黃天鵬,劉小雄,馬青原,張永杰

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,西安 710072)

0 引言

近年來(lái)四旋翼無(wú)人機(jī)成為航空領(lǐng)域的一大研究熱點(diǎn)，由于四旋翼無(wú)人機(jī)優(yōu)異的垂直起降和低成本特性，使其在軍事、公共安全、政府應(yīng)急救援指揮以及民用航拍、農(nóng)業(yè)植保等領(lǐng)域具有廣泛用途。但是四旋翼無(wú)人機(jī)作為典型的欠驅(qū)動(dòng)非線性系統(tǒng)，其位置控制是通過(guò)姿態(tài)控制實(shí)現(xiàn)的，并且所有的運(yùn)動(dòng)都建立在對(duì)4個(gè)電機(jī)的控制基礎(chǔ)上，因此四旋翼無(wú)人機(jī)的姿態(tài)控制至關(guān)重要。由于四旋翼無(wú)人機(jī)在飛行中受到環(huán)境干擾，自身電機(jī)高速轉(zhuǎn)動(dòng)引起的陀螺力矩，存在的電機(jī)未建模動(dòng)態(tài)，旋翼葉片之間的氣動(dòng)干擾和由于質(zhì)量分布不均引起的未知慣性力矩干擾，使得依賴精確建模的傳統(tǒng)控制方法[1-3]在實(shí)際中難以達(dá)到四旋翼的控制要求[4-5]；雖然普通的自適應(yīng)控制可以達(dá)到在控制信號(hào)中補(bǔ)償未知影響的效果，但是快速自適應(yīng)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)控制量的高頻振蕩，這樣的高頻控制信號(hào)在實(shí)際中不可實(shí)現(xiàn)，并且對(duì)系統(tǒng)魯棒性造成嚴(yán)重影響[6]。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文采用L1自適應(yīng)控制理論[7]進(jìn)行四旋翼無(wú)人機(jī)的姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)，達(dá)到在快速自適應(yīng)的同時(shí)保證系統(tǒng)魯棒性的性能要求[8-9]。L1自適應(yīng)控制理論通過(guò)在控制信號(hào)中引入低通濾波器，在低通帶寬內(nèi)補(bǔ)償模型的不確定干擾；通過(guò)采用投影算子自適應(yīng)律來(lái)保證估計(jì)參數(shù)的有界性，由于將快速自適應(yīng)與魯棒性解耦，因此可以在硬件限制范圍內(nèi)任意提高自適應(yīng)的快速性來(lái)達(dá)到系統(tǒng)需要的動(dòng)態(tài)性能而又不失系統(tǒng)的穩(wěn)定性[10]。本文主要講述了針對(duì)“X”型四旋翼無(wú)人機(jī)的非線性模型設(shè)計(jì)L1自適應(yīng)角速率控制器，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)PID控制器將姿態(tài)控制轉(zhuǎn)化到內(nèi)環(huán)的L1自適應(yīng)角速率控制。分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，最后通過(guò)仿真說(shuō)明了所設(shè)計(jì)L1自適應(yīng)控制系統(tǒng)在滿足快速動(dòng)態(tài)性能的情況下仍然具備良好的魯棒性。

1 四旋翼姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型建立

本文采用“X”型四旋翼無(wú)人機(jī)為研究對(duì)象，根據(jù)其飛行控制原理，4個(gè)旋翼通過(guò)高速轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生升力，進(jìn)而產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩和俯仰力矩控制滾轉(zhuǎn)角和俯仰角，旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的反扭矩控制偏航角，當(dāng)旋翼機(jī)身滾轉(zhuǎn)角和俯仰角不為零時(shí)升力產(chǎn)生水平分力控制水平位置，升力在重力反方向的分力控制垂直位置，六個(gè)自由度的控制是通過(guò)調(diào)節(jié)4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速即旋翼產(chǎn)生的升力和反扭矩實(shí)現(xiàn)的。因此定義U1,U2,U3,U4為四旋翼無(wú)人機(jī)的高度、滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航4個(gè)獨(dú)立控制通道的控制輸入：

(1)

由旋翼電機(jī)轉(zhuǎn)速與產(chǎn)生力和力矩關(guān)系進(jìn)一步有：

(2)

其中：CT為升力系數(shù)，CM為反扭矩系數(shù)，?i為電機(jī)i的轉(zhuǎn)速。四旋翼的姿態(tài)角與機(jī)體系的角速度之間有如下關(guān)系[11]：

(3)

(4)

