魯 歡，馮西安

(西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，陜西 西安 710072)

0 引言

穩(wěn)健波束形成是陣列信號處理中的重要方向，在聲吶、雷達(dá)、導(dǎo)航、通信、麥克風(fēng)陣列語音處理以及地震勘測等科技領(lǐng)域中得到了極為廣泛的應(yīng)用。穩(wěn)健波束形成的典型方法是Capon波束形成[1]，它是建立在對期望信號導(dǎo)向矢量與干擾協(xié)方差矩陣準(zhǔn)確已知的條件下。但實(shí)際應(yīng)用中，存在兩個(gè)重要的問題需要解決：一個(gè)是采樣快拍中含有較強(qiáng)期望信號成分使得利用采樣協(xié)方差矩陣波束形成器的性能在高信噪比情況下會急劇下降[2-4]。另一個(gè)是由于觀測方向誤差、幅相不一致、位置偏差等因素導(dǎo)致的期望信號導(dǎo)向矢量失配。為了使波束形成在強(qiáng)期望信號時(shí)具有較好的性能，已提出了許多穩(wěn)健性方法。文獻(xiàn)[5]將Capon空間譜估計(jì)在去除期望信號來波方向后的空域進(jìn)行積分，得到重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣；但是其對角度失配誤差仍然較為敏感，致使主波束無法對準(zhǔn)期望信號，從而削弱了輸出期望信號功率。文獻(xiàn)[6]通過估計(jì)期望信號功率來重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，雖然具有良好的抗強(qiáng)期望信號背景的能力，但隨著信噪比的變化，該方法在干擾信號方向不再置零，甚至變成了非自適應(yīng)的方法。另外，為了改善方法對于導(dǎo)向矢量誤差的敏感性，文獻(xiàn)[7]采用了對角加載波束形成(Diagonal Loading Beamforming，DL)，但如何確定最優(yōu)加載量仍是一個(gè)難題。文獻(xiàn)[8]采用了基于特征子空間(Eigen-Subspace Beamforming，ESB)的穩(wěn)健波束形成，對導(dǎo)向矢量誤差具有良好的魯棒性，但其接收信號中必須包含較強(qiáng)期望信號且需要子空間維數(shù)的先驗(yàn)信息或估計(jì)。文獻(xiàn)[9-11]將估計(jì)導(dǎo)向矢量的問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)凸優(yōu)化問題來對導(dǎo)向矢量進(jìn)行矯正，但此方法運(yùn)算量大且不穩(wěn)定，工程實(shí)現(xiàn)難。本文針對上述問題，提出了聯(lián)合協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導(dǎo)向矢量校正的穩(wěn)健波束形成方法。

1 問題描述

假設(shè)有Q+1個(gè)相互獨(dú)立窄帶信號入射到M元均勻線列陣，其中M>Q+1，入射信號與噪聲相互獨(dú)立，其中期望信號的導(dǎo)向矢量為a(θ0)，干擾信號的導(dǎo)向矢量為a(θj),j=1,2,…,Q，那么陣列接收信號可表示為：

x(t)=As(t)+υ(t)

(1)

Capon波束形成基于以下最優(yōu)問題：

(2)

其解為：

(3)

式中，Ri+n是干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。

(4)

實(shí)際中存在的多種誤差使得估計(jì)導(dǎo)向矢量與真實(shí)導(dǎo)向矢量往往是不一致的，即存在失配量。信號估計(jì)導(dǎo)向矢量可以表示為：

(5)

(6)

可以看出，一方面當(dāng)期望信號的功率很強(qiáng)的話，波束形成器會抑制期望信號。另一方面當(dāng)估計(jì)的方位與實(shí)際來波方向有偏差時(shí)，波束形成器的主波束不能準(zhǔn)確地指向期望信號方向。綜合考慮這兩個(gè)關(guān)鍵問題，本文提出一種聯(lián)合協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導(dǎo)向矢量校正的方法來解決這些問題。

2 聯(lián)合協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導(dǎo)向矢量校正的穩(wěn)健波束形成

2.1 噪聲加干擾的協(xié)方差矩陣重構(gòu)

構(gòu)造如下的不確定性集合：

(7)

由Capon空間譜估計(jì)可知，波束形成器輸出平均功率為：

(8)

考慮到干擾的實(shí)際導(dǎo)向矢量必須位于高維曲面環(huán)Sa(θ∈Φint)中，重建干擾協(xié)方差矩陣為：

(9)

(10)

式中，?Sa(θ∈Φint)代表Sa(θ∈Φint)高維曲面環(huán)的表面。這個(gè)積分通過收集更多的高維表面積分的潛在信息來解決這個(gè)問題。

然而，求解式(10)中的積分是很困難的?？梢詫⑸鲜鍪?10)近似為：

(11)

(12)

對于θi∈Φint，式(12)是面積分，它近似為

(13)

式中，L是?Sa(θi)中的采樣點(diǎn)數(shù)。ail∈?Sa(θi)表示位于三維曲面環(huán)域上的導(dǎo)向矢量。

(14)

最后得到重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣為

(15)

(16)

