李 拓，邢小軍

(1.中國飛行試驗研究院，西安 710089; 2.西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院， 西安 710029)

0 引言

復(fù)雜薄壁零件一般由幾個平面和曲面構(gòu)成，壁厚小于4 mm局部為0.5 mm，要求精度高，鑄造成形難度大[1]。但它的用途卻十分廣泛，在國民經(jīng)濟以及軍事領(lǐng)域具有十分重要的意義和應(yīng)用價值。在電子、汽車行業(yè)尤其是航空航天以及兵器領(lǐng)域中越來越重要，因此研究一套鑄造設(shè)備成為一個急需解決的問題。傳統(tǒng)的零件鑄造方法主要是手工鉚接、手動控制，無法滿足復(fù)雜的壓力鑄造工藝曲線，鑄造的零件精度和性能比較差，達不到技術(shù)指標(biāo)。

本文設(shè)計的TY-3壓力鑄造計算機控制系統(tǒng)，通過計算機控制壓力按照理想壓力曲線進行整個零件鑄造過程，控制精度高，與理想壓力曲線比較接近，鑄造的零件能達到技術(shù)指標(biāo)。壓力鑄造主要包括：低壓鑄造，調(diào)壓鑄造，真空吸鑄。低壓鑄造是使液體金屬在壓力作用下充填型腔，以形成鑄件的一種方法；調(diào)壓鑄造是指先進行抽真空使上下腔壓力達到鑄造所需的條件，然后向上下壓腔中通入壓縮氣體，利用上下腔壓差使金屬液通過升液管進入型腔，最后凝固形成零件的過程[2]；真空吸鑄是一種在型腔內(nèi)造成真空，把金屬由下而上地吸入型腔，進行凝固成形的鑄造方法。

本文針對壓力鑄造系統(tǒng)模型進行控制方法研究，采用PID、DMC、PID+DMC控制算法進行仿真，對結(jié)果進行比較進而驗證三種算法的控制效果，并對系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的模型失配問題進行分析，驗證算法的魯棒性。

1 壓力鑄造系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

TY-3壓力鑄造計算機控制系統(tǒng)主要由計算機控制系統(tǒng)和壓力鑄造氣路系統(tǒng)兩大部分(壓力罐和真空泵均歸入到氣路系統(tǒng))組成。其中壓力鑄造氣路系統(tǒng)主要是壓力罐、真空泵、電磁閥、調(diào)節(jié)閥、上下壓腔的連接，計算機控制系統(tǒng)是上下位機與硬件結(jié)構(gòu)的連接。工作原理為：根據(jù)設(shè)定的上、下壓腔鑄造理論工藝曲線，由計算機控制系統(tǒng)輸出的電氣信號驅(qū)動氣路系統(tǒng)中相應(yīng)的電磁閥和調(diào)節(jié)閥工作，通過電磁閥的開關(guān)動作控制氣路系統(tǒng)中壓縮空氣的通斷，通過調(diào)節(jié)閥開度的變化調(diào)節(jié)進入上、下壓力腔中壓縮空氣的流量，最終使上、下腔中的壓縮空氣的壓力跟隨設(shè)定的理想曲線進行變化。

鑄造過程中上位機與下位機同時采集6路壓力信號以及8路報警信號，來確保鑄造過程的可靠性和安全性。同時上位機還要采集22路溫度傳感器測得的上下腔各個點處的溫度來保證系統(tǒng)正常工作；其中4路比例氣動調(diào)節(jié)閥形成推挽式控制器控制上下腔壓力，13路電磁閥控制氣路結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中各個點處的開關(guān)狀態(tài)，完成整個鑄造工藝流程。

壓力鑄造系統(tǒng)模型主要包括上壓腔模型和下壓腔模型，由于上壓腔模型與下壓腔模型比較類似，本文以上壓腔模型為例進行研究。圖1為壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔數(shù)學(xué)模型。

