李 鋼，陳自然，田 偉，趙 建，李 云

(1.重慶理工大學(xué) 機(jī)械檢測技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，時(shí)柵傳感及先進(jìn)檢測技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400054；2.五凌電力有限公司， 長沙 410004)

光柵傳感器由于具有容易實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化與數(shù)字化的優(yōu)勢，在自動(dòng)化測量領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，所以提高光柵傳感器的測量精度，無論是在機(jī)械加工還是在國防建設(shè)方面都具有重大意義。而分辨率是評價(jià)光柵傳感器性能的重要指標(biāo)，傳統(tǒng)的光柵傳感器的分辨率取決于光柵柵距刻劃的密集程度。但由于高精密的柵線刻劃能力對制造設(shè)備以及相關(guān)技術(shù)的要求很高，因此無法得到大規(guī)模的普及，并且柵線密度過大會(huì)給光柵傳感器的動(dòng)態(tài)性能帶來影響。因此，國內(nèi)外學(xué)者將研究焦點(diǎn)由柵線的高密度刻劃轉(zhuǎn)移到了對光柵輸出原始信號的輔助細(xì)分[1-5]。由于半導(dǎo)體技術(shù)和信息化產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，嵌入式系統(tǒng)也逐漸運(yùn)用到了光柵細(xì)分領(lǐng)域。文獻(xiàn)[6-8] 提出一種采用高速 DSP 對光柵信號進(jìn)行數(shù)字細(xì)分的方法,并應(yīng)用數(shù)字濾波以提高細(xì)分精度。文獻(xiàn)[9-10]提出一種基于FPGA 的光柵信號細(xì)分及辨向方法,并設(shè)計(jì)了一種基于幅值采樣細(xì)分方法的電路，最終實(shí)現(xiàn)對光柵信號的細(xì)分和辨向。文獻(xiàn)[11]提出了基于智能數(shù)字鎖相技術(shù)的光柵細(xì)分方法，并研究了該方法中光柵跟蹤速度與細(xì)分?jǐn)?shù)的關(guān)系，縮短了鎖相時(shí)間，提高了跟蹤速度。但上述文獻(xiàn)提到的細(xì)分方法最終的細(xì)分效果仍依賴于光柵傳感器輸出原始信號的信號質(zhì)量,特別是對正弦性和正交性有較高的要求。本文提出一種應(yīng)用指數(shù)平滑預(yù)測算法的光柵信號細(xì)分方法，將對空間的測量轉(zhuǎn)化為對時(shí)間的預(yù)測，是一種細(xì)分結(jié)果與光柵輸出信號的正弦性與正交性無關(guān)的方法。

1 光柵信號預(yù)測細(xì)分原理

在物體運(yùn)動(dòng)過程中，空間位置與運(yùn)動(dòng)時(shí)間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，如果物體的運(yùn)動(dòng)軌跡固定，那么對空間位置的測量可以轉(zhuǎn)化為對時(shí)間的測量，對于柵式傳感器，刻劃在傳感器上的柵距類似于位置坐標(biāo)。當(dāng)傳感器運(yùn)動(dòng)時(shí)，每一時(shí)刻都對應(yīng)著一個(gè)“坐標(biāo)”。但“坐標(biāo)”的精度受工藝制造水平的限制，而時(shí)間的精度可以精確到很小。這種將時(shí)空轉(zhuǎn)換的思路運(yùn)用到光柵傳感器的輔助細(xì)分中的方法,能突破光柵傳感器在制造工藝上的局限，實(shí)現(xiàn)光柵的高精度細(xì)分[12-16]。

圖1 光柵預(yù)測細(xì)分模型

圖1所示為光柵預(yù)測細(xì)分模型，光柵單位柵距的大小是固定的ΔS，而經(jīng)過每個(gè)柵距的時(shí)間與光柵運(yùn)動(dòng)速度相關(guān),通過對歷史單位柵距的運(yùn)行時(shí)間Δti,Δti+1，…，Δti+n-1分析并建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測經(jīng)過下一個(gè)柵距的時(shí)間Δti+n，在Δti+n內(nèi)，根據(jù)設(shè)定好的細(xì)分倍數(shù)，嵌入式微處理器即可輸出相對應(yīng)的細(xì)分脈沖，實(shí)現(xiàn)光柵傳感器的預(yù)測軟細(xì)分。

