張 潔，劉衛(wèi)東，湯偉江，高立娥

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué) 水下信息與控制重點實驗室，西安 710072；3.中國船舶重工集團公司 第705研究所，西安 710077)

0 引言

導(dǎo)線布放運動狀態(tài)的研究是放線系統(tǒng)的主要內(nèi)容，其可以分為兩個階段：導(dǎo)線在放線裝置中的布放運動和導(dǎo)線在海水中的布出運動。本文所研究的為導(dǎo)線在放線裝置中的布放運動。該內(nèi)容國內(nèi)目前尚無人研究。

導(dǎo)線在放線裝置中的布放形式分為外放線和內(nèi)放線形式。相對于外放線而言，內(nèi)放線對所用導(dǎo)線的強度要求不高。內(nèi)放線使用的線團是通過將導(dǎo)線一圈一圈地纏繞在繞線芯軸上，然后抽出繞線芯軸制作而成[1]。放線時，海水從放線裝置的注水口進入線團中空的內(nèi)腔，不僅可以支撐線團而且可以使導(dǎo)線在海水的作用下從線團的內(nèi)層逐層放出，最終導(dǎo)線布放的終止點和導(dǎo)線纏繞的起始點相同[1-2]。研究放線裝置中導(dǎo)線的受力狀況，建立放線裝置中導(dǎo)線布放動力模型，這對于考慮導(dǎo)線布放過程中的影響因素至關(guān)重要。

1 導(dǎo)線布放動力學(xué)模型

圖1 導(dǎo)線布放柱坐標

1.1 導(dǎo)線動能分析

(1)

其中:Pn為放線裝置中導(dǎo)線脫離線團的位置；P0為放線裝置出口位置；ρ為導(dǎo)線的密度，即單位長度導(dǎo)線質(zhì)量；A為導(dǎo)線的橫截面積。

1.2 導(dǎo)線勢能分析

放線裝置出口對導(dǎo)線施加的初始拉力T0在布放過程中由P0和Pn之間的導(dǎo)線共同承擔。不同位置處導(dǎo)線微元所承擔的拉力不同，其大小由該處導(dǎo)線微元離z的距離，即導(dǎo)線微元在該處的彎曲半徑?jīng)Q定。假設(shè)導(dǎo)線微元P到z軸的距離為rp，則P處導(dǎo)線微元所承受放線裝置出口位置拉力大小為：

其中：T0為放線裝置出口施加的初始拉力；m為導(dǎo)線微元P和放線裝置出口之間導(dǎo)線的質(zhì)量；w為導(dǎo)線相對于繞線芯軸轉(zhuǎn)速大小。

(2)

其中：T為放線裝置中不同位置處導(dǎo)線微元所受放線裝置出口的拉力。

1.3 流體力分析

放線裝置中導(dǎo)線在海水環(huán)境下進行布放，因此流體力扮演著重要角色。導(dǎo)線所受流體力不僅與自身的材料特性，周圍海水的密度有關(guān)，同時也與導(dǎo)線的布放速度密切相關(guān)。放線裝置中導(dǎo)線受到的流體力[3-4]為：

(3)

1.4 動力學(xué)模型

導(dǎo)線在放線裝置中不斷脫離線團，通過放線通道布入海水，所以放線裝置中導(dǎo)線的質(zhì)量不斷發(fā)生變化，即該放線系統(tǒng)為變質(zhì)量系統(tǒng)。為了建立導(dǎo)線在放線裝置中的動力學(xué)模型，引入McIver提出的改進的變質(zhì)量系統(tǒng)Hamilton原理[5]:

(4)

其中：δK為系統(tǒng)動能的變分形式；δE為系統(tǒng)勢能的變分形式；δW1為放線裝置中導(dǎo)線在流體力作用下的虛功；δW2為放線裝置中動量的變化，δW1和δW2的計算公式分別為：

(5)

