郭鴻宇，任正云，陳安鋼

(東華大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海 201620)

0 引言

現(xiàn)代流程工業(yè)中, 許多工業(yè)過程對象可以表示為多個不同時滯積分過程的組合, 關(guān)于這類系統(tǒng)的控制器設(shè)計研究也較為普遍，許多學(xué)者針對這類過程的研究做了大量的工作，但普遍的設(shè)計思路仍為將這類過程近似為普通的一階時滯過程，雖然簡化了控制器的設(shè)計過程，但控制效果卻不能達到較為理想的結(jié)果。2008年，任正云教授根據(jù)其多年行業(yè)經(jīng)驗帶領(lǐng)其課題組首先提出了組合積分系統(tǒng)這一概念，他將傳遞函數(shù)由兩個或多個積分時滯對象組成的被控系統(tǒng)定義為組合積分系統(tǒng)，并將這類系統(tǒng)從一般的低階時滯系統(tǒng)控制器設(shè)計思路中剝離出來重新設(shè)計控制器，取得了很好的控制效果。但是關(guān)于這類控制器的設(shè)計仍停留在傳統(tǒng)的手動調(diào)節(jié)控制范疇，而工業(yè)過程對象參數(shù)往往是隨著周圍環(huán)境溫濕度的影響而緩慢變化的，控制過程仍需要人工干預(yù)。所以，對于組合積分系統(tǒng)，一類能智能適應(yīng)被控對象參數(shù)變化的自適應(yīng)控制器的設(shè)計尤為必要。

1 組合積分系統(tǒng)

1.1 組合積分系統(tǒng)的定義

任正云課題組將具有如下特征的一類開環(huán)穩(wěn)定對象定義為組合積分對象[1]：

(1)

其傳遞函數(shù)一般由兩個或多個積分時滯對象組成，式(1)中Gi(s)為不含積分環(huán)節(jié)的穩(wěn)定多項式，式子k/s(1-e-τs)是包含在組合積分系統(tǒng)中的穩(wěn)定系統(tǒng)[2]。在實際工業(yè)生產(chǎn)過程中，存在5種典型組合積分對象，它們的傳遞函數(shù)模型[3]通常如下所示：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

組合積分系統(tǒng)開環(huán)響應(yīng)曲線如圖1所示。

圖1 5種組合積分過程的開環(huán)響應(yīng)曲線

對于組合積分系統(tǒng)中的每一項，都含有環(huán)節(jié)k/s(1-e-τs),從而保證了組合積分對象在本質(zhì)上是一種開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，所以開環(huán)的組合積分系統(tǒng)輸出具有勻速無超調(diào)上升的特點，本身也非常適合作為期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)，故根據(jù)組合積分對象這一特性可以設(shè)計出控制效果更為理想的組合積分控制器[3]。

2 組合積分自適應(yīng)控制器設(shè)計

2.1 控制器結(jié)構(gòu)

組合積分自適應(yīng)控制器采用自校正自適應(yīng)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，通過對被控對象的在線遞推估計辨識，得到過程參數(shù)，并利用模型參數(shù)以及組合積分控制器設(shè)計原理設(shè)計自適應(yīng)組合積分控制器結(jié)構(gòu)，并通過此控制作用對被控對象再辨識，對控制器參數(shù)再整定，最終達到預(yù)期的控制性能指標(biāo)。組合積分自適應(yīng)控制器主要由3個獨立功能的單元組成：參數(shù)辨識單元、參數(shù)設(shè)計單元以及組合積分控制器單元，結(jié)構(gòu)如圖2所示。系統(tǒng)運行過程中，參數(shù)辨識單元首先將模型辨識結(jié)果傳送給參數(shù)設(shè)計環(huán)節(jié)，參數(shù)設(shè)計環(huán)節(jié)對這些數(shù)據(jù)進一步優(yōu)化處理，并將其轉(zhuǎn)換為組合積分控制器可接受的參數(shù)形式，最終由組合積分控制器單元實現(xiàn)模型的自適應(yīng)控制。

