王 昊，馬啟明

(杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所，浙江 杭州 310023)

0 引言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)可以廣泛地應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、無(wú)線通信等眾多領(lǐng)域。在理想條件下，即陣元協(xié)方差矩陣精確已知，導(dǎo)引向量(SV，Steering Vector)準(zhǔn)確無(wú)誤差的情況下，是輸出信干噪比(SINR，Signal-to-Interference-Plus-Noise Ratio)最大準(zhǔn)則下最優(yōu)的空域?yàn)V波器。然而，在實(shí)際應(yīng)用環(huán)境中，陣列快拍數(shù)往往有限，利用有限快拍得到的采樣協(xié)方差矩陣與理論值存在誤差，另一方面，波束指向角度失配會(huì)導(dǎo)致導(dǎo)引向量誤差，特別是大角度失配情況下，自適應(yīng)波束形成器性能?chē)?yán)重下降[1]。

現(xiàn)有的基于標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器[2](SCB，Standard Capon Beamformer)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法，以Cox提出白噪聲增益約束法[3]最為著名，然而，不同工作環(huán)境下最優(yōu)對(duì)角加載量的選取是一個(gè)十分困難的問(wèn)題。穩(wěn)健Capon波束形成器[4](RCB，Robust Capon Beamformer)是目前較為流行的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法，但是，它無(wú)法解決訓(xùn)練數(shù)據(jù)包含期望信號(hào)的問(wèn)題，依然存在信號(hào)“自消”的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)在波束指向角失配較大時(shí)，算法性能?chē)?yán)重下降[5-6]。文獻(xiàn)[7]算法可以提高自適應(yīng)波束形成器在角度失配條件下穩(wěn)健性。然而，在信噪比較高時(shí)，會(huì)出現(xiàn)信號(hào)“自消”現(xiàn)象。文獻(xiàn)[8]基于干擾噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)，提出了一種區(qū)別于對(duì)角加載類(lèi)算法的新思路，但是，在大角度失配時(shí)，導(dǎo)引向量估計(jì)不準(zhǔn)確，由此會(huì)造成輸出信噪比的損失[9]。另外現(xiàn)有的許多穩(wěn)健自適應(yīng)算法[10-11]，需要求解半定規(guī)劃、二階錐規(guī)劃，都用到解最優(yōu)化問(wèn)題的工具箱[12]，這就給算法的實(shí)用性帶來(lái)了不便。

綜上可知，在大角度失配和采樣協(xié)方差矩陣中包含有期望信號(hào)時(shí)，傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成器的性能將極劇下降。此時(shí)，如何提高自適應(yīng)波束形成器的穩(wěn)健性是一個(gè)亟需研究的問(wèn)題。本文針對(duì)此問(wèn)題，提出了基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法。

1 陣列信號(hào)模型

考慮基陣模型，陣元個(gè)數(shù)為M，假設(shè)有Q個(gè)窄帶信源同時(shí)入射到陣列，信源之間相互獨(dú)立，則陣元接收信號(hào)的第k個(gè)快拍為：

x(k)=xs(k)+xj(k)+n(k)

(1)

其中，xs(k)表示期望信號(hào)成分，xj(k)表示Q-1個(gè)干擾成分，n(k)為與信源相互獨(dú)立的空時(shí)高斯白噪聲。

(2)

R=Rs+Rj+n

(3)

建立最優(yōu)化準(zhǔn)則

(4)

可以得到最大化輸出信干噪比準(zhǔn)則下的最優(yōu)權(quán)值w。上式可等價(jià)為：

(5)

此式即標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器，由此可得最優(yōu)權(quán)值為

(6)

利用求解出的最優(yōu)權(quán)值可以得到標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器的輸出功率為：

(7)

(8)

2 基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法

2.1 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)

當(dāng)期望信號(hào)包含于陣列數(shù)據(jù)中時(shí)，利用采樣協(xié)方差矩陣代替干擾噪聲協(xié)方差矩陣，常常會(huì)出現(xiàn)信號(hào)“自消”現(xiàn)象，導(dǎo)致自適應(yīng)波束形成器性能的急劇下降，為此這里提出一種干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)方法。

(9)

(10)

(11)

其中，Nn表示對(duì)感興趣區(qū)域的劃分點(diǎn)數(shù)，可以根據(jù)空間區(qū)域的大小范圍以及基陣波束寬度或粗或細(xì)的進(jìn)行劃分。

(12)

2.2 期望信號(hào)導(dǎo)引向量估計(jì)

將采樣協(xié)方差矩陣寫(xiě)成子空間形式

(13)

MUSIC算法是利用噪聲子空間與導(dǎo)引向量的正交性構(gòu)造空間譜，理想情況下，其空間譜是一個(gè)狄拉克δ函數(shù)(定義為在目標(biāo)方位呈現(xiàn)出峰值，而在非目標(biāo)方向上均為0)。由此利用MUSIC譜估計(jì)法重構(gòu)信號(hào)協(xié)方差矩陣

(14)

(15)

即可得到估計(jì)的期望信號(hào)導(dǎo)引向量

(16)

在求取最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量時(shí)，可以利用乘冪法[15]等迭代算法降低運(yùn)算量。

(17)

3 仿真與性能分析

仿真一：考察算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化?？炫臄?shù)固定為K=50，每種SNR條件下進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)平均SINR。