圖1 上壓腔模型

其中:P01是上壓腔的期望壓力，P1是上壓腔的實際輸出壓力，K01是上壓腔壓力與電壓的比例系數(shù)，Q1是上壓腔氣體的流量。

壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔模型主要由比例調(diào)節(jié)閥、上壓腔、壓力傳感器組成。在TY-3壓力鑄造計算機控制系統(tǒng)中，鑄造設(shè)備的執(zhí)行機構(gòu)采用一個氣動薄膜調(diào)節(jié)閥與一個比例閥組裝成了一個比例氣動調(diào)節(jié)閥，它的主要作用是：通過控制器調(diào)節(jié)輸出電壓改變比例調(diào)節(jié)閥的開度，比例調(diào)節(jié)閥開度的改變引起壓縮氣體流量的改變，比例調(diào)節(jié)閥模型是純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)；上壓腔主要用于放置鑄件型腔，壓力鑄造過程中通過上下壓腔產(chǎn)生壓差將金屬液以高速填充入型腔并凝固，從而形成零件，壓力鑄造系統(tǒng)的上壓腔模型是一個積分環(huán)節(jié)；壓力傳感器選用的是測量范圍為-0.10～0.10 MPa，相應(yīng)的電壓范圍為1～5 V。

利用理論分析法和測試法對壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔進行建模，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(1)

2 壓力鑄造系統(tǒng)控制器設(shè)計

在不加控制器的情況下，對壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔模型進行仿真，可以看出上壓腔振蕩比較大，穩(wěn)態(tài)值為1，最大超調(diào)量為0.7，調(diào)節(jié)時間為9.2 s。

上壓腔系統(tǒng)的動態(tài)性能比較差，不能達到要求，為了提高壓力鑄造系統(tǒng)的動態(tài)性能，下面分別用PID、DMC、PID+DMC算法進行比較來討論這三種控制算法對壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔動態(tài)性能的影響。

2.1 PID控制

用Simulink的PID Controller模塊中的PID Tuner對PID參數(shù)進行調(diào)節(jié)，得到控制參數(shù)P、I、D、N分別為0.1118、0.0011、0.1174、2.0145。壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔模型通過PID控制修正后，可以看出相對修正之前動態(tài)性能有一定的改善，仿真結(jié)果表明超調(diào)量為10%，調(diào)節(jié)時間為4.5 s，超調(diào)量有一定的改善，調(diào)節(jié)時間相對縮短，仍不能滿足指標(biāo)要求。

2.2 DMC控制

DMC是一種基于系統(tǒng)模型階躍響應(yīng)的預(yù)測控制算法，主要用于漸近穩(wěn)定的線性系統(tǒng)[3]。

DMC算法包含以下三個部分：

1) 預(yù)測模型：對于動態(tài)矩陣控制來說，首先應(yīng)該測得被控對象的階躍響應(yīng)曲線的采樣值ai=a(iT)，i=1,2，…，其中T是采樣周期時間[3]。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，階躍響應(yīng)曲線在經(jīng)過時間tN=NT后將趨向于穩(wěn)定，用采樣值構(gòu)成的模型向量a=[a1，a2，…aN]T，N為建模時域。針對壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔數(shù)學(xué)模型，取T為0.2 s，N為50，NT=10 s后系統(tǒng)接近穩(wěn)態(tài)值，實時仿真可得模型向量a=[ 0.03 0.2，…1 1.02]。

在優(yōu)化性能指標(biāo)中加入軟約束條件。則k時刻的優(yōu)化性能指標(biāo)：

(2)

其中：qi為跟蹤誤差;rj為控制量變化的抑制。

(3)

可以得到最優(yōu)值△u(k)，…，△u(k+M-1)。實際的控制輸入u(k)=u(k-1)+△u(k)，下一時刻求△u(k+1)，這就是滾動優(yōu)化策略[3]。

(4)

其中：

dT=cT(ATQA+R)-1ATQ=[d1…dP]

(5)

誤差權(quán)陣：Q=diag(q1,…,qP)

控制權(quán)陣：R=diag(r1,…,rM)

dT為控制向量，cT=[1 0 … 0]M。如果控制策略P、M、Q、R確定，dT可以由式(3)離線一次算出，通過式(2)可以求出控制律△u(k)[4]。

壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔控制設(shè)計時，取P為20，M為6，Q中的元素qi=1,i=1...20,R中的元素ri=0,i=1...6。以最優(yōu)序列的首元素ΔuM1作為下一步控制輸入增量，則下一步控制量為uM=ΔuM1+uM。動態(tài)矩陣A為：

(6)