圖2 組合積分自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)

2.2 系統(tǒng)辨識單元

2.2.1 相關(guān)分析環(huán)節(jié)

相關(guān)分析法是目前工業(yè)過程中普遍受到重視的一種系統(tǒng)辨識方法，通常采用偽隨機二進制序列作為被辨識系統(tǒng)的輸入信號，然后根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)即可推導(dǎo)出辨識對象的脈沖響應(yīng)函數(shù)，其主要原理如圖3所示[4]。相關(guān)分析法不僅具有極強的抑制噪聲能力，而且可以滿足在線辨識的要求。本研究利用相關(guān)分析法中輸入輸出數(shù)據(jù)的延遲對相關(guān)函數(shù)的影響這一原理，辨識出了被辨識系統(tǒng)的延時估計，達到了預(yù)期辨識效果。

圖3 相關(guān)分析法在線辨識原理框圖

首先，根據(jù)脈沖響應(yīng)在M序列一個周期內(nèi)基本衰減為零的準(zhǔn)則，并由WinenerHopf方程的離散形式可得系統(tǒng)輸入輸出的互相關(guān)函數(shù)為：

(7)

其次，由設(shè)計準(zhǔn)則得M序列自相關(guān)函數(shù)為：

(8)

式中，amp為M序列幅值。

將式(8)代入式(7)可得系統(tǒng)脈沖響應(yīng)估計值為：

(9)

因此，通過計算輸入輸出數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)，就能夠通過式(9)求出脈沖響應(yīng)的估計值，并得到脈沖響應(yīng)的估計誤差，然后通過脈沖響應(yīng)的估計值并結(jié)合組合積分系統(tǒng)的過程特點即可估計出系統(tǒng)的滯后時間常數(shù)τ1、τ2。

本研究首先生成循環(huán)周期為Np=26-1的M序列，初始狀態(tài)向量為[ 0 0 0 1 0 1 1],M序列發(fā)生器的Simulink模塊如圖4所示[5]。

圖4 M序列發(fā)生器

生成的M序列如圖5所示。

圖5 M序列波形曲線

其次，利用乘同余法生成U[0,1]均勻分布的隨機數(shù)，并進一步產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的正態(tài)分布白噪聲序列，如圖6所示。

圖6 標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的白噪聲序列

若將式(2)～(6)對應(yīng)的組合積分對象依次稱為過程1、過程2、過程3、過程4、過程5，則對應(yīng)過程2依次取模型參數(shù)為τ1=20 s、τ2=30 s、k=3，搭建Simunlink仿真模型如圖7所示。

圖7 相關(guān)分析法組合積分對象模型

由組合積分對象模型可得系統(tǒng)輸入輸出響應(yīng)如圖8所示。

圖8 組合積分對象模型輸入輸出響應(yīng)

可加干擾為標(biāo)準(zhǔn)差σv分別等于0，0.1，0.5的白噪聲序列，則相關(guān)性分析法所得脈沖響應(yīng)估計值和理論值結(jié)果如圖9所示。

圖9 過程2脈沖響應(yīng)估計值與理論值

標(biāo)準(zhǔn)差分別為0，0.1，0.5時過程2脈沖響應(yīng)誤差曲線如圖10所示。

圖10 過程2脈沖響應(yīng)誤差曲線

根據(jù)圖9、圖10可得白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差分別取0、0.1、0.5的情況下過程2的估計誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為：2.69-15、0.0957、0.5080。

根據(jù)過程2可得組合積分對象傳遞函數(shù)的拉普拉斯反變換如式(10)所示：

(10)

同理可得過程4的相關(guān)性分析法所得脈沖響應(yīng)估計值和理論值結(jié)果如圖11所示。

圖11 過程4脈沖響應(yīng)估計值與理論值

標(biāo)準(zhǔn)差分別為0，0.1，0.5時過程4脈沖響應(yīng)誤差曲線如圖12所示。

圖12 過程4脈沖響應(yīng)誤差曲線

根據(jù)過程4可得組合積分對象傳遞函數(shù)的拉普拉斯反變換如式(11)所示：

(11)

