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        應(yīng)用題,過三關(guān)

        2018-03-13 18:49:52余建國
        新高考·高三數(shù)學(xué) 2017年7期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        余建國

        不懂音樂理論仍可以唱歌,不學(xué)機(jī)械力學(xué)照樣可以獲得熟練的手藝與實驗技能,但是為什么我懂?dāng)?shù)學(xué)卻不會解數(shù)學(xué)應(yīng)用題呢?這是很多面臨高考的同學(xué)在一次又一次??紩r面對應(yīng)用題總是一頭霧水的感嘆.不要急,讀完本文,你就可以變成既懂樂理又會唱歌的歌手了.

        一、起筆要過三道關(guān)

        那么,應(yīng)用題的“樂理”在哪里呢?我們知道,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目的是應(yīng)用,是解決問題.我們已習(xí)慣于解決滿是數(shù)學(xué)術(shù)語和符號的、純粹的數(shù)學(xué)習(xí)題,對那些來自生活實際的原型問題反而陌生了,而從原型到模型有一個識別理解、抽象概括的思維過程,最后從模型到數(shù)學(xué)模型還有一個加工過程——數(shù)學(xué)化.因此,為了順利解答高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題,考生必須過好三關(guān),即心理關(guān)、閱讀關(guān)和建模關(guān).

        “拿下應(yīng)用題你就雙腳踏進(jìn)大學(xué)門了”,老師這話一點不假.應(yīng)用題后面通常是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列兩個壓軸題,對中等生來說得分也不多了,所以老師主要是鼓勵你,想不到我們同學(xué)把這話當(dāng)負(fù)擔(dān)了.這心理關(guān)要過!實事求是地講,正如前面所述,考試中的應(yīng)用題只是將某個數(shù)學(xué)模型還原為原型,即用具有一定實際意義的情境包裝一下(此時,離真正的原型還是有距離的),考生要做的是拆開包裝、露出真容——讀懂題意,引入字母,抽象概括,建立模型.下面和同學(xué)們重點聊聊如何闖過閱讀關(guān)和建模關(guān).

        正因為需要“還原”,通常應(yīng)用題是字?jǐn)?shù)最多的考題,并且出現(xiàn)若干同學(xué)們不太熟悉、難于理解的“專業(yè)”術(shù)語,如下文例題中的“政府補貼”、“市場平衡價格”、“冷軋機(jī)”、“減薄率”等.顯然.應(yīng)用背景與我們的生活聯(lián)系越緊難度就小,反之難度大;閱讀量與難度成正比.所以,過好閱讀關(guān)需要耐心讀題,畫出“專業(yè)”術(shù)語,回憶自己的知識結(jié)構(gòu)中與之相關(guān)的閱歷,將術(shù)語放到整個題目中去理解.一般來說,如果真的出現(xiàn)冷僻的術(shù)語,可能課本中出現(xiàn)過或者生活中見過,例如,“單利”、“復(fù)利”在數(shù)列學(xué)習(xí)中介紹過,又如菜場現(xiàn)場加工面條的機(jī)器就是簡單的“冷軋機(jī)”.通過反復(fù)閱讀,揣摩題意,整體理解,判斷應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型類型,就可以進(jìn)入建模關(guān)了.

        數(shù)學(xué)模型的特點是符號化.符號語言的優(yōu)越性在于表達(dá)概念嚴(yán)謹(jǐn)、簡潔,術(shù)語引入科學(xué)、自然,指意簡明,書寫方便,大大縮短了語言表達(dá)的“長度”,較容易揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性.符號語言有助于運算,便于思考,式子將關(guān)系融于形式之中.教科書上各種數(shù)學(xué)公式的表述均采用符號語言.因此,通常在高考(代數(shù)方面)應(yīng)用題解決過程中,要么自己引入字母符號,也就是“設(shè)……為x,設(shè)……為y,設(shè)……為z,……”,建立這些字母間的等量或不等量關(guān)系,確立它們的允許取值范圍;要么理解題目中所給每一個字母的含義,尋找它們的取值范圍,建立新的等量或不等量關(guān)系.

        二、以例說法話闖關(guān)

        接下來舉例說明——以兩道經(jīng)典的高考應(yīng)用題為例.

