劉 穎,陳逸藻,李 琳(.沈陽航空航天大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 036;.遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院，沈陽 0036)

1999年馬如云[1]研究了三點(diǎn)邊值問題

正解的存在性，此后上述結(jié)果被推廣到了更廣泛的邊界條件及更一般的微分方程情形。目前所能見到的推廣結(jié)果多數(shù)是三、四階微分方程[2-14]。這里通過降階法和格林函數(shù)法將微分方程邊值問題轉(zhuǎn)化為微分積分方程邊值問題。通過適當(dāng)選取積分下限克服了不等式證明過程中的困難，利用范數(shù)形式的錐拉伸和錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，將上述邊值問題推廣到了更一般的n階微分方程情形，得到了解的存在性結(jié)果。

1 主要結(jié)論

記

定義:當(dāng)f0=0且f=時(shí)，稱f為超線性函數(shù)；當(dāng)f0=且f=0時(shí)，稱f為次線性函數(shù)。

比如，f(v)=vβ，β為常數(shù)且β>1時(shí)在[0,+)上為超線性函數(shù)；f(v)=vβ，β為常數(shù)且0<β<1時(shí)在[0,+)上為次線性函數(shù)。

下面始終假設(shè)α,η為常數(shù)，且0<η<1,0<αη<1。

定理

(A)f(v)∈c([0,+),[0,+))

(B)a(t)∈c([0,1],[0,+))，且存在使得a(x0)>0

(C)f0=0且f=

(D)f0=且f=0

假設(shè)條件(A),(B)成立，則當(dāng)f(v)滿足(C)或(D)時(shí)，下面邊值問題(1)至少有一個(gè)正解。

(1)

2 問題轉(zhuǎn)換

設(shè)v(n-2)(t)=u(t)，利用常數(shù)變易法及v(0)=v′(0)=…=v(n-3)(0)=0，可將v(t)表

u(τ)dτ[15]，則原邊值問題化為二階微分積分方程邊值問題,如式(2)所示。

(2)

再通過格林函數(shù)法可將上述邊值問題轉(zhuǎn)化為積分方程問題,如式(3)所示。

(3)

3 重要引理

(4)

引理1[1]若u(t)是(4)的解，則對任意的t∈[0,1]，都有u(t)≥0

設(shè)u(t)∈c[0,1]，且u(t)≥0，定義算子A為

(5)

引理3 記

K={u(t)|u(t)∈c[0,1],u(t)≥0,

易證K是一個(gè)錐[2]，另外由算子的定義不難驗(yàn)證

再由引理1和引理2知AK?K,下面證明A是全連續(xù)算子。

所以{Ayn}一致有界。

顯然{Ayn}等度連續(xù)，由Ascoli-Arzela定理知{Ayn}存在收斂子列，即A是緊算子。

設(shè)yn,y0∈K且yn→y0(n→)，則

即A是連續(xù)算子，綜上A是全連續(xù)算子。

4 定理證明

定理1 設(shè)條件(A),(B),(C)成立，則邊值問題(1)至少有一個(gè)正解。

(6)

因此取Ω1={u(t)|u(t)∈c[0,1],‖u(t)‖

即

當(dāng)u(t)∈K∩?Ω1，有‖Au‖≤‖u‖

(7)

又由條件(A),(C)，f=+，即，所以對任意ρ>0，存在使當(dāng)時(shí),有即f(v)>ρv。在這里取ρ滿足

(8)

設(shè)

(9)

所以

(10)

(11)

即

當(dāng)u(t)∈K∩?Ω2時(shí)，‖Au‖≥‖u‖

(12)

定理2 設(shè)條件(A),(B),(D)成立，則邊值問題(1)至少有一個(gè)正解。

證明：由條件(A),(D)，f0=+，即，由無窮大定義，對任意ω>0，存在H3>0,使0ωv。在這里取ω滿足

取Ω3={u(t)|u(t)∈c[0,1],‖u(t)‖

即當(dāng)u(t)∈K∩?Ω3，有‖Au‖≥‖u‖

由條件(D)，f=0，即由極限定義對任意λ>0，存在使時(shí),有<λ，即f(v)<λv。在這里取λ滿足

(13)

以下分兩種情況討論：

情形1：f(v)有界，即存在N>0使得對所有v∈[0,+)，有f(v)≤N，選取

并取

Ω4={u(t)|u(t)∈c[0,1],‖u(t)‖

則當(dāng)u(t)∈K∩?Ω4時(shí)，有u(t)≥0，且‖u(t)‖=H4

即

當(dāng)u(t)∈K∩?Ω4時(shí)，‖Au‖≤‖u‖

則由(13)式

即

當(dāng)u(t)∈K∩?Ω4時(shí)，‖Au‖≤‖u‖

綜上，定理得證。

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