宋瑞蘭，謝 悅，宿曉如，羅冬梅

(佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 土木與建筑工程系，佛山 528000)

0 引言

近20年來，碳納米管因其長徑比大、強度高、韌性好等優(yōu)良性能，成為新型復(fù)合材料材料領(lǐng)域的研究熱點。其中，CNTs金屬基、CNTs聚合物的研究相對較多，也較為成熟，CNTs陶瓷基復(fù)合材料的研究還不多見，主要原因是陶瓷基體的脆性，在陶瓷基體加入CNTs，存在分散性和界面相容性等難以控制的問題，導(dǎo)致CNTs增強相對陶瓷基復(fù)合材料力學(xué)性能的影響無法準(zhǔn)確表征[1]。目前，關(guān)于CNTs增強復(fù)合材料的研究主要以實驗為主，理論研究大多是利用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法，從細(xì)觀力學(xué)角度分析CNTs的特性對復(fù)合材料的強度和模量的影響，很少研究討論碳納米管的應(yīng)力分布特性，所用模型大部分是將碳納米管等效為長徑比較大的實心短纖維。文獻(xiàn)[2-4]以Cox[5]提出的剪滯理論為基礎(chǔ)，研究了短纖維復(fù)合材料中纖維和界面的應(yīng)力分布情況；高慶等[6]對短纖維增強金屬基復(fù)合材料應(yīng)力傳遞的傳統(tǒng)剪滯理論進(jìn)行了修正和改進(jìn)。連建設(shè)等[7]將單壁碳納米管等效為實心柱體短纖維，采用柱形剪切滯后模型分析，得到復(fù)合材料的應(yīng)力場；羅冬梅等[8]利用具有精確周期性邊界條件的均質(zhì)化理論，用雙尺度宏微觀有限元法，分析了非連續(xù)實心碳納米管呈規(guī)則和交錯兩種排列情況下，碳納米管和基體沿管長方向的應(yīng)力分布規(guī)律。文獻(xiàn)[9]利用剪滯理論，對中空增強體增強金屬基復(fù)合材料各相的應(yīng)力進(jìn)行了理論推導(dǎo)。由于碳納米管增強復(fù)合材料的界面應(yīng)力實驗測量比較困難，一般只能給出拔出載荷的近似值，無法測量界面應(yīng)力分布情況和數(shù)值大小，關(guān)于碳納米管應(yīng)力分布的研究，主要采用數(shù)值模擬與理論分析相結(jié)合的方法[10-12]。

本文在現(xiàn)有理論的基礎(chǔ)上，通過材料力學(xué)的等效原理，將空心單壁碳納米管處理為不同彈性模量組成的復(fù)合材料，在彈性力學(xué)基礎(chǔ)上，利用修正的剪滯理論，推導(dǎo)了空心單壁碳納米管增強復(fù)合材料中碳納米管及陶瓷基體沿碳納米管方向的軸向應(yīng)力分布表達(dá)式的應(yīng)力分布規(guī)律，同時通過ANSYS軟件建立空心碳納米管增強復(fù)合材料的有限元模型，分析軸向加載情況下，碳納米管的長徑比、體積分?jǐn)?shù)、以及碳納米管的各向異性等因素對基體和碳納米管軸向應(yīng)力分布的影響，并與理論方法進(jìn)行對比，驗證兩種方法的一致性。

1 有限元模型的建立

首先，假設(shè)碳納米管完全分散在陶瓷基體中，呈規(guī)則或交錯排列且取向一致，只考慮復(fù)合材料的彈性性能，不考慮塑性性能及殘余熱應(yīng)力的影響。

利用ANSYS有限元軟件，采用三維實體結(jié)構(gòu)八節(jié)點SOLID45單元進(jìn)行建模分析。圖1(a)為單根直線型空心碳納米管模型，為推導(dǎo)方便，橫截面取為圓形；碳納米管為多根直線型空心模型如圖1(b)所示，設(shè)橫截面為邊長為t的正方形，計算時取全模型進(jìn)行模擬。陶瓷基體的長度為L，碳納米管的長度為l，外徑為2b，內(nèi)徑為2a。材料參數(shù)：碳納米管的彈性模量Eof=700 GPa，泊松比νf=0.23；陶瓷基體的彈性模量Em=98 GPa，泊松比νm=0.3。