誤差信息主要是對模型中的不確定性因素進行補充，但對產(chǎn)生的誤差缺少因果聯(lián)系，只能用時間序列方法進行描述?？梢杂眉訖?quán)e(k+1)的方法來修正未來的輸出預(yù)測值：

(7)

因為時間基點的變動，k+1時刻預(yù)測的未來時間點將移到k+2、k+3、…、k+N+1，k+1時刻的初始預(yù)測值通過校正后的預(yù)測向量移位后才能得到。

(8)

(9)

壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔模型控制設(shè)計時校正向量h1=1,hi=0.001,i=2,...,50，h=[1 0.001 ... 0.001]T。

動態(tài)矩陣控制算法是對于每個采樣時刻，未來P個時刻的初始預(yù)測輸出yP0(k)與期望輸出ωP(k)得到的誤差向量與控制向量dT點乘得到控制增量△u(k)。一方面控制增量通過數(shù)字積分運算得到控制輸入u(k)作用于對象，另一方面與模型向量相乘得到預(yù)測輸出yN1(k)。將實際輸出y(k+1)與預(yù)測輸出y1(k+1|k)比較得到誤差e(k+1)，求出校正后的預(yù)測輸出ycor(k+1)，移位后得到y(tǒng)N0(k+1)。z-1表示時間基點后退一步，整個控制過程就是這樣在線反復(fù)進行。

4)DMC仿真結(jié)果分析:針對壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔數(shù)學(xué)模型，根據(jù)DMC參數(shù)設(shè)計原則可知，取T=0.2 s，N=50，可以滿足ai≈as(i>N)。優(yōu)化時域P至少使a(t)經(jīng)歷一個振蕩周期，包含主要的動態(tài)特性，取P=20。由于對象為S形振蕩曲線，所以取M為6滿足壓力鑄造系統(tǒng)動態(tài)性能?？闪頡=0，Q=I，通過仿真結(jié)果表明，超調(diào)量為4%，調(diào)節(jié)時間為2.2 s，DMC算法的控制效果相對PID算法比較好。

2.3 PID+DMC控制

PID+DMC是指PID控制與被控對象串級連接，DMC控制對PID控制的結(jié)果再次進行控制的方法。首先保持PID控制參數(shù)不變，然后用DMC算法進一步控制。根據(jù)DMC參數(shù)設(shè)計原則可知，取T=0.1 s，N=40，P=30。經(jīng)過PID修正后的曲線是簡單的S型曲線，所以取M為2滿足壓力鑄造系統(tǒng)動態(tài)性能?？闪頡=0，Q=I，通過仿真結(jié)果表明，超調(diào)量為1%，調(diào)節(jié)時間為1.9 s，對于PID和DMC算法來說，PID+DMC算法的控制效果比較理想。

3 仿真結(jié)果及魯棒性分析

3.1 三種控制算法仿真結(jié)果

對于壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔模型，通過以上三種控制算法進行matlab仿真，結(jié)果如圖2所示。

圖2 PID、DMC、PID+DMC輸出響應(yīng)比較

三種控制算法動態(tài)性能如表1所示。

表1 三種控制算法動態(tài)性能

通過對三種控制算法進行仿真，由上表得PID+DMC算法的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差明顯小于其它兩種控制算法，控制效果最優(yōu)[5]。在壓力鑄造系統(tǒng)中，理論輸入壓力曲線和實際采集壓力曲線比較接近，壓力誤差在容限范圍內(nèi)，滿足鑄造工藝要求。

3.2 三種控制算法魯棒性分析

由于系統(tǒng)辨識過程中可能參數(shù)不準(zhǔn)確，或者模型參數(shù)發(fā)生時變，或因模型中存在非線性因素的原因，壓力鑄造系統(tǒng)的理論模型與實際系統(tǒng)可能在模型的幅值、阻尼、頻率方面存在不匹配情況，為了更好地應(yīng)用于壓力鑄造系統(tǒng)，下面研究PID、DMC、PID+DMC算法對模型失配問題的魯棒性[6]。

由于純滯后環(huán)節(jié)對輸入輸出的數(shù)值沒有影響，只是時間上有一定的滯后。因此，在壓力鑄造模型控制算法魯棒性分析時，僅對壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔數(shù)學(xué)模型的線性傳遞函數(shù)進行分析，不考慮純滯后環(huán)節(jié)。壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