其中：φ、θ、ψ分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角；p、q、r分別為滾轉(zhuǎn)角速率、俯仰角速率和偏航角速率；Ix、Iy、Iz為四旋翼無(wú)人機(jī)繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J為每個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；d為旋翼葉片中心到四旋翼無(wú)人機(jī)重心的距離；ΩM=-?1-?2+?3+?4為由于電機(jī)差動(dòng)產(chǎn)生的陀螺力矩轉(zhuǎn)速。以上通過(guò)經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程建立四旋翼無(wú)人機(jī)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型，為下面設(shè)計(jì)L1自適應(yīng)控制器提供基礎(chǔ)。

2 四旋翼L1自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)

考慮與四旋翼模型相對(duì)應(yīng)的非線性系統(tǒng)：

x(0)=x0

y(t)=CTx(t)

(5)

其中：x(t)∈Rn是可測(cè)量的系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)∈Rm為系統(tǒng)的控制輸入信號(hào)，Am是n×n的赫爾維茲矩陣，Bm∈Rn×m和C∈Rn×n是已知常數(shù)矩陣，ω∈Rm×m為未知常數(shù)對(duì)角矩陣，包含了由于質(zhì)量分布不均引起輸入力矩干擾，f(·)是未知非線性函數(shù)，包含四旋翼模型的陀螺力矩干擾、與狀態(tài)有關(guān)的非線性和外界干擾。

L1自適應(yīng)控制通過(guò)設(shè)計(jì)滿足系統(tǒng)瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的狀態(tài)觀測(cè)器，然后以觀測(cè)狀態(tài)和實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)之間的誤差作為快速自適應(yīng)律的輸入，估計(jì)出系統(tǒng)的未知參數(shù)，進(jìn)而用估計(jì)參數(shù)構(gòu)造控制信號(hào)，去抵消在低通濾波器帶寬范圍內(nèi)的不確定干擾，使系統(tǒng)輸出信號(hào)跟蹤輸入信號(hào)，L1控制器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 L1自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)

2.1 狀態(tài)觀測(cè)器

根據(jù)被控對(duì)象模型設(shè)計(jì)如下?tīng)顟B(tài)觀測(cè)器：

y(t)=CTx(t)

(6)

2.2 自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

由于自適應(yīng)控制律中包含估計(jì)參數(shù)，因此為了確?？刂菩盘?hào)的有界性和可實(shí)現(xiàn)性，必須保證在快速自適應(yīng)估計(jì)參數(shù)的同時(shí)保證估計(jì)參數(shù)的有界性，因此采用基于投影算子的自適應(yīng)律，避免估計(jì)參數(shù)漂移和保證系統(tǒng)較好的魯棒性。設(shè)計(jì)基于投影算子的自適應(yīng)律結(jié)構(gòu)如下：

(7)

2.3 控制律

為了使被控對(duì)象的性能達(dá)到理想模型：

ym(t)=CTxm(t)

(8)

在自適應(yīng)律估計(jì)出未知參數(shù)后，構(gòu)造控制信號(hào)抵消系統(tǒng)的不確定性部分，并且使系統(tǒng)跟蹤上輸入信號(hào)，同時(shí)為了保證系統(tǒng)的魯棒性[14]，引入低通濾波器解決快速自適應(yīng)導(dǎo)致的控制信號(hào)高頻振蕩的問(wèn)題，因此在控制信號(hào)中加入低通濾波器，控制結(jié)構(gòu)如下：

(9)

其中：

C(s)=ωkD(s)(I+ωkD(s))-1

(10)

3 四旋翼姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)

基于以上分析，設(shè)計(jì)L1自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)進(jìn)行四旋翼姿態(tài)控制，模型參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 模型參數(shù)

3.1 L1自適應(yīng)控制器增益

將四旋翼參數(shù)帶入模型方程中，得到狀態(tài)方程矩陣，通過(guò)極點(diǎn)配置方法求解反饋增益矩陣為：

從而求解出理想閉環(huán)系統(tǒng)Am和Bm陣如下：

極點(diǎn)配置后，非線性函數(shù)向量為：

(11)

其中：Kii為反饋增益矩陣K第i個(gè)對(duì)角線元素。

根據(jù)實(shí)際飛行狀態(tài)，四旋翼機(jī)體角速率最大值3.5rad/s，電機(jī)轉(zhuǎn)速最大值設(shè)為6000rpm，則陀螺力矩轉(zhuǎn)速最大值為ΩM max=2513rad/s。根據(jù)以上物理量范圍，求得參數(shù)范圍θbi=0.1，并取任意正常數(shù)ε=0.1，則σbi=0.1,則投影算子邊界為：

Θ=[-0.1,0.1]，Δ=[-0.1,0.1]

則L=max‖θ‖1=0.3。由于質(zhì)量分布不均引起的未知輸入增益范圍選取如下：

ω11∈[0.1,0.2],ω22∈[0.1,0.2],ω33∈[0.5,1.5]

