱體和被測圓柱體的測點向局部坐標系原點移動(包括平移和旋轉(zhuǎn)),使基準圓柱體的測點的算數(shù)平均值為零,如式(3)和圖4a所示。因為只是粗略移動,所以測點的此次移動只需平移。
具體的數(shù)學方法如下:
首先,向局部坐標系原點移動(平動)實際被測零件的測點,如式(3)和圖4a所示。
(3)
式中:pb,m=(xb,m,meas,yb,m,meas,zb,m,meas)T和pb,m,T=(xb,m,T,yb,m,T,zb,m,T)T分別為被測圓柱體上編號為m的點的三維坐標測量值和第一次移動后在局部坐標系中的坐標值,m=1,…,M;pA,n=(xA,n,meas,yA,n,meas,zA,n,meas)T和pA,n,T=(xA,n,T,yA,n,T,zA,n,T)T分別為基準圓柱體上編號為n的點的三維坐標測量值和第一次移動后在局部坐標系中的坐標值,n=1,…,N。
然后,將實際基準圓柱的擬合軸線較精確地移動到局部坐標系z軸(包括平動和旋轉(zhuǎn)),并計算各測點的局部坐標,如圖4a和圖4b所示。因為最終的評定精度由2.2.4節(jié)步驟決定,所以本節(jié)中“實際基準圓柱的擬合軸線”的擬合規(guī)則并不十分嚴格,可以是最小外切原則、最大內(nèi)接原則、最小區(qū)域原則、最小二乘原則等常見的擬合規(guī)則。本文采用最小外切圓柱擬合實際基準軸,即當實際基準圓柱的擬合圓柱的軸線移動到局部坐標系z軸時,實際基準圓柱的測點到局部坐標系z軸的最大距離最小。所述的擬合及移動可以用目標優(yōu)化問題表述如下:
mindA,n,S,dA,n,S=2max|pA,n,S·nVA,L|。
s.t.
pA,n,S=(x2,y2,0)+
(4)
其中:dA,n,S是以局部坐標系原點為圓心的小外切圓的直徑;目標優(yōu)化問題的最優(yōu)值dA,n,S,m=mindA,n,S,是實際基準圓柱的最小外切圓柱的直徑;(x2,y2,0)為實際基準圓柱第二次移動時的平移向量;α2,β2分別為實際基準圓柱第二次移動時繞局部坐標系x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)弧度;x2m,y2m,α2m,β2m為最優(yōu)解;
為旋轉(zhuǎn)矩陣[6],體現(xiàn)了每個測點先繞局部坐標系x軸旋轉(zhuǎn)α2弧度,再繞局部坐標系y軸旋轉(zhuǎn)β2弧度而引起的坐標變動。
該目標優(yōu)化函數(shù)在最優(yōu)解附近沒有明顯的下降方向,因此可以采用集群智能算法(如粒子群算法[22])進行求解。下文的目標優(yōu)化問題具有和本目標優(yōu)化問題相同的特點,也可以用相同的方法進行求解。
完成該步操作后,實際被測零件的測點移動到了下列位置(如圖4b):
(5)
式中:pb,m=(xb,m,yb,m,zb,m)T為被測圓柱體上編號為m的點第二次移動后在局部坐標系中的坐標值;pA,n=(xA,n,yA,n,zA,n)T為基準圓柱體上編號為n的點第二次移動后在局部坐標系中的坐標值;R(α2m,β2m)體現(xiàn)了每個測點先繞局部坐標系x軸旋轉(zhuǎn)α2m弧度,再繞局部坐標系y軸旋轉(zhuǎn)β2m弧度而引起的坐標變動。
2.2.2 檢測實際零件是否滿足要求(1)
根據(jù)要求(1),實際被測圓柱和實際基準圓柱的局部尺寸要各自介于其MMS和LMS之間,即
(6)
式中:db,j為被測圓柱體上編號為j的局部直徑,j=1,2,…,J;dA,l為基準圓柱體上編號為l的局部直徑,l=1,2,…,L。
2.2.3 計算虛擬量規(guī)的關(guān)鍵尺寸
滿足要求(3)~(5)的虛擬量規(guī)的關(guān)鍵尺寸包括MMVBb的直徑Dvb和MMVBA的直徑DvA,其計算方法分別如式(1)和式(2)所示。
2.2.4 計算實際被測圓柱的極限當量直徑
實際被測圓柱體的體作用尺寸指軸(孔)的最小外切(最大內(nèi)接)圓柱的直徑。
實際被測圓柱體的當量直徑指與MMVBA同軸的、實際被測圓柱的外切(軸)或內(nèi)接(孔)圓柱的直徑,如圖4c~圖4d所示。
實際被測圓柱體的極限當量直徑指當MMVBA包容(軸)或包容于(孔)實際基準圓柱體時,通過移動被測零件得到的最大(軸)或最小(孔)當量直徑,如圖4c和圖4d所示。
以圖4c和圖4d所示的階梯軸為例,完成2.2.1節(jié)步驟后,實際基準軸(孔)的最小外切(最大內(nèi)接)擬合基準軸線與局部坐標系z軸重合,實際零件處于如圖4b所示的位置和方向。然后,實際被測軸(孔)移動并靠近(遠離)局部坐標系z軸,以得到更小(大)的當量直徑。在實際被測軸(孔)的移動過程中,牽連實際基準軸(孔)進行移動,如果移動過程中實際基準軸(孔)始終沒有接觸MMVBA,則實際被測軸(孔)的當量直徑最小(大)可以達到其體作用尺寸;如果實際基準軸(孔)接觸到了MMVBA,則實際被測軸(孔)的移動過程會受到限制,使被測軸(孔)的當量直徑達不到其體作用尺寸,在這種情況下,實際零件會在如圖4c(或圖4d)所示的位置和方向取得其極限當量直徑。
上述移動過程及目的用目標優(yōu)化問題表述如下:
C0mindb,AM,coa,db,AM,coa=2maxC0|pm·nVA,L|。
s.t.