此方法利用重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，排除了期望信號分量對波束形成性能的影響。接下來，將進(jìn)一步采用導(dǎo)向矢量校正來提高波束形成的性能。

2.2 導(dǎo)向矢量校正

由于期望信號的可能來波方向上的導(dǎo)向矢量可構(gòu)成一個(gè)線性空間，那么對期望信號導(dǎo)向矢量的校正可表示為這一線性空間的基向量的線性組合?；诳臻g投影(SP，Space Projection)的Capon波束形成方法[12]就是利用這一方法對期望信號導(dǎo)向矢量進(jìn)行校正，有效地提高期望信號導(dǎo)向矢量失配情況下波束形成的穩(wěn)健性。

(17)

通過均勻劃分空域區(qū)間Θ，再依次求和的方法，可得到正定矩陣Q表示為：

(18)

(19)

(20)

將式(19)代入式(20)得

(21)

(22)

(23)

(24)

由式(24)可知，最優(yōu)權(quán)矢量既排除了期望信號分量對波束形成的影響，同時(shí)又重新估計(jì)了期望信號的導(dǎo)向矢量，降低了波束形成對導(dǎo)向矢量失配誤差的敏感性，使得穩(wěn)健性有了更大的提升。

2.3 方法流程

3)計(jì)算得到重構(gòu)的干擾加噪聲矩陣為

3 仿真結(jié)果

在仿真中，采用半波長間隔無指向性陣元數(shù)為M=10的均勻線陣列。期望信號為高斯隨機(jī)信號，噪聲為高斯白噪聲。期望信號的實(shí)際方位角θ0=0°，干擾信號的實(shí)際方位角為θ1=-40°和θ2=60°。所有結(jié)果都是1 000次蒙特卡羅模擬的平均值。

最優(yōu)波束形成是基于最大輸出SINR準(zhǔn)則得到的波束形成，是衡量波束形成方法性能的重要指標(biāo)。將本文提出的方法與下述方法進(jìn)行對比：標(biāo)準(zhǔn)Capon方法[1]、對角加載方法[7]、基于特征子空間投影方法[8]、矩陣重構(gòu)方法[11]、導(dǎo)向矢量校正方法[12]。

實(shí)驗(yàn)1：不同信噪比下的波束圖

從圖2(a)可以看出，當(dāng)期望信號功率較小時(shí)，導(dǎo)向矢量校正和提出的方法經(jīng)過導(dǎo)向矢量的校正，波束圖形狀都較為理想，能準(zhǔn)確地指向期望信號來波方向，并在干擾信號的來波方向上形成零陷，具有優(yōu)秀的抗干擾能力。對角加載方法和矩陣重構(gòu)方法通過改進(jìn)，在一定程度上校正了導(dǎo)向矢量；特征子空間投影方法通過投影的思想在一定程度上也校正了導(dǎo)向矢量，其主波束能較準(zhǔn)確地指向期望信號的來波方向，并且在干擾處生成零陷；Capon波束形成由于失配誤差的存在，主波束有些偏移，但在干擾處仍能生成較深的零陷。

從圖2(b)可以看出，當(dāng)期望信號比較大時(shí)，提出的方法對導(dǎo)向矢量進(jìn)行了校正，又重構(gòu)了協(xié)方差矩陣，所以這種方法對失配誤差不敏感，具有理想的主波束指向性和干擾抑制能力。Capon方法已無法準(zhǔn)確對準(zhǔn)期望信號的來波方向，甚至在期望方向形成了零陷；對角加載方法的波束指向性雖然優(yōu)于Capon方法，但是由于期望信號的增強(qiáng)，使得其在干擾信號方向的抑制能力減弱，喪失了抗干擾能力；特征子空間投影方法仍然具有較好的波束指向性，但由于信噪比太高，使得抑制干擾的能力減弱；矩陣重構(gòu)方法基本不受輸入信噪比的影響，同圖2(a)中的基本相同；導(dǎo)向矢量校正方法雖然具有較好的指向性，但對干擾的抑制能力降低。因此提出的方法不僅存在導(dǎo)向矢量失配，而且在強(qiáng)期望信號背景下都有很理想的輸出。

實(shí)驗(yàn)2：不同SNR下的輸出SINR

從圖3可以看出，矩陣重構(gòu)和提出的方法由于使用了重構(gòu)協(xié)方差矩陣將期望信號的影響給排除了，所以輸出SINR十分接近最佳SINR，但由于提出的方法還對導(dǎo)向矢量進(jìn)行了校正，所以其輸出性能略優(yōu)于矩陣重構(gòu)方法。Capon方法在較小的SNR值時(shí)的輸出SINR已經(jīng)開始下降。對角加載方法因?yàn)槠浼虞d電平的存在，所以性能較優(yōu)于Capon方法。特征子空間投影方法提高了其輸出SINR及穩(wěn)健性，但是隨著SNR的增加，方法輸出SINR逐漸趨于平穩(wěn)。導(dǎo)向矢量校正的輸出SINR隨SNR的增加而增加，但因?yàn)橹恍Ｕ藢?dǎo)向矢量，沒有排除期望信號的影響，所以隨SNR的增大，方法輸出SINR逐漸趨于平穩(wěn)。