3.2 自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

選取自適應(yīng)增益Γ=1000。

為了使角速率輸出以零穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤到理想系統(tǒng)輸出：

yid=CTH(s)kgr(s)

(12)

設(shè)置：

選取D(s)=1/s，則有:

G(s)=H(s)(1-C(s))=

L1自適應(yīng)控制方法范數(shù)穩(wěn)定條件為：

由G(s)的形式可知，在狀態(tài)矩陣Am對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)閉環(huán)性能條件下，為了滿足范數(shù)穩(wěn)定條件，增大低通濾波器帶寬可以保證系統(tǒng)滿足范數(shù)穩(wěn)定條件和閉環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng)良好的跟蹤性能。但是高帶寬低通濾波器會(huì)導(dǎo)致控制信號(hào)對(duì)外部噪聲敏感，系統(tǒng)魯棒性降低。因此低通濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和魯棒性的約束優(yōu)化問(wèn)題[15]。本文選取低通濾波器帶寬選取ωk=100。

在L1角速率控制器的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)由目標(biāo)角度到目標(biāo)角速率的PID控制器，結(jié)構(gòu)如下：

(13)

因此系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)為PID控制與L1自適應(yīng)控制串聯(lián)結(jié)構(gòu)。目標(biāo)角度到目標(biāo)角速率解算由于只涉及到目標(biāo)信號(hào)的轉(zhuǎn)化，因此利用PD控制保證了角度控制的快速性與精確性，角速率控制中采用L1自適應(yīng)控制作為整個(gè)旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)的核心，充分發(fā)揮L1自適應(yīng)控制優(yōu)異的抗干擾能力和快速跟蹤性能，保證系統(tǒng)的快速性和魯棒性。

3.3 魯棒性分析

根據(jù)p、q、r通道的獨(dú)立控制可得，存在如下開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：

(14)

(15)

Ami,Bmi,Ci(s)分別為對(duì)角矩陣Am,Bm,C(s)的第i個(gè)對(duì)角線元素。則由式(5)、(6)、(7)、(9)組成的L1自適應(yīng)控制系統(tǒng)的保守時(shí)間增益為：

其中：φmi，ωgc i分別為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)矩陣Lo(s)的第i個(gè)對(duì)角線傳遞函數(shù)的相角裕度和截止頻率[7]。根據(jù)以上結(jié)論，將第3節(jié)模型參數(shù)帶入式(14)，分別畫(huà)出p、q、r通道傳遞函數(shù)波特圖見(jiàn)圖2～圖4。

圖2 滾轉(zhuǎn)角速率通道波特圖

圖3 俯仰角速率通道波特圖

圖4 偏航角速率通道波特圖

由圖2～4可知，3個(gè)通道閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且可以直接得到估計(jì)的保守時(shí)間余度分別為τ1=τ2=0.00 142s，τ3=0.00 056s。說(shuō)明L1自適應(yīng)控制器在快速自適應(yīng)的同時(shí)保證了系統(tǒng)的時(shí)間延遲余度，因此也保證了系統(tǒng)的魯棒性。

4 仿真結(jié)果與分析

根據(jù)以上控制器設(shè)計(jì)，在系統(tǒng)初始姿態(tài)和角速率狀態(tài)為零的條件下，輸入幅值5°、周期為10s的方波信號(hào)作為目標(biāo)姿態(tài)角指令進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真曲線如圖5所示。

圖5 L1自適應(yīng)控制器性能

由圖5可知，在方波信號(hào)的姿態(tài)角指令輸入下，通過(guò)設(shè)計(jì)PID角度控制和基于投影算子的L1自適應(yīng)控制器，四旋翼無(wú)人機(jī)的角度輸出在不確定非線性存在的情況下，能夠快速跟蹤到輸入姿態(tài)角，調(diào)節(jié)時(shí)間為1.2s，并且無(wú)超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差。在快速自適應(yīng)的同時(shí)，姿態(tài)控制量U2、U3、U4沒(méi)有出現(xiàn)高頻振蕩。

為了驗(yàn)證系統(tǒng)的魯棒性，根據(jù)第3節(jié)算出的時(shí)間延遲余度，分別在滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航通道的控制量中加入15 ms、10 ms、5 ms的時(shí)間延遲，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 三通道時(shí)間延遲分別為15 ms、10 ms、5 ms條件下L1自適應(yīng)控制器性能

由圖6可知，在控制量延遲的情況下系統(tǒng)的跟蹤速度稍微變慢，調(diào)節(jié)時(shí)間為1.5 s，無(wú)超調(diào)，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，角速率變化在實(shí)際范圍內(nèi)，控制量無(wú)高頻振蕩。以上仿真結(jié)果綜合說(shuō)明了所設(shè)計(jì)L1自適應(yīng)控制器在快速自適應(yīng)滿足動(dòng)態(tài)性能的條件下可以保持良好的魯棒性以抵抗外界干擾。