dx,dy∈[-τM,τM],dα,dβ∈[-τM/LA,τM/LA];
軸:C0=1;孔:C0=-1;
m=1,2,…,M,n=1,2,…,N。
(7)
式中:|db,AM,coa|為實際被測圓柱的當量直徑;目標優(yōu)化問題的最優(yōu)值db,AM,coa,mM=C0mindb,AM,coa為實際被測圓柱的極限當量直徑;(dx,dy,0)為實際基準圓柱第三次移動時的微小平移向量;dα,dβ分別為實際基準圓柱第三次移動時繞局部坐標系x軸和y軸的微小旋轉(zhuǎn)弧度;sin dα≈dα,sin dβ≈dβ,cos dα≈1,cos dβ≈1;R(dα,dβ)為旋轉(zhuǎn)矩陣[6],體現(xiàn)每個測點先繞局部坐標系x軸旋轉(zhuǎn)dα弧度,再繞局部坐標系y軸旋轉(zhuǎn)dβ弧度而引起的坐標變動。
以實際基準圓柱體在MMVBA中的移動極限為參考,給出實際零件第三次移動時各變量(dx,dy,dα,dβ)的極限值,可以縮小尋優(yōu)范圍、提高運算效率、增加運算穩(wěn)定性。
2.2.5 判斷被測圓柱體是否合格
當實際被測圓柱體的極限當量直徑db,AM,coa,mM不大于(軸)或不小于(孔)MMVBb的直徑Dvb時,實際零件能通過虛擬量規(guī),滿足要求(2)~(5)。如果步驟2中檢驗得到實際零件也滿足要求(1),則被測零件滿足設(shè)計要求的M-M同軸度公差,即
(8)
圖5所示為某閥芯的尺寸與幾何公差的初步規(guī)范(本章的尺寸單位為mm),實際零件在三坐標測量機上的測量數(shù)據(jù)如表1所示,本章用所提方法對實際零件的M-M同軸度進行評定。三坐標測量機為Hexagon Metrology(Qing Dao)生產(chǎn)的GLOBAL CLASSIC SR 07.10.07,測量精度為0.003。
表1 實際零件的測量數(shù)據(jù)
pb,m,measpA,n,measmxb,m,measyb,m,measzb,m,measnxA,n,measyA,n,measzA,n,meas127848816046584069129212321511610363228084418341584066229945819986610122328502720895584065330322717680610128428865220505840654306261145436101355295469221665840685308136113976101416299412101658407363095536644610149730381118392584078730965223836101558309378108445840938307552-4304610163931060427995841059301738-1050561016810306716-720158411510297362-124986101711300141-1240758411811286525-1226661010512297276-1346058411912279399-747761009713291746-141315841181327497348461007814287784-13566584115142791891546461006115283607-1191858411115286996206496100551627799-717858410216300686-1113261343517274428765858884117303238-9429613434182757691176858883518305471-727961343219277491475858883119307049-5158613429202801711776558882820308039-336761342721284484206465888242130960619446134212228819321951588825223096935425613417
續(xù)表1
(1)將實際被測零件置于局部坐標系中
首先,向局部坐標系原點移動實際被測零件的測點,即將數(shù)據(jù)代入式(3),得
(9)
然后,將第一次移動后的實際基準圓柱的最小外切圓柱的軸線移動到局部坐標系z軸,即將pA,n,T代入式(4),用粒子群算法[22]求解目標優(yōu)化問題,解得:目標優(yōu)化問題的最優(yōu)值dA,n,S,m=mindA,n,S=36.586為實際基準圓柱的最小外切圓柱的直徑;最優(yōu)解x2m,y2m,α2m,β2m分別為0.009 1,-0.005 6,0.000 4,0;(x2,y2,0)=(0.009 1,-0.005 6,0)為實際基準圓柱第二次移動時的平移向量;α2=0.000 4,β2=0分別為實際基準圓柱第二次移動時繞局部坐標系x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)弧度。
最后,將pb,m,T,pA,n,T和x2m,y2m,α2m,β2m代入式(5),得到實際被測零件的測點第二次移動后的位置:
(10)
(2)檢測實際零件是否滿足要求1
(11)
經(jīng)過兩次移動后,實際被測圓柱體上的測點到z軸(擬合圓柱軸線)的最大距離的2倍(不小于最大局部尺寸)為34.787,最小距離的2倍(不大于最小局部尺寸)為34.720;實際基準圓柱體上的測點到z軸的最大距離的2倍為36.586、最小距離的2倍為36.523。實際零件滿足要求(1)。
(3)計算虛擬量規(guī)的關(guān)鍵尺寸
將數(shù)據(jù)代入式(1)和式(2),得:
(12)
(4)計算實際被測圓柱的極限當量直徑
將DvA,pb,m,pA,n和LA代入式(7),得:
mindb,AM,coa,db,AM,coa=2max|pm·nVA,L|。
s.t.