由上圖可以看出SCB受期望信號(hào)導(dǎo)引向量估計(jì)誤差以及期望信號(hào)的影響，性能?chē)?yán)重偏離理論最優(yōu)值，這種性能惡化隨著輸入信噪比的增加不斷增大。RCB和文獻(xiàn)[7]算法相較SCB，性能均有所改善，然而由于利用包含期望信號(hào)的采樣協(xié)方差求取最優(yōu)權(quán)值，隨著信噪比的增大，性能惡化，在低信噪比情況下，文獻(xiàn)[7]算法由于導(dǎo)引向量估計(jì)偏差，性能甚至劣于SCB，文獻(xiàn)[8]算法由于利用重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣求取最優(yōu)權(quán)值，避免了信號(hào)“自消”現(xiàn)象的發(fā)生，但是由于期望信號(hào)角度失配較大，求解最優(yōu)化得到的導(dǎo)引向量不準(zhǔn)確，性能偏離了理論最優(yōu)。相較前述幾種方法，本文所提算法的SINR最高，與理論最優(yōu)誤差最小。然而可以看出，在極低信噪比(SNR<-10 dB)情況下，本文方法亦偏離了理論最優(yōu)，這是由于低信噪比條件下，子空間劃分不準(zhǔn)確導(dǎo)致的導(dǎo)引向量估計(jì)偏差引起的，后續(xù)將針對(duì)此開(kāi)展相關(guān)工作。

仿真二：考察算法的輸出信干噪比隨快拍數(shù)的變化。假設(shè)期望信號(hào)的信噪比為5 dB，快拍數(shù)在K=[10∶4∶100]之間變化，同樣地，每種快拍數(shù)下進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)平均SINR，觀察幾種算法的輸出SINR隨快拍數(shù)變化的曲線。

由上圖可知，由于大角度失配，SCB隨快拍數(shù)的增加，性能急劇惡化，RCB和文獻(xiàn)[7]算法相較SCB有所改善；SINR隨快拍數(shù)的增加而增加，然而由于期望信號(hào)的影響，SINR與理論最優(yōu)始終有較大差距；文獻(xiàn)[8]算法，受快拍數(shù)影響較小，相較前述幾種方法收斂速度快，SINR高于前述方法，然而由于大角度失配導(dǎo)致的期望信號(hào)導(dǎo)引向量估計(jì)不準(zhǔn)確，SINR依然偏離理論最優(yōu)；本文所提算法由于采用了重構(gòu)協(xié)方差矩陣，避免了由于快拍數(shù)有限，波束形成器性能下降的問(wèn)題，同時(shí)，本文所提算法由于采用了子空間理論，在采樣協(xié)方差矩陣不滿(mǎn)秩時(shí)，即可得到噪聲子空間的估計(jì)，進(jìn)而得到期望導(dǎo)引向量的估計(jì)值；而文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]需要在快拍數(shù)N≥M的條件下才能得到期望導(dǎo)引向量的估計(jì)，故而本文算法需要的快拍數(shù)更小，收斂速度更快，在相同快拍數(shù)情況下，SINR最高，性能最好。

仿真三：考察不同算法的波束圖。假設(shè)期望信號(hào)的信噪比為5 dB，快拍數(shù)K=50，畫(huà)出不同算法的歸一化波束圖。

由上圖可以看出，RCB算法和文獻(xiàn)[8]算法由于大角度失配，主瓣指向方向偏差，在期望信號(hào)真實(shí)入射方向附近產(chǎn)生了零陷；文獻(xiàn)[7]算法的主瓣雖然指向了真實(shí)入射方向，但是由于快拍數(shù)有限，因而具有很高的旁瓣；本文方法由于采取了干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)以及期望信號(hào)導(dǎo)引向量估計(jì)，故而糾正了主瓣指向，避免了期望信號(hào)方向出現(xiàn)零陷，同時(shí)沒(méi)有抬高旁瓣級(jí)。

仿真四：考察不同角度失配條件下算法的性能。假設(shè)期望信號(hào)的信噪比為5 dB，快拍數(shù)為K=50，期望信號(hào)以及兩個(gè)干擾的角度失配在[-6∶1∶6]之間變化，每種失配角度下進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)平均SINR，觀察幾種算法的輸出SINR隨角度失配變化的曲線。

可以看出SCB與文獻(xiàn)[7]以及RCB受采樣協(xié)方差矩陣當(dāng)中期望信號(hào)成分的影響，輸出SINR均不同程度的偏離理論最優(yōu)值；文獻(xiàn)[8]優(yōu)于前述方法，但是在大角度失配條件下，求解最優(yōu)化得到的導(dǎo)引向量不準(zhǔn)確，導(dǎo)致性能偏離理論最優(yōu)；本文方法性能優(yōu)于其他幾種算法，在不同角度失配條件下，性能均接近理論最優(yōu)值。

4 結(jié)論

本文提出了基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健自適應(yīng)算法，該算法將全空域劃分成若干互不重疊的區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)干擾區(qū)域和期望信號(hào)區(qū)域，先利用標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器及采樣協(xié)方差矩陣的最小特征值對(duì)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行重構(gòu)，再利用MUSIC譜估計(jì)法重構(gòu)出信號(hào)協(xié)方差矩陣，以其主特征向量估計(jì)出期望信號(hào)導(dǎo)引向量，最終得到自適應(yīng)波束形成器的最優(yōu)權(quán)值。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，算法能夠避免訓(xùn)練數(shù)據(jù)包含有期望信號(hào)和導(dǎo)引向量角度失配引起的自適應(yīng)波束形成器性能下降的問(wèn)題，在大角度失配和少快拍數(shù)的情況下具有良好的性能。

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