5 結(jié)論

本文針對(duì)“X”型四旋翼的角度控制問(wèn)題，提出PID控制與基于投影算子自適應(yīng)律的L1自適應(yīng)控制相結(jié)合的控制結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)闡述了L1自適應(yīng)控制的結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)過(guò)程，魯棒性以及穩(wěn)定性分析，將非線性模型等效轉(zhuǎn)化成線性模型來(lái)設(shè)計(jì)常規(guī)狀態(tài)觀測(cè)器，提出估計(jì)未知參數(shù)范圍的方法，并通過(guò)系統(tǒng)波特圖具體說(shuō)明了系統(tǒng)保守的魯棒性能估計(jì)和抵抗外界干擾的能力。通過(guò)采用投影算子自適應(yīng)律保證了參數(shù)估計(jì)的范圍，并且在低通濾波器帶寬范圍內(nèi)補(bǔ)償不確定干擾。通過(guò)添加周期性方波輸入信號(hào)和在滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航控制通道中加入時(shí)間延遲條件下進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果說(shuō)明了L1自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，即在模型中存在非線性和外界干擾的情況下，控制結(jié)構(gòu)既能通過(guò)快速自適應(yīng)滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度，又能保證系統(tǒng)良好的魯棒性，因此本文所設(shè)計(jì)的基于L1自適應(yīng)控制的四旋翼無(wú)人機(jī)姿態(tài)控制方法能保證無(wú)人機(jī)的穩(wěn)定性和抗干擾能力，具有很好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

[1] Fang Z, Zhi Z, Jun L, et al. Feedback linearization and continuous sliding mode control for a quadrotor UAV[A].Control Conference, 2008. CCC 2008. 27th Chinese[C]. IEEE, 2008: 349-353.

[2] Zeng Y, Jiang Q, Liu Q, et al. PID vs. MRAC control techniques applied to a quadrotor's attitude[A]. 2012 Second International Conference on Instrumentation, Measurement, Computer, Communication and Control (IMCCC)[C]. IEEE, 2012: 1086-1089.

[3] Raptis I A. Linear and nonlinear control of unmanned rotorcraft[J]. 2009.

[4] 龍?jiān)坡? 陳 洋, 滕 雄. 四旋翼飛行器姿態(tài)解算與濾波[J]. 計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制, 2016, 24(10):194-197.

[5] 范云生, 曹亞博, 趙永生,等. 四旋翼無(wú)人飛行器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)設(shè)計(jì)及姿態(tài)控制研究[J]. 計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制, 2016, 24(7):117-120.

[6] Tao G. A unification of multivariable MRAC based on high frequency gain matrix decompositions[A].American Control Conference, 2003. Proceedings of the 2003[C]. IEEE, 2003, 2: 945-950.

[7] Hovakimyan N, Cao C. L1 Adaptive Control Theory: Guaranteed Robustness with Fast Adaptation[M]. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2010.

[8] Cao C, Hovakimyan N. Stability margins of L1 adaptive controller: Part II[A].American Control Conference, 2007. ACC'07[C]. IEEE, 2007: 3931-3936.

[9] Li D, Hovakimyan N, Georgiou T. Robustness of L1 adaptive controllers in the gap metric[A].American Control Conference (ACC), 2010[C]. IEEE, 2010: 3247-3252.

[10] Minh Q H, Weihua Z, Lihua X. L1 adaptive control for quadcopter: Design and implementation[A]. In Proc. of the 13th Int.Conf. on Control Automation Robotics and Vision (ICARCV)[C]. 2014: 1496-1501.

[11] 吳森堂, 費(fèi)玉華. 飛行控制系統(tǒng)[M]. 北京航空航天大學(xué)出版社, 2005.

[12] Cao C, Hovakimyan N. L1 adaptive controller for a class of systems with unknown nonlinearities: Part I[A].American Control Conference, 2008[C]. IEEE, 2008: 4093-4098.

[13] Pomet J B, Praly L. Adaptive nonlinear regulation: Estimation from the Lyapunov equation[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1992, 37(6): 729-740.

[14] 王亮亮，劉小雄，馬青原，等.基于L1 自適應(yīng)方法的無(wú)人機(jī)縱向阻尼控制器設(shè)計(jì)，飛行力學(xué)，2015，33(12)：523-527

[15] Li D, Hovakimyan N, Cao C, et al. Filter design for feedback-loop trade-off of L1 adaptive controller: A linear matrix inequality approach[A].Proc. AIAA Guidance, Navigation and Control[C]. 2008.