2 光柵細(xì)分算法研究

光柵傳感器在運(yùn)動(dòng)的過程中，因?yàn)閼T性的存在，使得光柵運(yùn)動(dòng)具有一定的穩(wěn)定性，運(yùn)動(dòng)速度不會(huì)發(fā)生驟變，因此，由采樣得到的歷史柵距的通過時(shí)間構(gòu)成的時(shí)間序列比較平滑，光柵通過當(dāng)前柵距的時(shí)間Δt與上一個(gè)柵距的通過時(shí)間具有強(qiáng)的相關(guān)性。指數(shù)平滑法通過給過去的樣本觀測值不一樣的權(quán)重，使距離當(dāng)前預(yù)測樣本時(shí)間越近，獲得的權(quán)值越大[17]。因此,可通過構(gòu)建應(yīng)用指數(shù)平滑法的光柵信號細(xì)分模型來對時(shí)間進(jìn)行預(yù)測，實(shí)現(xiàn)光柵細(xì)分。

2.1 一次指數(shù)平滑法

采樣時(shí)間樣本Δti,Δti+1，…，Δti+n-1,為光柵通過前n個(gè)柵距時(shí)的時(shí)間，根據(jù)一次指數(shù)平滑法有：

(1)

(2)

即對第i+n個(gè)柵距的預(yù)測時(shí)間為ΔTi+n,有

ΔTi+n=αΔti+n-1+(1-α)ΔTi+n-2

(3)

進(jìn)一步展開有

(4)

記β=1-α(0<α<1)，式(4)可化簡為

(5)

2.2 二次指數(shù)平滑法

一次指數(shù)平滑預(yù)測算法具有簡單、運(yùn)算快的優(yōu)勢，但當(dāng)樣本序列的變動(dòng)具有近似直線的趨勢時(shí)，如光柵傳感器做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，使用一次指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測將會(huì)帶來滯后偏差。因此，通常在一次平滑的基礎(chǔ)上再一次進(jìn)行平滑處理，能夠?qū)崿F(xiàn)更精確的預(yù)測。

(6)

則根據(jù)二次指數(shù)平滑法得到預(yù)測結(jié)果為式(7)。

(7)

(8)

式中k為時(shí)間跨度，表示預(yù)測的長遠(yuǎn)程度，預(yù)測越長遠(yuǎn)即k值越大，那么帶來的誤差也就越大。由于光柵傳感器運(yùn)動(dòng)過程中具有連續(xù)性，觀測樣本數(shù)據(jù)可實(shí)時(shí)更新，因此本系統(tǒng)所做預(yù)測均為近期預(yù)測，所以令k=1。最終預(yù)測結(jié)果如式(9)所示。

(9)

2.3 初始值的確定

(10)

2.4 平滑系數(shù)α的確定

利用指數(shù)平滑法進(jìn)行建模預(yù)測時(shí)，平滑系數(shù)反映了數(shù)學(xué)模型對歷史數(shù)據(jù)變化的靈敏程度，因此對平滑系數(shù)α的確定是關(guān)鍵，α的選擇是否合適對最終的預(yù)測效果有較大影響。傳統(tǒng)的確定平滑系數(shù)的方法有經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法、試湊法、0.618選優(yōu)法等。利用經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法獲取平滑系數(shù)簡單迅速，但是最終預(yù)測誤差較大；而0.618選優(yōu)法能夠確定最優(yōu)的α值，使得最終的預(yù)測效果較好,但算法復(fù)雜[20-22]。在本系統(tǒng)中利用預(yù)測算法進(jìn)行光柵軟細(xì)分不僅要考慮預(yù)測效果，而且不可忽略光柵細(xì)分過程中的實(shí)時(shí)性。因此，本系統(tǒng)考慮使用經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法和0.618選優(yōu)法結(jié)合的組合算法來確定最終的平滑系數(shù)。針對光柵傳感器不同的運(yùn)動(dòng)階段得到的觀測樣本序列穩(wěn)定性不同的特點(diǎn)，先利用經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法縮小平滑系數(shù)的取值范圍，然后利用0.618選優(yōu)法搜尋最優(yōu)平滑系數(shù)。

2.4.1 平滑系數(shù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法

光柵在不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，由于外界的干擾或自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的特點(diǎn)，得到的觀測樣本序列穩(wěn)定性不同，而經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法則是根據(jù)觀測樣本序列的穩(wěn)定性來確定最終的平滑系數(shù)。經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法選優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)如下：

1) 當(dāng)樣本序列趨于穩(wěn)定、數(shù)據(jù)變化不大時(shí)平滑系數(shù)應(yīng)取得小一些，一般α取值域?yàn)?0.1，0.4)。此時(shí)模型中的各期權(quán)數(shù)沒有較大差別，使得修正幅度比較小，最終的預(yù)測結(jié)果中有比較多的歷史觀測樣本序列成分。此時(shí)對應(yīng)光柵傳感器運(yùn)動(dòng)過程中的相對高速近似勻速運(yùn)動(dòng)過程(此時(shí)光柵運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定)。