根據(jù)圖11和圖12可得白噪聲取0、0.1、0.5的情況下過程4的估計誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為：0.0392、0.1154、0.5080。

通過圖10和圖12可以看出，在可加白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差分別取值0，0.1的情況下，利用相關(guān)性分析法得到的脈沖響應(yīng)估計值與理論值誤差較小，進一步證實了相關(guān)性分析法辨識模型的正確性。

由此，根據(jù)相關(guān)分析法得到的時域脈沖響應(yīng)估計值并通過簡單的模式識別算法即可較為精確的辨識出組合積分過程的滯后參數(shù)τ1、τ2,接著需要利用帶遺忘因子的最小二乘算法進行進一步辨識，而對于過程5的相關(guān)性分析辨識還需要另外的濾波環(huán)節(jié)、數(shù)據(jù)處理與模式識別算法，將在未來的研究工作中給出。由于過程2包含過程1、過程4包含過程3，所以本辨識算法適用于常見的5種組合積分過程，且辨識結(jié)果滿足預(yù)期誤差范圍。

2.2.2 最小二乘環(huán)節(jié)

在參數(shù)時變系統(tǒng)的辨識過程中，帶遺忘因子的遞推最小二乘算法不僅收斂快速，而且可以實時在線估計參數(shù)，針對參數(shù)時變帶來的“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象也有較好的抑制作用，所以本研究采用帶遺忘因子的遞推最小二乘算法對組合積分對象模型參數(shù)進一步辨識[6]。

考慮如下差分形式參數(shù)模型：

y(k)=-a1y(k-1)…-anay(k-na)+

b0u(k-d)+…+bnbu(k-d-nb)+ξ(k)=

φT(k)θ+ζ(k)

(12)

其中：na、nb、d為結(jié)構(gòu)參數(shù)，ξ(k)為白噪聲序列，{y(k),u(k),k=1,2,…,L}為觀測輸入、輸出數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)向量φ(k)為：

(13)

待估參數(shù)θ為：

θ=[a1,…,ana,b0,…,bnb]T∈R(na+nb+1)×1

(14)

性能指標(biāo)J(目標(biāo)函數(shù))[6]為:

(15)

其中：λ為遺忘因子(0<λ≤1),采用指數(shù)遺忘法。

綜上可得帶遺忘因子的遞推最小二乘參數(shù)估計公式如下[6]：

(16)

(17)

(18)

對于過程2，首先利用零階保持器法對其進行離散化，其中零階保持器的傳遞函數(shù)如式(19)所示：

(19)

其中：T0為采樣周期，則廣義對象的傳遞函數(shù)如式(20)所示：

(20)

Z變換后結(jié)果如式(21)所示：

(21)

再進行反變換得到對象差分形式如式(22)所示:

(22)

其中：令a1=-1,b1=kT/τ1,b2=-kT/τ1,則差分方程如式(23)所示：

(23)

對式(23)差分方程形式進行遞推最小二乘在線辨識，結(jié)果如圖13所示。

圖13 過程2的遞推最小二乘辨識結(jié)果

其中，在辨識過程中改變差分方程系數(shù)的數(shù)值，辨識結(jié)果顯示，遞推最小二乘辨識算法對于此類系統(tǒng)有很好的辨識與跟蹤特性。

進一步利用兩次辨識結(jié)果可辨識出過程2組合積分系統(tǒng)的增益K。

同理，對于過程4可求得其零階保持器法z變換形式如式(24)所示：

(24)

其中：

(25)

差分方程形式為式(26)：

(26)