dx,dy∈[-τM,τM]=[-0.013 6,0.013 6];
dα,dβ∈[-τM/LA,τM/LA]=[-0.004,0.004];
m=1,2,…,48,n=1,2,…,48。
(13)
用粒子群算法求解上述目標優(yōu)化問題[22],解得實際被測圓柱的極限當量直徑db,AM,coa,mM=mindb,AM,coa=34.787。
(5)判斷被測圓柱體是否合格
db,AM,coa,mM=34.787<34.9=Dvb,滿足式(8),即滿足要求(2)。
綜上所述,實際被測零件同時滿足要求(1)~要求(5),符合其設(shè)計的M-M同軸度公差要求。
如前所述,現(xiàn)有的誤差評定方法難以評定產(chǎn)品的M-M方位誤差。其中,T-Map分析了實際被測圓柱要素相對于實際基準圓柱要素的方位變動,建立了M-M方位誤差的三維數(shù)學模型,并且能應(yīng)用于M-M同軸度誤差建模上[17]。相對于其他現(xiàn)有研究,雖然T-Map法忽略了零件形狀誤差,但較容易應(yīng)用于M-M同軸度誤差的評定。因此,本文用基于T-Map法的誤差評定方法作為所提評定方法的對照,分析所提方法的優(yōu)缺點。
T-Map法將被測要素和基準要素都視為沒有形狀誤差的直圓柱[17]。因此,要將T-Map法應(yīng)用于真實零件的M-M同軸度誤差評定,必須先分別用實際被測要素和基準要素的擬合圓柱體來替代實際被測要素和基準要素。因為M-M同軸度誤差控制的是被測零件的邊界,所以本文使用最小外接圓柱體來擬合實際圓柱體。
T-Map法建立的數(shù)學模型是從設(shè)計和模擬的角度出發(fā),給出了擬合要素之間的約束關(guān)系和虛擬零件的產(chǎn)生方法。然而,因為該數(shù)學模型沒有考慮評定時的要求,所以T-Map法沒有給出判斷“某個現(xiàn)有的虛擬零件或真實零件的擬合要素是否合格”的方法。本文將T-Map法中的多參數(shù)約束問題轉(zhuǎn)化為有約束目標優(yōu)化問題,從而解決判斷“某個現(xiàn)有的虛擬零件或真實零件的擬合要素是否合格”的問題。
綜上所述,本文首先將T-Map法拓展到如圖5所示的M-M同軸度誤差建模;然后分別用實際基準圓柱體和實際被測圓柱體的最小外接圓柱體替代表1所示的真實零件的實際基準圓柱體和實際被測圓柱體;最后用有約束目標優(yōu)化問題來判斷零件的合格性。具體計算過程如下:
(1)將T-Map法應(yīng)用于M-M同軸度誤差建模,可以得到實際基準圓柱體和實際被測圓柱體的最小外接圓柱體間的數(shù)學約束模型如下:
Dvb-db;
(14)
DvA-dA。
(15)
(16)
式中:LA=19和Lb=16分別為基準圓柱體和被測圓柱體的名義長度,LAb=22.5為其各自幾何中心之間的名義距離;dA和db分別為實際擬合基準圓柱體和實際擬合被測圓柱體的直徑;(dxAb,dyAb,0)和(drxAb,dryAb,0)分別為實際擬合被測圓柱體相對于實際擬合基準圓柱體的平移變動和旋轉(zhuǎn)變動,是通過擬合圓柱體計算得到的;(dxA,dyA,0)和(drxA,dryA,0)分別為實際擬合被測圓柱體相對于MMVBb的平移變動和旋轉(zhuǎn)變動,是受約束的變量;(dxb,dyb,0)和(drxb,dryb,0)分別為實際擬合基準圓柱體相對于MMVBA的平移變動和旋轉(zhuǎn)變動,是中間變量,由前述其他變量計算得到。
(2)將表1中的數(shù)據(jù)進行最小外切圓柱擬合后,得到:dA=36.586,db=34.787,(dxAb,dyAb,0)=(-0.0179,-0.0246,0),(drxAb,dryAb,0)=(0.0015,0.0007,0)。