2) 當(dāng)樣本序列波動(dòng)較大時(shí)，平滑系數(shù)取值域?yàn)?0.4，0.6)，對應(yīng)于光柵運(yùn)動(dòng)過程中的加速過程中的穩(wěn)定階段和相對低速近似勻速運(yùn)動(dòng)過程(此時(shí)光柵運(yùn)動(dòng)不太穩(wěn)定)。

3) 當(dāng)樣本序列波動(dòng)很大時(shí)，平滑系數(shù)應(yīng)取大一些，通常取值域?yàn)?0.6，0.8)。較大的平滑系數(shù)能夠使得整個(gè)數(shù)學(xué)模型對歷史變化有大的靈敏度，使得最終預(yù)測值能與觀測樣本數(shù)據(jù)變化同步。此時(shí)，對應(yīng)于光柵運(yùn)動(dòng)過程中數(shù)據(jù)變化非常大的過程，如光柵由勻速運(yùn)動(dòng)到變速運(yùn)動(dòng)的過渡階段(光柵運(yùn)動(dòng)很不穩(wěn)定)。

考慮按照以上標(biāo)準(zhǔn)使用經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法來初步確定光柵在不同運(yùn)動(dòng)階段時(shí)平滑系數(shù)取值范圍，提高細(xì)分過程中的實(shí)時(shí)性。

2.4.2 平滑系數(shù)0.618選優(yōu)法

利用0.618選優(yōu)法確定平滑系數(shù)，首先要確定目標(biāo)函數(shù)，在本系統(tǒng)中考慮使用平均絕對百分比誤差MAPE作為目標(biāo)函數(shù)，如式(11)所示。

(11)

將平滑系數(shù)取值域(0.1,0.4)劃分為3個(gè)子域(0.1,0.2)、(0.2,0.3)、(0.3,0.4)依次對每個(gè)子域(Xi，Yi)執(zhí)行以下步驟：

① 計(jì)算αi=0.618Xi+0.382Yi。

選優(yōu)部分流程如圖2所示。

3 預(yù)測細(xì)分硬件系統(tǒng)設(shè)計(jì)

圖3 光柵預(yù)測細(xì)分硬件系統(tǒng)框圖

圖3為本系統(tǒng)的硬件系統(tǒng)框圖。常見的光柵傳感器輸出信號為兩路相位相差90°的正弦波。圖3中的信號預(yù)處理模塊主要由過零檢測器構(gòu)成，其功能是將兩路正弦波轉(zhuǎn)化為兩路PWM波。圖中Zynq-7000為一款集成了FPGA和ARM內(nèi)核的嵌入式芯片。將FPGA和ARM組合運(yùn)用在本系統(tǒng)中主要實(shí)現(xiàn)以下功能：

① 對PWM波進(jìn)行計(jì)數(shù)并辨向。

② 獲取觀測樣本數(shù)據(jù)并建立基于二次指數(shù)平滑法的數(shù)學(xué)模型，對下一個(gè)柵距的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行預(yù)測。

③ 對誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)修正。由于實(shí)驗(yàn)過程中總存在誤差，為消除誤差累計(jì)，需要對細(xì)分前和細(xì)分后的脈沖進(jìn)行計(jì)數(shù)，然后根據(jù)細(xì)分前后脈沖計(jì)數(shù)的差值修正下一次的細(xì)分脈沖輸出量。

④ 依據(jù)細(xì)分倍數(shù)和細(xì)分誤差，輸出對應(yīng)的細(xì)分脈沖。

4 細(xì)分實(shí)驗(yàn)研究

圖4 光柵細(xì)分實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖4為本系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)平臺，為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性，需要作對比實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。圖4中光柵1和光柵2為兩個(gè)分辨率相同的光柵傳感器(均來自HEIDENHAIN公司)，但利用到的細(xì)分方式不同，光柵2采用的是基于二次指數(shù)平滑算法的軟細(xì)分方式，而光柵1利用HEIDENHAIN公司的IBV660B細(xì)分盒進(jìn)行細(xì)分。為保證光柵1和光柵2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一致，將它們與數(shù)控轉(zhuǎn)臺同軸安裝。由于實(shí)驗(yàn)過程中光柵傳感器微小的速度變化都能影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果，因此實(shí)驗(yàn)平臺考慮利用PMAC可編程的多軸控制器對速度進(jìn)行精確的控制，方便對不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的光柵細(xì)分效果進(jìn)行研究。

圖5為光柵傳感器在PMAC控制器控制下的光柵運(yùn)動(dòng)時(shí)間-位移圖。起始位移為45.07°,終止位移為82.81°,運(yùn)行總時(shí)間為10.937 4 s。圖6為對應(yīng)過程中的速度變化曲線，為了檢驗(yàn)光柵傳感器在不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的細(xì)分效果，令光柵分別運(yùn)動(dòng)在低速勻速狀態(tài)、勻加速狀態(tài)、高速勻速狀態(tài)以及勻減速狀態(tài)，最后回到低速勻速狀態(tài)，分別對應(yīng)于圖6所示的階段1～5。