2 有限元法與理論方法的比較

假設(shè)陶瓷基復(fù)合材料的空心碳納米管在基體中均勻呈周期性規(guī)則排列，強界面接觸，即界面與基體材料參數(shù)完全一致，并屬于線彈性范圍。本文選用圖2所示特征體積單元體單胞進(jìn)行分析計算，假設(shè)該單胞與其他單胞之間互相沒有力的作用?；w的外徑為2c，空心碳納米管的外徑為2b，內(nèi)徑為2a。基體的長度為2L，碳納米管的長度為2l。以單胞正中心為原點，在其軸向、徑向和周向設(shè)立三維空間坐標(biāo)軸，分別為z、r及θ軸。長徑比s=l/b，空心碳納米管內(nèi)外徑比h=a/b。

利用空間軸對稱彈性力學(xué)基本方程求解，得到沿不同方向的應(yīng)力表達(dá)式為

(1)

(2)

(3)

(4)

其中

σP為基體與纖維界面上的徑向應(yīng)力。把空心碳納米管模型中的空心部分看成一種彈性模量為0的中間材料，根據(jù)材料力學(xué)等效彈性模量串并聯(lián)公式，得到空心碳納米管的等效彈性模量Ef。設(shè)k=1-h2，Ef=kEof。其中，Eof為碳納米管實際的彈性模量。

2.1 基體單元力平衡分析

利用圖3所示單胞基體的單位體積元模型進(jìn)行應(yīng)力平衡分析，得到基體截面沿軸向的平均應(yīng)力為

(5)

利用單元體軸向受力平衡(如圖3所示)建立平衡方程，并整理得

(6)

聯(lián)立式(1)、式(4)～式(6)，經(jīng)整理得到

(7)

基體正中心位置的軸向應(yīng)力應(yīng)等于整個基體的軸向應(yīng)力，以此為邊界條件，得出

(8)

2.2 增強體代表性單元力學(xué)平衡分析

圖4所示為選取的單胞增強體的單位體積元模型及應(yīng)力分布狀態(tài)，對其進(jìn)行應(yīng)力平衡分析。

考慮基體到增強體的應(yīng)力傳遞，首先在基體與增強體(r=b)界面上，基體與增強體的徑向和周向應(yīng)力也存在平衡關(guān)系

(9)

利用單元體軸向受力平衡(如圖4所示)建立方程：

(10)

聯(lián)立式(2)～式(4)、式(9)、式(10)，經(jīng)整理得

(11)

在彈性條件下，參考文獻(xiàn)[13-14]取增強體的根應(yīng)力σf0=Emεm+Emd(εm-εf)。求解上述微分方程，并使用邊界條件σf(z=l)=σf0，可得

(12)

聯(lián)立式(6)、式(8)、式(11)、式(12)，可得

(13)

(14)

(15)

其中

式(13)、式(14)即為空心碳納米管增強陶瓷基復(fù)合材料中碳納米管與基體的應(yīng)力分布與應(yīng)變變化的關(guān)系式，式(15)是碳納米管和基體界面處的剪應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系式。

2.3 有限元結(jié)果與理論計算結(jié)果比較

以單根空心碳納米管為例，基體與空心碳納米管均為各向同性材料，基體長度為150 nm，直徑為30 nm，納米碳管長度為120 nm，空心碳納米管的壁厚取1 nm，長徑比取20，利用有限元軟件ANSYS在軸向拉伸下計算復(fù)合材料中碳納米管和陶瓷基體的軸向應(yīng)力，并與本文理論方法以及文獻(xiàn)[11]中理論方法計算出的結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果見圖5和圖6。