        例1 某地為促進(jìn)淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展,將價格控制在適當(dāng)范圍內(nèi),決定對淡水魚養(yǎng)殖提供政府補貼.設(shè)淡水魚的市場價格為x元/kg,政府補貼為t元/kg,根據(jù)市場調(diào)查,當(dāng)8≤x≤14時,淡水魚的市場日供應(yīng)量P kg與市場日需求量Q kg近似地滿足關(guān)系:

        (1)將市場平衡價格表示為政府補貼的函數(shù),并求出函數(shù)的定義域;

        (2)為使市場平衡價格不高于10元/kg,政府補貼至少為每千克多少元?

        【閱讀】經(jīng)濟(jì)常識(政治課上學(xué)過)告訴我們,當(dāng)日供應(yīng)量P>日需求量Q時,商品過剩,價格就會下降;反之,價格就會上升.政府通過價格補貼的方法間接控制日供應(yīng)量P和市場價格.“當(dāng)P=Q時的市場價格稱為市場平衡價格”,等式P=Q中只有兩個字母x和t,這樣我們就找到了x和t的關(guān)系,這個關(guān)系中的x不再是“市場價格”,而是“市場平衡價格”,按照(1)的要求,政府補貼t為自變量,市場平衡價格x是t的函數(shù).

        “為使市場平衡價格不高于10元/kg”,也就是說,不等式“x≤10”成立,求自變量t取值范圍.

        例2 圖1為一臺冷軋機(jī)的示意圖.冷軋機(jī)由若干對冷軋輥組成,帶鋼從一端輸入,經(jīng)過各對軋輥逐步減薄后輸出.

        (1)輸入帶鋼的厚度為α,輸出帶鋼的厚度β,若每對軋輥的減薄率不超過r0.問冷軋機(jī)至少需要安裝多少對軋輥?

        (2)已知一臺冷軋機(jī)共有4對減薄率為20%的軋輥,所有軋輥周長均為1600cm.若第k對軋輥有缺陷,每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點,在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上,疵點的間距為Lk.為便于檢修,請計算L1,L2,L3并填入下表(軋鋼過程中,帶鋼寬度不變,且不考慮損耗).

        【閱讀】題目長,慢慢讀.一遍不行再來一遍.冷軋機(jī)沒見過,但原理還是通俗易懂的,正如菜場現(xiàn)場面條加工,每次面皮寬度不變,只是一次又一次地將面皮壓薄(一下子壓薄到位,面皮會斷,更何況帶鋼).軋鋼廠為了全自動作業(yè),一對軋輥軋(減?。┮淮?,n對軋輥連續(xù)工作,就完成了帶鋼由厚變薄的過程.

        術(shù)語“減薄率”在題目中給出了解釋,其實跟“增長率”意義是一樣的,只不過是大小關(guān)系前后相反.一般來說,專業(yè)術(shù)語“按規(guī)定做”,即題目中怎么定義,我們就這么表達(dá).原厚度為α,軋一次,由于每對軋輥的減薄率不超過r0,即減掉的厚度不超過αr0,剩余厚度不少于α-αr0=α(1-r0).經(jīng)過n對軋輥連續(xù)工作后的厚度應(yīng)不少于α(1-r0n.從而建立不等式.

        第(2)問有點嚇人.某對軋輥有缺陷,每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點,經(jīng)過這對軋輥的帶鋼上就留下一連串的點——相鄰兩點間的距離都是這對軋輥周長.帶鋼再經(jīng)過下一對軋輥的擠壓,由于帶鋼相鄰兩點間的體積不變,且寬度不變,不計損耗,因而兩點間的距離就會變大.抓住體積不變性建立方程求解.我們回憶一下,物理實驗室用的打點計時器是否也是類似的原理呢?打點的時間間隔不變,我們根據(jù)紙帶上相鄰兩點間的距離變大或變小,判斷小車運動速度的快慢.這樣想一想,既增強了解決應(yīng)用題的自信心,又類比出解決問題的原理——抓住不變性.

        三、理解轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵

        上面兩例在高考應(yīng)用題史上非常有名,尤其例2.之所以“有名”,主要是得分率太低,絕大部分同學(xué)被“軋鋼問題”“軋死”了,據(jù)統(tǒng)計平均得分才零點幾.除了消除對應(yīng)用題冗長的敘述、不熟悉的情境、難于理解的術(shù)語等的恐懼外,考場上需要考生靜下心來,第一遍快速讀題,對整個問題了然于心;第二遍字斟句酌,理解每一個術(shù)語的含義,推敲它們之間的關(guān)系,弄清楚已知什么,求解什么;第三遍“問什么設(shè)什么”,引入字母,建立數(shù)學(xué)模型,實現(xiàn)實際問題(原型)向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.endprint

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