圖5 光柵運(yùn)動(dòng)時(shí)間-位移曲線

圖7為根據(jù)本算法得到的預(yù)測采樣時(shí)間誤差，對數(shù)據(jù)和圖形進(jìn)行分析可得：

1) 在光柵作相對低速運(yùn)動(dòng)的過程中，如圖7中所示1和5階段，由于此時(shí)PMAC控制系統(tǒng)的振動(dòng)對光柵傳感器干擾較大，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，故此時(shí)的預(yù)測誤差較大，預(yù)測效果能控制在±0.078 ms以內(nèi)。

2) 在光柵作勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖7中2和4階段，這兩個(gè)階段的中間過程由于光柵運(yùn)動(dòng)趨勢相對穩(wěn)定，因此數(shù)據(jù)波動(dòng)不大，而在2和4階段的開始過程和結(jié)束過程中，光柵傳感器處于由勻速運(yùn)動(dòng)到加速運(yùn)動(dòng)或加速運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)的“臨界”階段，故此時(shí)數(shù)據(jù)波動(dòng)很大。因此，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中預(yù)測誤差也最大，預(yù)測效果只能控制在±0.12 ms以內(nèi)。

3) 圖7中階段3的預(yù)測誤差最小。因?yàn)榇藭r(shí)光柵傳感器運(yùn)動(dòng)在相對高速階段，PMAC控制系統(tǒng)帶來的影響較小。此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，數(shù)據(jù)波動(dòng)較小，預(yù)測效果能控制在±0.048 ms以內(nèi)。

圖8為系統(tǒng)細(xì)分誤差圖，對數(shù)據(jù)和圖形進(jìn)行分析可知：

1) 細(xì)分效果最好的階段出現(xiàn)在光柵傳感器作相對高速近似勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，即圖8中3階段，細(xì)分誤差能控制在±0.67″。

2) 當(dāng)PMAC控制系統(tǒng)帶來的干擾較大時(shí),如圖8中1和5階段，細(xì)分誤差只能控制在±0.89″。

3) 細(xì)分效果最差出現(xiàn)在光柵運(yùn)動(dòng)趨勢不穩(wěn)定、數(shù)據(jù)波動(dòng)較大時(shí)，如圖8中2和4階段中的勻速運(yùn)動(dòng)與加速運(yùn)動(dòng)過渡過程中的“臨界”階段，細(xì)分誤差為±1.35″。

圖7 預(yù)測采樣時(shí)間誤差

5 結(jié)束語

本文提出一種基于指數(shù)平滑法的光柵信號細(xì)分新方法，與傳統(tǒng)的細(xì)分方法不同，此方法不依賴于光柵傳感器輸出信號的質(zhì)量，充分利用現(xiàn)有的工藝制造水平，將對空間的測量轉(zhuǎn)換為對時(shí)間的預(yù)測。

結(jié)合光柵傳感器的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),通過對采樣的時(shí)間序列進(jìn)行應(yīng)用二次指數(shù)平滑法的數(shù)學(xué)模型的建立。在預(yù)測過程中給不同的采樣觀測值不同的權(quán)重，從而實(shí)現(xiàn)對下一個(gè)柵距運(yùn)行時(shí)間準(zhǔn)確的預(yù)測。由于二次指數(shù)平滑法的預(yù)測效果受平滑系數(shù)的影響較大，考慮到兼顧光柵傳感器細(xì)分過程中的細(xì)分實(shí)時(shí)性和細(xì)分準(zhǔn)確性，本文充分利用平滑系數(shù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)法以及0.618選優(yōu)法兩種算法的優(yōu)勢，構(gòu)成組合式的平滑系數(shù)優(yōu)選算法，從而確定最優(yōu)的平滑系數(shù)，以實(shí)現(xiàn)又快又準(zhǔn)的預(yù)測細(xì)分。

整個(gè)系統(tǒng)的預(yù)測效果和細(xì)分效果與樣本時(shí)間序列的穩(wěn)定性相關(guān)，當(dāng)外界干擾較大或者光柵傳感運(yùn)動(dòng)趨勢不穩(wěn)定時(shí)，預(yù)測和細(xì)分效果較差。而當(dāng)數(shù)據(jù)波動(dòng)小，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，預(yù)測效果較好。最終對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的研究分析結(jié)果表明：實(shí)驗(yàn)結(jié)果達(dá)到要求，將指數(shù)平滑法運(yùn)用到預(yù)測細(xì)分模型中能對光柵進(jìn)行精密細(xì)分。

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