由圖5和圖6可看出，對陶瓷基體而言，單元體選擇圓形截面和選擇矩形截面情況下，用有限元法計算得到的軸向應(yīng)力完全相同，略高于理論值；但對碳納米管而言，用有限元方法算出的圓形截面的軸向應(yīng)力結(jié)果偏低，矩形截面的偏高，理論值介于兩者之間，整體來說單元體的截面形狀影響不大。由于文獻(xiàn)[11]中的理論分析沒有考慮碳納米管端部正應(yīng)力的影響，導(dǎo)致在碳納米管的端部，陶瓷基體的理論計算結(jié)果變化急劇，與本文推導(dǎo)的結(jié)果以及有限元結(jié)果存在較大差異，本文推導(dǎo)得到的空心碳納米管進(jìn)行修正后，得到的應(yīng)力與有限元結(jié)果有更好的一致性。

3 有限元計算結(jié)果討論

3.1 碳納米管長徑比對基體和碳納米管應(yīng)力分布的影響

首先，考慮單根和多根空心碳納米管排列情況下，碳納米管長徑比的變化對增強體與基體的應(yīng)力分布造成的影響，基體與納米碳管均為各向同性材料，基體長度為150 nm，寬為30 nm，碳納米管長度為120 nm，空心碳納米管的壁厚取1 nm，長徑比通過改變碳納米管的直徑來實現(xiàn)，可分別取10、12、15、20、30?；w沿軸向的應(yīng)力分布如圖7所示，碳納米管沿軸向應(yīng)力分布如圖8所示。

由圖7可見，對于基體材料而言，碳納米管端部基體的應(yīng)力有突變，單根碳納米管情況(圖7(a))沿碳納米管長度方向應(yīng)力為常數(shù)，該常數(shù)會隨長徑比的增大而增大，增大的速度逐漸減弱，多根碳納米管情況下(圖7(b))，由于碳納米管的相互作用，應(yīng)力不再保持常數(shù)，但隨長徑比增大而增大的趨勢不變，主要是因為在碳納米管長度不變時，長徑比越大，直徑越小，碳納米管承擔(dān)的應(yīng)力越小，因此基體承擔(dān)的應(yīng)力越大?？招奶技{米管沿管長方向軸向應(yīng)力隨長徑比增大而減小的趨勢如圖8所示，數(shù)值上碳納米管所承擔(dān)的應(yīng)力為基體的2～3倍。因此，減小趨勢不如基體明顯，但端部的應(yīng)力集中明顯增大，碳納米管的應(yīng)力承擔(dān)作用發(fā)揮顯著。

基體與碳納米管界面處的剪切應(yīng)力沿管長方向的分布如圖9所示，碳納米管中心部位的剪切應(yīng)力基本上為0，不隨長徑比的變化而變化，也不隨碳納米管的分布規(guī)律而變化，但在碳納米管的兩端附近，多根碳納米管情況下的剪切應(yīng)力達(dá)到最大，幾乎是單根情況的2倍，且隨長徑比的增大而減小，表明多根碳納米管承擔(dān)剪切應(yīng)力的能力強于單根碳納米管。

3.2 碳納米管體積分?jǐn)?shù)對基體和碳納米管應(yīng)力分布的影響

本節(jié)通過調(diào)整碳納米管加入量的變化，研究碳納米管體積分?jǐn)?shù)的變化對復(fù)合材料應(yīng)力分布的影響，通過調(diào)整基體的寬度，獲得體積分?jǐn)?shù)分別為 2%、5%、10%、22%的碳納米管為單根的復(fù)合材料分析模型。設(shè)基體長度為150 nm，碳納米管長度為120 nm，空心碳納米管的長徑比取20。

圖10和圖11分別為不同碳納米管體積分?jǐn)?shù)下陶瓷基體和碳納米管軸向應(yīng)力沿軸線方向的應(yīng)力分布。

由圖10可看出，從碳納米管中部到兩端部的范圍內(nèi)，基體的軸向應(yīng)力分布都是平穩(wěn)的。在碳納米管端部，基體軸向應(yīng)力急增，而碳納米管應(yīng)力驟減，充分體現(xiàn)碳納米管在基體中承擔(dān)基體轉(zhuǎn)化應(yīng)力的作用。隨著碳納米管的體積比增大，基體沿碳納米管長度方向的應(yīng)力逐漸減小，碳納米管的應(yīng)力也隨體積比增大而減小，但減小程度不明顯。由此可見，通過調(diào)整碳納米管的體積比來提高碳納米管的承載能力是有限的。

