高俊強夏瑩祎陳 洲

(南京工業(yè)大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇 南京211800)

0 引 言

國內(nèi)長距離隧道(洞)工程采用盾構(gòu)機(TBM)開挖越來越普遍,多數(shù)為直線—緩和曲線—圓曲線—緩和曲線—直線這樣的設(shè)計形式且只有幾個貫通面[1]。隧道斷面一般是圓形,測量常用斷面儀或全站儀進行,數(shù)據(jù)處理一般按最小二乘法[2]建立擬合模型計算隧道斷面的中心坐標(biāo)和半徑。由于擬合模型中系數(shù)矩陣主元非絕對占優(yōu),實際計算時常會遇到計算結(jié)果異常的情況,適當(dāng)調(diào)整數(shù)據(jù)順序或改變數(shù)據(jù)量又不能得到較為滿意的結(jié)果,會造成在外業(yè)數(shù)據(jù)采集過程中解算異常情況下無法操作或不能進行數(shù)據(jù)處理問題。此外,針對隧道斷面數(shù)據(jù)按最小二乘擬合是否合理、擬合效果如何評判,在目前測繪行業(yè)規(guī)范中均未給出明確規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)。

國家機械工業(yè)委員會指出,評定圓度誤差的算法有4種:① 最小區(qū)域法(MZC);② 最小二乘法(LSC);③ 最小外接圓法(MCC);④ 最大內(nèi)接圓法(MIC)。其中,最小區(qū)域法評定圓度誤差值為最小,且具有唯一性;最小二乘圓法所評定的圓度誤差值也具有唯一性,但數(shù)值不是最小;另外兩種方法都是近似法[3-5]。考慮到機械零件測量與盾構(gòu)隧道測量的數(shù)據(jù)同樣符合偶然誤差規(guī)律,僅僅是采樣數(shù)據(jù)密度不同而已,因此,可以借助機械工業(yè)委員會的評定指標(biāo)和方法來評定盾構(gòu)圓形隧道的拼裝質(zhì)量。本文以最小區(qū)域法計算隧道斷面中心位置和半徑,并將此方法和其他3類方法進行對比分析。

1 基本知識[5-6]

1.1 圓度

圓度,即圓度誤差,是指斷面誤差曲線上離圓心最遠(yuǎn)一點到圓心距離與離圓心最近一點到圓心距離之差。

1.2 最小二乘圓法

當(dāng)斷面誤差曲線上各點到某一圓的距離平方和為最小時,該圓即為最小二乘圓。設(shè)曲線上某點到該圓心的最大距離為r Max,另一點到圓心的最小距離為r Min,則圓度誤差為f=r Max-r Min。

1.3 最小外接圓法

最小外接圓是指包容實際斷面輪廓邊線時,具有半徑為最小的圓,也即包容斷面邊線的最小圓,在誤差曲線上,某點到該最小外接圓的最大距離即為圓度誤差。

1.4 最大內(nèi)切圓法

最大內(nèi)切圓是指內(nèi)切于實測斷面輪廓邊線,或內(nèi)切于斷面誤差曲線,且半徑為最大的圓。誤差曲線上某點到該圓的最大距離即為斷面的圓度誤差。

1.5 最小區(qū)域法

最小區(qū)域法是用兩個同心圓所組成的圓環(huán)來包容實際區(qū)域,包容時,至少應(yīng)有內(nèi)外交替四點與此接觸,這樣兩同心圓半徑差為最小,這個半徑差即為此區(qū)域的圓度誤差。

2 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)圓在XOY平面或平行于XOY平面,圓的一般方程為:(x i-a)2+(y i-b)2=r2,測得斷面n(n≥3)點,各點坐標(biāo)為x i,y i(i=1,2,……,n),各點到該圓圓心的距離為r i=。

按最小二乘法構(gòu)建目標(biāo)函數(shù):

按最小區(qū)域法構(gòu)建函數(shù):

式(2)實質(zhì)是求解圓心坐標(biāo)(a,b)的最優(yōu)問題,求解結(jié)果即是最小區(qū)域圓圓心坐標(biāo)值。

同理,按最小外接圓法和最大內(nèi)接圓法分別構(gòu)建函數(shù):

3 最小區(qū)域法的一種算法實現(xiàn)