將式(1)～(3)、(5)代入式(4)，可以得到放線裝置中導(dǎo)線的連續(xù)型動力學(xué)模型:

(6)

1.5 離散型模型

(7)

(8)

其中：α=0.25，β=0.5。

將式(8)代入式(9)可以得到放線裝置中導(dǎo)線離散型動力學(xué)模型為：

(9)

則根據(jù)放線裝置中導(dǎo)線動力學(xué)方程(9)可以由前一時刻導(dǎo)線的狀態(tài)求得后一時刻導(dǎo)線的狀態(tài)。

3 改進的二分法

將一維非線性方程的傳統(tǒng)解法——二分法進行改進，使其在高維非線性方程組中可用。在使用改進的二分法求解非線性方程組時只需要知道包含方程組符號相反的根的區(qū)間即可，在該區(qū)間內(nèi)通過中點優(yōu)化法來逐漸逼近方程組的根。

首先對求解一維非線性方程的二分法進行一個簡單的陳述。二分法也稱對稱法，是求解一維非線性方程根的一種最基本的數(shù)值解法，它的思想十分簡單，即如果方程在某一個區(qū)間內(nèi)的符號發(fā)生變化，則該區(qū)間一定包含方程的根?；诖怂枷肟梢杂^察非線性方程在區(qū)間兩端的符號，如果兩端符號相反，就用區(qū)間中點代替與中點具有相同符號的端點值[7]。每經(jīng)過如上所述的一次優(yōu)化，包含方程根的區(qū)間長度就減小一半，優(yōu)化n次后包含方程跟的區(qū)間大小將會是原有區(qū)間的(1/2)n，所以只要n足夠大，即優(yōu)化的次數(shù)足夠多，就可以將長度為(1/2)n的區(qū)間中點作為方程的近似根。

以上所述的二分法僅針對一維非線性方程根的求解，并不適用于高維非線性方程組。這里通過將傳統(tǒng)二分法以嵌套的形式進行擴展，使其可以用于高維非線性方程組。為了便于理解，以一個三維非線性方程組為例來對改進的二分法進行說明。設(shè)一個三維非線性方程組：

(11)

其方程組根中3個元素所在的區(qū)間(該區(qū)間也可以通過簡單的尋優(yōu)來獲得)分別為x∈(a,b)，y∈(c,d)，z∈(e,f)，在區(qū)間(a,b)中，f1(a,y,z)*f1(b,y,z)<0；在區(qū)間(c,d)中，f2(x,c,z)*f2(x,d,z)<0；在區(qū)間(e,f)中，f3(x,y,e)*f3(x,y,f)<0；并且取(x0,y0,z0)作為方程組的初值，其中x0∈(a,b)，y0∈(c,d)，z0∈(e,f)。對于該非線性三維方程組可以通過三層嵌套來求解，其求解可以總結(jié)步驟如下：

1)第一層嵌套，取x為自變量，y0，z0為已知參數(shù)，對f1(x,y0,z0)=0運用傳統(tǒng)二分法，得到x相對f1(x,y0,z0)=0的一個近似解x*；

2)第二層嵌套，取y為自變量，x*，z0為已知參數(shù)，對f2(x*,y,z0)=0運用傳統(tǒng)二分法，得到y(tǒng)相對于f2(x*,y,z0)=0的一個近似解y*；

3)第三層嵌套，取z為自變量，x*，y*為已知參數(shù)，對f3(x*,y*,z)=0運用傳統(tǒng)二分法，得到z相對于f3(x*,y*,z)=0的一個近似解z*；