差分方程驗證結(jié)果如圖14所示。

圖14 過程4的差分方程驗證結(jié)果

由圖14可知過程4的差分方程遞推公式正確，且可以很好地描述過程零階保持器離散化響應(yīng)。

根據(jù)過程4的差分方程遞推形式，利用遞推最小二乘算法對其進行在線辨識，同理可得辨識結(jié)果如圖15所示。

圖15 過程4的遞推最小二乘辨識結(jié)果

由圖13與圖15可知最小二乘算法在此類系統(tǒng)的在線辨識過程中有很好的效果，可先通過相關(guān)分析法辨識出模型滯后參數(shù)τ1、τ2，進一步通過遞推最小二乘在線辨識可辨識出模型參數(shù)k、T等其他項系數(shù)。由于對于組合積分系統(tǒng)的辨識過程同時采用了兩種辨識方法，而其中遞推最小二乘算法的參數(shù)辨識以相關(guān)性分析辨識算法得到的延時參數(shù)結(jié)果為前提，所以二次辨識再加之有色噪聲的干擾，使得辨識結(jié)果產(chǎn)生一定偏差，為了糾正這種偏差，需要對辨識結(jié)果進行進一步尋優(yōu)，才能保證以模型參數(shù)準(zhǔn)確性為前提的組合積分控制器的控制效果達到預(yù)期的控制精度。所以，本文在參數(shù)設(shè)計單元中增加了PSO優(yōu)化算法對辨識結(jié)果進行進一步的尋優(yōu)，以保證模型辨識結(jié)果的精確性。

3 參數(shù)設(shè)計單元

參數(shù)設(shè)計單元主要由參數(shù)轉(zhuǎn)換算法與PSO尋優(yōu)算法組成，其中，參數(shù)轉(zhuǎn)換算法負責(zé)參數(shù)辨識單元結(jié)果向控制器參數(shù)的轉(zhuǎn)換，PSO尋優(yōu)算法負責(zé)對辨識所得參數(shù)進一步精確化處理，使得辨識結(jié)果符合期望誤差率，進一步增強組合積分自適應(yīng)控制器的控制效果。

3.1 參數(shù)轉(zhuǎn)換算法

參數(shù)轉(zhuǎn)換算法主要為將最小二乘辨識結(jié)果轉(zhuǎn)換為模型參數(shù)的算法，通過模型差分方程的系數(shù)公式，可逆推出被辨識系統(tǒng)的模型系數(shù)。對于過程2可由公式(27)推出：

(27)

對于過程4可由式(28)、式(29)推出：

(28)

(29)

通過參數(shù)轉(zhuǎn)換算法所得結(jié)果與專家經(jīng)驗法相結(jié)合，可直接確定出PSO優(yōu)化算法的搜索范圍，大大節(jié)省了優(yōu)化算法的時間與空間開支，進一步保證了組合積分自適應(yīng)控制系統(tǒng)的精確度。

3.2 PSO優(yōu)化算法

PSO優(yōu)化算法是一種新型演化計算方法，通過對社會模型進行模擬，用粒子表示解空間的解，并通過粒子間相互作用，使個體向目標(biāo)區(qū)域移動，從而發(fā)現(xiàn)搜索空間的最優(yōu)區(qū)域[7]。

設(shè)在N維空間中有m個粒子，每個粒子的坐標(biāo)為xi=(xi1,xi2,…xiN),i=1,2,…m,每個粒子的運動速度為vi=(vi1,vi2,…viN)，各個粒子的初始適應(yīng)值為f(xi)，第i個粒子搜索到的最優(yōu)位置為pi=(pi1,pi2,…piN)，整個種群搜索到的最優(yōu)位置為pg=(pg1,pg2,…pgN)。

則粒子速度更新計算公式為[8]：

(30)

粒子位置更新計算公式為[8]：

(31)

其中：k=1,2…G，G為最大進化代數(shù)，k表示當(dāng)前進化代數(shù)；i=1,2，…，Size，Size為粒子組成的種群規(guī)模大小；BestS為整個種群目前的最優(yōu)解；r1和r2為[0,1]之間的隨機數(shù)；c1、c2為局部與全局學(xué)習(xí)因子，w為慣性權(quán)重函數(shù)。