Φ11(s)=

(10)

其閉環(huán)單位階躍響應(yīng)為：

a1(t)=

1-e-0.32872tcos(2.78852t)-0.11788e-0.32872tsin(2.78852t)

(11)

改寫為下式：

a11(t)=1-A1e-D1tcos(ω1t)-A2e-D2tsin(ω2t)

(12)

壓力鑄造系統(tǒng)在建模時可能在幅值、阻尼、頻率方面有一定偏差，導(dǎo)致模型失配。為了使控制算法更好地應(yīng)用于壓力鑄造系統(tǒng)中，下面分析幅值、阻尼和頻率偏差在一定范圍內(nèi)三種控制算法的魯棒性問題。

表2是模型在幅值、阻尼、頻率失配的情況。

表2 模型失配

其中：*表示取標(biāo)準(zhǔn)值。

PID、DMC、PID+DMC算法魯棒性的仿真如圖3所示。

圖3 PID、DMC、PID+DMC算法魯棒性

從圖3(a)可以看出，當(dāng)出現(xiàn)模型頻率失配(a)這種情況時，頻率失配比較小，壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔仍能保持穩(wěn)定，與最佳狀態(tài)相差不大。DMC控制效果變差，PID和PID+DMC與失配前相差不大，PID+DMC算法的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間都小于另外兩種算法，控制效果最好，具有一定的魯棒性。

從圖3(b)可以看出，當(dāng)出現(xiàn)模型頻率失配(b)這種情況時，頻率失配相對比較大，壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔仍能保持穩(wěn)定，與最佳狀態(tài)相差比較大。三種控制算法和失配前相比變差，對比發(fā)現(xiàn)PID+DMC算法的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間最小，魯棒性比較好。

從圖3(c)可以看出，當(dāng)出現(xiàn)模型阻尼失配(c)這種情況時，阻尼失配相對比較大，但三種控制算法和失配前相比變化比較小，三種控制算法都有一定的魯棒性。

從圖3(d)可以看出，當(dāng)出現(xiàn)模型阻尼失配(d)這種情況時，阻尼失配比較小，三種算法和失配前相比控制效果基本沒有變化，三種控制算法都有一定的魯棒性。

從圖3(e)可以看出，當(dāng)出現(xiàn)模型幅值失配(e)這種情況時，幅值失配比較小，三種控制算法和失配前相比都有一定的變化。PID+DMC和PID調(diào)節(jié)時間較長，DMC超調(diào)量較大，三種算法仍能保持壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔穩(wěn)定工作。

從圖3(f)可以看出，當(dāng)出現(xiàn)模型幅值失配(f)這種情況時，幅值失配比較小，三種控制算法和失配前相比控制效果變化比較小，PID+DMC和DMC控制效果比較好，都有一定的魯棒性。

綜上所述，三種控制算法對壓力鑄造系統(tǒng)模型阻尼失配時，控制效果和失配前相比基本不變，魯棒性較好；對頻率失配較大時，三種控制算法控制效果變差，相對來說PID+DMC魯棒性較好，仍能保持壓力鑄造系統(tǒng)穩(wěn)定工作；當(dāng)幅值失配時，三種算法控制效果變化比較小，都有一定的魯棒性。綜合考慮PID、DMC、PID+DMC控制算法對壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔模型的失配問題，可以得出PID+DMC算法對模型失配的魯棒性比較好。

從對壓力鑄造系統(tǒng)上壓腔模型的動態(tài)性能和魯棒性總體考慮，可以得出PID+DMC算法具有明顯的優(yōu)勢。

4 結(jié)論

本文針對TY-3壓力鑄造計算機控制系統(tǒng)進行建模分析，采用PID控制、DMC控制和PID+DMC控制三種控制方法進行控制器的設(shè)計，并在Matlab/Simulink環(huán)境下進行了仿真。仿真結(jié)果表明三種方法均實現(xiàn)了壓力鑄造系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，通過不斷地對參數(shù)進行修正比較使TY-3壓力鑄造系統(tǒng)的動態(tài)性能達到了滿意的效果，得出PID+DMC控制效果優(yōu)于其他兩種控制算法，表現(xiàn)出更好的控制精度和較強的魯棒性。

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