由于應(yīng)力提取困難，目前的實驗主要集中在材料的硬度、斷裂韌性和抗彎強度的測試[15-16]。文獻(xiàn)[15]采用熱壓真空燒結(jié)工藝制備了氮化硅陶瓷復(fù)合材料，研究了碳納米管含量時，碳納米管增強陶瓷復(fù)合材料的力學(xué)性能變化。研究結(jié)果表明，當(dāng)碳納米管含量低于1%時，隨著碳納米管含量的增加，試樣的抗彎強度和斷裂韌性都隨之增大。當(dāng)碳納米管含量較大時，在基體中難以均勻分散，出現(xiàn)大量團(tuán)聚現(xiàn)象，導(dǎo)致試樣的抗彎強度和斷裂韌性急劇下降，降低碳納米管的增強作用。圖10和圖11表明，碳納米管的含量越大，碳納米管的軸向應(yīng)力越小，不利于發(fā)揮碳納米管在復(fù)合材料中的增強作用。比較兩者可知，雖然研究的內(nèi)容和方法均不一樣，但結(jié)論是一致的。

3.3 碳納米管材料性質(zhì)對基體和碳納米管應(yīng)力分布的影響

將碳納米管按照各向同性和各向異性兩種材料情況進(jìn)行分析。仍建立單根和多根空心碳納米管有限元模型，基體視為各向同性材料，基體的彈性模量為Em=98 GPa，泊松比νm=0.3；各向異性納米碳管的彈性常數(shù)分別取為C11=457.6 GPa，C12=C13=8.4 GPa，C22=C33=14.3 GPa，C23=5.5 GPa，C44=C66=27.0 GPa，C55=4.4 GPa，泊松比νf=0.42，碳納米管長徑比取20，其他材料參數(shù)不變。各向的軸向應(yīng)力沿軸向方向的分布如圖12所示。

由圖12可看出，不管是單根碳納米管模型，還是多根碳納米管模型，各向異性情況下，陶瓷基體軸向應(yīng)力都比各向同性情況下的小，而且變化趨勢相反。從整體變化而言，碳納米管軸向應(yīng)力的變化較顯著，且各向同性情況下的值遠(yuǎn)大于各向異性情況下的值?？梢姡技{米管的各向異性大幅度降低碳納米管軸向應(yīng)力，不利于碳納米管發(fā)揮在復(fù)合材料中的增強作用。

4 結(jié)論

(1)有限元計算結(jié)果與利用剪切滯后理論推導(dǎo)出的應(yīng)力計算公式計算出的結(jié)果比較吻合，利用有限元分析應(yīng)力分布結(jié)果是可靠的。

(2)空心碳納米管長徑比比較小時，對空心碳納米管復(fù)合材料各相的軸向應(yīng)力分布有較大影響，但達(dá)到一定值以后，碳納米管直徑的進(jìn)一步減小，對復(fù)合材料各相軸向應(yīng)力的影響程度逐漸減小，碳納米管的幾何尺寸具有一個最佳值。同時，碳納米管之間的相互作用對復(fù)合材料各相的應(yīng)力分布也有一定影響，需要進(jìn)一步研究分析。

(3)在靠近碳納米管端部位置時，基體軸向應(yīng)力明顯增大，空心碳納米管體積分?jǐn)?shù)越大，這種現(xiàn)象越明顯，而碳納米管的軸向應(yīng)力則有所降低?？梢?，過度地增大空心碳納米管的體積分?jǐn)?shù)，不利于基體與碳納米管之間應(yīng)力的傳遞。

(4)各向異性碳納米管增強復(fù)合材料的軸向應(yīng)力明顯低于各向同性碳納米管增強復(fù)合材料情況，碳納米管的各向異性降低了碳納米管的軸向應(yīng)力，不利于發(fā)揮碳納米管在復(fù)合材料中的增強作用。

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