PSO算法首先初始化為一群隨機粒子，通過跟蹤“個體極值”與“全局極值”來不斷更新自己的位置，每個粒子通過對自己運動方向和距離的不斷調(diào)整，追隨當(dāng)前最優(yōu)粒子在解空間中搜索，最終通過不斷迭代找到模型最優(yōu)解[7]。

對于過程2的模型辨識結(jié)果，送入?yún)?shù)設(shè)計單元，通過PSO優(yōu)化算法對過程參數(shù)進行尋優(yōu)。首先，采用十進制浮點制實數(shù)編碼，將待尋優(yōu)初步辨識結(jié)果的參數(shù)向量記為x,并確定參數(shù)向量維數(shù)為CodeL=3，確定參數(shù)搜索范圍為Xmin=[1 10 20]、Xmax=[5 30 40] (可根據(jù)專家經(jīng)驗法確定參數(shù)搜索范圍)，種群規(guī)模為Size=80，最大迭代次數(shù)為G=40,粒子運動速度范圍為Vmin=-1、Vmax=1，慣性權(quán)重范圍為Wmin=0.10、Wmax=0.90，學(xué)習(xí)因子為c1=1.3、c2=1.7。其次，慣性權(quán)重采用線性遞減的策略，由0.90遞減為0.10；目標(biāo)函數(shù)為辨識誤差指標(biāo)(越小越好)，并將其倒數(shù)作為PSO的適應(yīng)度函數(shù)。然后，根據(jù)式(30)和式(31)對粒子速度和位置進行更新，并分別檢查是否越界，獲得新種群。最終，利用PSO算法得到最佳目標(biāo)函數(shù)值如圖16所示。

圖16 過程2 PSO算法最佳目標(biāo)函數(shù)值變化曲線

4 控制器設(shè)計單元

考慮單位負反饋系統(tǒng)，如圖17所示。

圖17 負反饋結(jié)構(gòu)圖

Gc(s)和Gp(s)分別為控制器和被控對象的傳遞函數(shù)，則該系統(tǒng)閉環(huán)傳函為：

(32)

假設(shè)已知組合積分對象的傳遞函數(shù)為：

(33)

由式(32)可得控制器的傳遞函數(shù)為：

(34)

由于開環(huán)的組合積分系統(tǒng)輸出具有勻速無超調(diào)上升的特點，可將整個閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)設(shè)計為具有和開環(huán)系統(tǒng)相同的結(jié)構(gòu)，依此可設(shè)計具有更好控制特性的組合積分控制器。

根據(jù)以上準(zhǔn)則，并根據(jù)式(34)推得期望的傳遞函數(shù)為：

(35)

式(33)、(35)代入(34)可得控制器的傳遞函數(shù)：

(36)

化簡得：

(37)

根據(jù)組合積分控制器的設(shè)計思路，并結(jié)合系統(tǒng)自適應(yīng)機構(gòu)可以得到具有很好控制效果的組合積分自適應(yīng)控制器。

由此得本文中5種組合積分對象的組合積分控制器設(shè)計依次如下：

(38)

(39)

(40)

(42)

控制效果如圖18所示。

圖18 5種組合積分控制器的控制效果

5 結(jié)論

本文以組合積分控制器設(shè)計思想為核心，并利用相關(guān)性分析算法、遞推最小二乘算法、PSO尋優(yōu)算法等進行了模型辨識與控制器參數(shù)設(shè)計，首次實現(xiàn)了針對組合積分系統(tǒng)的自適應(yīng)控制，并且該組合積分自適應(yīng)控制器可以推廣到類似的時滯系統(tǒng)自適應(yīng)控制過程中，進一步改善了此類系統(tǒng)的自適應(yīng)控制性能。最后，本研究通過系統(tǒng)仿真進一步證明了該自適應(yīng)控制算法具有較好的非線性跟蹤能力與辨識效果，在性能上增強了組合積分系統(tǒng)的抗干擾能力與魯棒性。因此，組合積分自適應(yīng)控制系統(tǒng)的研究對于相關(guān)時滯系統(tǒng)的自適應(yīng)控制有著廣泛的應(yīng)用價值與深刻的理論意義。

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