最小區(qū)域的判別方法[3]是:兩同心包容圓至少應(yīng)與被測實際輪廓成內(nèi)外相間的4點接觸(圖1)。

圖1 最小區(qū)域法示意圖

根據(jù)最小包容區(qū)域法的定義,最小包容圓與被測盾構(gòu)拼裝環(huán)相接觸的兩點之間的連線應(yīng)和最大包容圓與被測盾構(gòu)拼裝環(huán)相接觸的兩點之間的連線在被測盾構(gòu)拼裝環(huán)內(nèi)相交[7-9]。實質(zhì)是根據(jù)盾構(gòu)拼裝環(huán)上的點找到符合要求的中心,且該中心既是最小包容圓的圓心,同時也是最大包容圓的圓心。為方便起見,不妨稱最小包容圓與所測盾構(gòu)拼裝環(huán)相接觸的點為最內(nèi)點,稱最大包容圓與所測盾構(gòu)拼裝環(huán)相接觸的點為最外點。找符合要求的評定中心時,先找出兩個不相臨的最內(nèi)點,移動中心,使兩個不相臨的最內(nèi)點在同一圓周上;再找出和兩個最內(nèi)點相互間隔的兩個最外點,再一次移動中心,使兩個最內(nèi)點和兩個最外點在兩個同心圓上;如果兩個同心圓中一個是最小包容圓,另一個是最大包容圓,則兩個同心圓的圓心即是符合要求的評定中心,否則應(yīng)重新搜索。

3.1 對測量數(shù)據(jù)預(yù)處理

測量時由于控制測量、導(dǎo)向測量、拼裝施工等誤差影響,所測拼裝斷面的圓中心與符合要求的評定中心有一定偏離。為了能從所測數(shù)據(jù)中快速找到符合要求的評定中心,先對所測數(shù)據(jù)用面質(zhì)心法進行一次預(yù)處理,計算公式如下:

假設(shè)所計算的圓心為o1,對所有點斷面點進行坐標(biāo)變換,得各測點以o1點為坐標(biāo)原點的新坐標(biāo)系下的直角坐標(biāo),極坐標(biāo),其值為:

3.2 搜索理想評定中心

對上述經(jīng)過加工的數(shù)據(jù)排序,找出符合條件的兩最內(nèi)點(圖2)。設(shè)A,B是以o1為中心的兩最內(nèi)點,且有o1B＞o1A,將o1點沿o1B方向移動至o2點,使o2B＞o2A,o2點坐標(biāo)為(x2,y2),移動距離o1o2=s,A點和B點的徑向值分別為r1A和r1B,對應(yīng)的方向角分別為θ1A和θ1B。由于o2B=o2A,由余弦定理知:

圖2 最小區(qū)域圓的搜索算法

由式(7)可求得s值,從而可得o2點坐標(biāo)值:

將評定中心由o1移至o2,經(jīng)坐標(biāo)換算,得各測點以o2點為坐標(biāo)原點的新坐標(biāo)系下的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)。設(shè)經(jīng)過坐標(biāo)變換后,A,B仍然是以o2為中心的兩最內(nèi)點,C,D是以o2為中心的兩最外點,且滿足內(nèi)外點相間的條件。再次移動o2至評定中心o3(x3,y3),使o3A=o3B,o3C=o3D。按初等數(shù)學(xué)定理,為滿足上述條件,o3點一定是AB和CD兩中垂線的交點。設(shè),AB的中點坐標(biāo)為(x m,y m),CD的中點坐標(biāo)為(x n,y n),則可求得AB的中垂線方程為:

CD的中垂線方程為:

將兩方程聯(lián)合解算,求得o3點坐標(biāo)。以o3為評定中心,判斷是否滿足最小區(qū)域法要求。如滿足,o3點即為最小區(qū)域法的最佳評定中心,否則,應(yīng)換點重復(fù)上述過程,直至找到滿足最小區(qū)域法要求的理想評定中心o3為止。

最小外接圓法和最大內(nèi)切圓法的計算也可通過類似方法求出[8-10]。

4 工程實例

依據(jù)上述算法編寫了相應(yīng)的拼裝環(huán)圓度誤差評定計算程序。用該程序?qū)δ暇┑罔F一號線某段實測數(shù)據(jù)進行評定,并與其他3種方法的評定結(jié)果比較(表1)。

表1 4種不同評定方法計算結(jié)果統(tǒng)計表

由表1可以看出,4種圓度誤差評定方法中,最小二乘法、最小區(qū)域法評定的圓心和半徑以及圓度誤差相差并不顯著,其中最小區(qū)域法評定誤差最小,和理論分析一致;而最小外接圓法和最大內(nèi)切圓法對不同斷面測量數(shù)據(jù),其評定結(jié)果大小沒有規(guī)律,兩者明顯偏大。此外,在實際擬合過程中,如果初始值選取不當(dāng),容易造成迭代計算發(fā)散。建議在在實際工作中對于每一組測量數(shù)據(jù)在生成斷面數(shù)據(jù)文件后先用最小二乘法計算中心坐標(biāo),然后采用本文提出的最小區(qū)域算法,這樣可取得較好效果。

5 結(jié) 語

隧道斷面測量后數(shù)據(jù)處理的方法有多種,常用的是最小二乘法。本文提出最小區(qū)域法計算圓心,其誤差最小,但在工程應(yīng)用中計算比較麻煩。若先用最小二乘法計算出中心坐標(biāo),然后采用本文提出的最小區(qū)域算法可取得較好效果。

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