4)令x0=x*，y0=y*，z0=z*，重復(fù)步驟1)，2)，3)，直到非線性方程組F(x)=0滿足給定的精度。

將以上所述述的改進二分法運用于本文的導(dǎo)線布放動力學(xué)方程求解的程序流程如圖2所示。

圖2 程序流程圖

4 仿真分析

依據(jù)上述模型，在沿z軸負方向布放速度V大小不同的情況下對放線裝置中導(dǎo)線的運動狀態(tài)進行仿真分析。導(dǎo)線布放時，海水從放線裝置的注水口進入線團內(nèi)腔，對中空線團起到一個支撐的作用同時也使導(dǎo)線的布放運動受到流體力的影響，流體力的大小由海水密度、導(dǎo)線材料特性等決定，這里取海水密度為1024kg/m3，海水的流體力系數(shù)1.2；所選用的導(dǎo)線直徑為0.44mm，導(dǎo)線的密度即單位長度導(dǎo)線質(zhì)量為0.205e-3kg/m；線團半徑，即線團內(nèi)壁到z軸的距離為0.123m，本文僅研究放線裝置中導(dǎo)線退繞一圈時導(dǎo)線的運動狀態(tài)，所以導(dǎo)線脫離線團的點Pn和放線裝置出口P0位置之間的垂直距離恒定不變，為0.05m；同時線團半徑即線團內(nèi)壁和z軸之間的距離也恒定不變，為0.123m。

在放線裝置出口位置對導(dǎo)線施加6N的拉力，在該拉力情況下，當沿著z軸負方向的布放速度V=6 m/s時，導(dǎo)線的布放狀態(tài)如圖2和 圖3所示；當沿著z軸負方向的布放速度為V=12m/s時，導(dǎo)線的布放狀態(tài)如圖4和 圖5所示。

圖3 V=12 m/s時導(dǎo)線彎曲半徑和垂直位移的關(guān)系圖

圖4 V=12 m/s時導(dǎo)線的極坐標圖

圖5 V=12 m/s時導(dǎo)線彎曲半徑和垂直位移的關(guān)系圖

圖6 V=12 m/s時導(dǎo)線的極坐標圖

仿真圖3和圖5的每一根曲線分別描述了該時刻中放線裝置中導(dǎo)線布放運動時不同位置導(dǎo)線微元的彎曲半徑(導(dǎo)線微元和r軸之間的距離)和垂直位移(導(dǎo)線微元和放線裝置出口P0之間的垂直距離)的關(guān)系，可以看出沿z軸負方向布放速度恒定時，隨著導(dǎo)線的布放，相同垂直位移所對應(yīng)導(dǎo)線微元的彎曲半徑逐漸增大，因為線團是錐形的，所以導(dǎo)線微元的彎曲半徑可能會超過線團半徑(線團內(nèi)壁和z軸之間的垂直距離)。但是比較圖3和圖5可以發(fā)現(xiàn)沿z軸負方向的布放速度增大時，導(dǎo)線完成一圈布放時導(dǎo)線微元能達到的最大彎曲半徑減小。結(jié)合圖4和圖6的極坐標圖，也就是說當沿z軸負方向的布放速度增大時，放線裝置中導(dǎo)線長度變化減小。這是由于在相同初始拉力下，導(dǎo)線脫離線團的速度相等，但是沿z軸速度增大時，布出放線裝置的速度也相對增大。

5 總結(jié)

分析放線裝置中導(dǎo)線布放運動的動能、勢能以及流體力，基于改進的變質(zhì)量系Hamilton原理建立連續(xù)型導(dǎo)線布放動力學(xué)模型；采用有限差分法和隱式Newmark積分法對連續(xù)型動力學(xué)模型進行離散化，得到離散型動力學(xué)方程；通過改進的二分法對離散型動力學(xué)方程進行數(shù)值求解，并用MATLAB軟件進行仿真，仿真結(jié)果表明放線裝置中導(dǎo)線完成一圈的布放運動時，隨著時間的增長，導(dǎo)線的彎曲半徑逐漸增大，在這個過程中放線裝置中導(dǎo)線的長度和質(zhì)量在不斷變化，但是當沿z軸負方向的布放速度增大時，放線裝置中完成一圈布放時導(dǎo)線長度和質(zhì)量的變化相對較小。

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