(3)用有約束目標優(yōu)化問題判斷零件的合格性。如前所述,T-Map法只構(gòu)建了M-M方位誤差的數(shù)學模型,并沒有給出判斷一個實際零件的實際參數(shù)是否滿足式(14)的方法。本文將式(14)左邊的最小值作為優(yōu)化目標,式(15)和式(16)作為約束,通過計算并判斷式(14)左邊的最小值是否滿足式(14),來判斷表1所示的真實零件是否滿足T-Map法給出的約束。
將dA,db,dxAb,dyAb,drxAb,dryAb代入式(14)~式(16)得:當(dxA,dyA,0)=(0.001 2,0.002 8,0),(dxA,dyA,0)=(-0.000 7,-0.000 4,0)時,式(14)左邊取最小值0.066,小于式(14)右邊的0.013。
因此,T-Map法評定的結(jié)果是:表1所示的真實零件滿足數(shù)學模型給出的約束(式(14)~式(16)),符合圖5所示的M-M同軸度公差的要求。
本文所提評定方法和基于T-Map法的評定方法對表1所示的真實零件的評定結(jié)果都是“符合圖5所示的M-M同軸度公差要求”。
應(yīng)用T-Map法進行評定,當式(14)左邊取最小值時,被測擬合圓柱體能取得最小當量直徑為0.066+db=0.066+34.787=34.853,比用所提評定方法得到的數(shù)值34.787大0.066,這個差值遠大于測量設(shè)備的精度0.003,是可信的。
因為兩種方法的實際基準圓柱體均未超出其MMVBA,所以所提評定方法比基于T-Map法的評定方法精確。兩種評定方法所得結(jié)果之間的差值(0.066)與圖5中標注的同軸度誤差要求0.1為一個數(shù)量級,是顯著的,這是因為:基于T-Map法的評定方法用最小外切圓柱體包容和替代了實際基準圓柱體,而被包容的有形狀誤差的實際基準圓柱體在其MMVBA中有更大的調(diào)整量,如圖6所示。
對比兩種方法的數(shù)學評定過程,可以觀察到:用提出的基于虛擬量規(guī)的評定方法來評定大型測點集時,其計算量比本文基于T-Map法拓展得到的評定方法的計算量大得多。
本文根據(jù)M-M同軸度誤差的工程語義,分析了綜合量規(guī)的幾何特性及其在誤差評定中的使用過程,提出了M-M同軸度誤差的數(shù)學評定方法。該方法首先,建立了相應(yīng)的虛擬量規(guī)數(shù)學模型;然后,基于虛擬量規(guī),建立了實際的真實零件和虛擬零件的誤差評定數(shù)學模型;最后,通過粒子群算法求解了該數(shù)學模型,并判斷被測零件是否符合M-M同軸度公差要求。
文中以圖5所示的某閥芯為例,評定給出的真實零件,并給出其“符合M-M同軸度誤差要求”的結(jié)論。將傳統(tǒng)的T-Map誤差建模方法應(yīng)用于同一零件的M-M同軸度誤差評定,得到了相同的結(jié)論。然而,通過比較評定出的誤差值可以發(fā)現(xiàn),所提評定方法比基于T-Map法的評定方法更精確。
通過與基于T-Map法的評定方法比較,可以發(fā)現(xiàn)所提方法的運算量較大。因此,對測點進行適當?shù)念A處理,以減少本文提出的評定方法的運算時間,是未來可以進行研究的一個課題。同時,因為所提方法能充分表達實際被測要素的形狀誤差,并且涉及目標優(yōu)化算法,所以其不確定度的產(chǎn)生和傳遞也是一個復雜的問題,很難直接用現(xiàn)有的不確定度分析方法分析其不確定度。因此,本文在實例驗證中通過采用高精度的測量設(shè)備來保證結(jié)果的可靠性。在未來的工作中,將通過多參數(shù)實驗和蒙特卡洛模擬來分析基于虛擬量規(guī)的M-M同軸度誤差評定方法的不確定度。
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