實(shí)驗(yàn)3：少快拍數(shù)下的輸出SINR

從圖4可以看出，本文提出的方法輸出SINR是最接近最優(yōu)的SINR的，并且除矩陣重構(gòu)方法外其輸出SINR的收斂速度是最快的。盡管矩陣重構(gòu)方法輸出SINR的收斂速度與本文所提方法相同，但是其輸出SINR總是低于本文所提方法的輸出SINR。特征子空間投影方法與導(dǎo)向矢量校正方法的輸出SINR的收斂趨勢比較接近，只是前者的輸出SINR要高于后者。而Capon方法的性能是最差的。綜上可知，本文所提的方法不僅輸出SINR的收斂速度優(yōu)于其他方法，同時(shí)輸出SINR也是最接近最優(yōu)的SINR的，其性能最佳。

實(shí)驗(yàn)4：不同失配角度下的輸出SINR

將快拍數(shù)固定為1 000次，輸入SIR=0 dB，SNR=20 dB。圖5為期望信號來波方向的角度失配量從-5°到5°時(shí)，不同方法的輸出SINR。

從圖5可以看出，當(dāng)期望信號來波方向失配量極大時(shí)，本文所提的方法依然與最優(yōu)的輸出SINR接近。而矩陣重構(gòu)方法只在失配量較小的時(shí)候接近最優(yōu)的輸出SINR。 特征子空間投影方法的輸出SINR隨失配量絕對值的增大而減小。導(dǎo)向矢量校正方法的SINR盡管不隨期望信號來波方向角度失配量的變化而變化，但是其輸出SINR與最優(yōu)的SINR有一定距離。Capon和對角加載方法對期望信號來波方向角度失配最敏感，從圖5可以看出極小的失配也會造成輸出SINR的極大下降，但由于對角加載的加權(quán)因子影響，使它略優(yōu)于Capon方法。綜上可知，本文所提方法性能優(yōu)于其他幾種方法。

4 結(jié)論

本文提出了聯(lián)合協(xié)方差矩陣重構(gòu)與導(dǎo)向矢量校正的穩(wěn)健波束形成方法。該方法利用空間功率譜積分重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，排除了采樣協(xié)方差矩陣中的強(qiáng)期望信號分量，通過空間投影方式校正導(dǎo)向矢量，用校正導(dǎo)向矢量和重構(gòu)矩陣計(jì)算最優(yōu)加權(quán)矢量，進(jìn)而進(jìn)行波束形成。仿真實(shí)驗(yàn)表明，相較于重構(gòu)協(xié)方差矩陣，校正導(dǎo)向矢量等方法，該方法在強(qiáng)期望信號和期望信號導(dǎo)向矢量失配同時(shí)存在時(shí)具有更好穩(wěn)健性，在不同信噪比、不同快拍數(shù)、不同失配角度時(shí)，輸出信干噪比性能接近最優(yōu)波束形成。

[1]Capon J. High resolution frequency wavenumber spectrum analysis [J]. Proceedings of the IEEE, 1969, 57(8): 1408-1418.

[2]VAN TREES H L. Optimum array processing [M].New York: Wiley, 2002:710-887.

[3]WAX M，ANU Y.Performance analysis of the minimum variance bcamformer [J].IEEE transactions on signal processing, 1996, 44(4):928-937.

[4]Gu Y, Goodman N A, Hong S, et al. Robust adaptive beamforming based on interference covariance matrix sparse reconstruction[J]. Signal Process, 2014, 96: 375-381.

[5]Gu Y J, Leshem A. Robust adaptive beamforming based on interference covariance matrix reconstruction and steering vector estimation [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(7): 3881-3885.

[6]Mu P C, Li D, Yin Q, et al. Robust MVDR beamforming based on covariance matrix reconstruction[J]. Science China (Information Sciences), 2013, 56(4):1-12.

[7]Beck A, Eldar Y C. Doubly constrained robust Capon beamformer with ellipsoidal uncertainty sets [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(2): 753-758.

[8]Feldman D D,Griffiths L J. A projection approach to robust adaptive bamforming [J]. IEEE Trans on Signal Processing, 1994, 42(4):867-876.

[9]Hassanien A, Vorobyov S A, Wong K M. Robust adaptive beamforming using sequential quadratic processing programming: An iterative solution to the mismatch problem [J]. IEEE Signal Letters, 2008, 15: 733-736.

[10]KHAYYAGIYASMFNJ A，VOROYOV S A，HASSANIEN A.Robust adaptive beamforming based on steering vector estimation with as little as possible prior information[J].IEEE transactions on signal processing, 2012，60(6):2971-2987.

[11]Huang L, Zhang J, Xu X, et al. Robust adaptive beamforming with a novel interference plus noise covariance matrix reconstruction method [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2015, 63(7): 1643-1650.

[12]Zhang W, Wang J, Wu S L. Robust Capon beamforming against large DOA mismatch [J]. Elsevier Signal Processing, 2013, 93 (4): 804-810.