鄭越, 泮斌峰, 唐碩, 王洋

(1.西北工業(yè)大學 航天學院, 陜西 西安 710072; 2.陜西省空天飛行器設計重點實驗室, 陜西 西安 710072)

低能耗是地月軌道轉移中需要考慮的重要問題。航天器在地月三體系統(tǒng)的混沌區(qū)域可以不耗費任何能量到達月球附近,但同時也導致地月軌道轉移耗時過長。因此,在利用混沌運動低能量特性的同時,如何有效減少軌道轉移時間是實現大規(guī)模、低成本探月活動的迫切需求,對我國探月工程的發(fā)展具有非常重要的意義。

目前采用混沌控制理論設計軌道的研究尚處于起步階段。Bollt等[1]通過搜索得到軌道在龐加萊截面圖上投影距離小于預定約束值的2個點,將2點之間的軌跡從軌道中截斷,并根據截斷點的穩(wěn)定方向和不穩(wěn)定方向,拼接出轉移軌道。Salazar等[2]增大了約束值,縮短了轉移時間,代價是轉移過程中需要非常大的能量。Macau[3]搜索分別從地球和月球附近出發(fā)的軌道,通過找出一組在龐加萊截面圖上投影距離非常接近的投影點,利用Bollt拼接穩(wěn)定方向與不穩(wěn)定方向的方法完成地月軌道轉移。Schroer等[4]將不穩(wěn)定周期軌道與向前-向后法相結合,實現地月軌道轉移。

為了減小地月轉移過程中所需要的能量,現有的混沌控制方法[1-4]都利用了軌道在龐加萊截面圖上的投影點的穩(wěn)定方向與不穩(wěn)定方向的交點,通過迭代減小實現軌道拼接所需要的能量。不足之處是這些方法都要求在龐加萊截面圖中存在軌道投影位置非常接近的點,然而采用同一軌道截斷[1-2]方法或不同軌道拼接[3-4]都不易滿足上述要求。對于同一軌道截斷的方法,需要軌道本身存在位置接近的投影點;而對于不同軌道拼接的方法,則需要在隨機搜索的基礎上找到投影點位置接近的點。此外,這種依靠投影點的穩(wěn)定方向與不穩(wěn)定方向交點的方法在兩投影點距離不足夠小的情況下成功率很低[5]。盡管利用周期軌道作為中間軌道[4]可以提高算法的成功率,但是需要完全依賴于周期軌道來實現地月軌道轉移。

針對現有混沌控制方法存在的依賴隨機搜索、周期軌道實現地月軌道轉移、成功率低等缺點,本文提出一種混沌多步控制方法來實現低能地月軌道轉移。該方法在總結地月快速轉移規(guī)律的基礎上,采用多步控制方法以盡可能減少航天器在混沌區(qū)域滑行時間,同時利用自適應粒子群優(yōu)化算法計算出每次對軌道進行控制時所需要的擾動。仿真結果表明,本文提出的方法在節(jié)省轉移時間的前提下,能夠有效地實現低能地月軌道轉移。

1 圓形限制性三體系統(tǒng)

1.1 動力學模型

航天器在地月系統(tǒng)中的飛行軌跡通常在圓型限制性三體問題(circular restricted three-body problem,CRTBP)動力學模型中模擬,CRTBP描述了質量可以忽略的航天器在地球和月球2個主天體的引力作用下的運動,其中主天體繞其公共質心做勻速圓周運動[6-8]。歸一化地球質量m1和月球質量m2之和為單位質量,則:

(1)

(2)

式中,Ω為旋轉坐標系下的等效勢能:

(3)

設矢量r1,r2為航天器到2個主天體的距離,有:

(4)

CRTBP系統(tǒng)中,存在雅可比積分如下:

(5)

在地月三體系統(tǒng)中,單位長度為地月之間的距離,L=3.844×105km,單位時間為T=104 h,單位速度為V=1 024 m/s。

1.2 常用坐標系的轉換

地月三體系統(tǒng)中常用的坐標系有地月質心旋轉坐標系、地月質心慣性坐標系和地心慣性坐標系。圖1描述了常用坐標系之間的關系,圖1a)為地月質心慣性坐標系(下標為I)與地月質心旋轉坐標系(下標為R)之間的關系,θ為慣性坐標系與旋轉坐標系的夾角;圖1b)為地月質心慣性坐標系(下標為I)與地心慣性坐標系(下標為EI)之間的關系。

圖1 坐標系的轉換

從地月質心旋轉坐標系到地月質心慣性坐標系的轉換關系為[9]:

(6)

(7)

(8)

(9)

所以從地月質心旋轉坐標系到地心慣性坐標系的轉換關系為:

(10)

2 地月低能軌道轉移方法

航天器在三體系統(tǒng)下常常呈現混沌運動狀態(tài),使航天器能夠在不耗能的情況下僅僅通過彈道捕獲至月球附近,但航天器在混沌區(qū)域的滑行時間也往往過長。由于混沌系統(tǒng)具有內在敏感性[10-12],表現為對系統(tǒng)施加小的擾動,會使系統(tǒng)偏離固有軌跡而運動。而混沌運動本身具有的內在隨機性和長期趨勢不可預見性增加了對其進行控制的難度,所以何時以及如何施加擾動,盡可能減少航天器在混沌區(qū)域的飛行時間是實現低能地月軌道轉移需要解決的問題。

本文通過航天器軌跡在地月質心旋轉坐標系和地心慣性坐標系的對比分析,找出通過月球的彈道捕獲[13-14]減少航天器在混沌區(qū)域滑行時間的規(guī)律;根據這個規(guī)律將航天器每次與月球接近的點作為控制點,設計出一種通過多步控制來實現的地月低能軌道轉移方法;最后利用自適應粒子群優(yōu)化算法計算每一步控制所需要的擾動。

2.1 軌跡分析

航天器能夠在不耗能的情況下僅僅通過彈道捕獲到達月球附近。航天器在地月三體系統(tǒng)下不耗費任何能量的滑行過程可以認為是在地球和月球共同作用下的結果,地月軌道轉移則是航天器每次靠近月球時通過月球的彈道捕獲最終滑行至月球附近的過程,而如何有效利用月球的彈道捕獲是實現低能地月軌道轉移首先要考慮的問題。

地月低能轉移是航天器從近地周期軌道出發(fā)飛行至近月周期軌道的過程。為了減少轉移中所消耗的能量,一般選擇雅可比能量略大于CL1=3.188 3的能量。圖2為雅可比能量C=3.179 48下的龐加萊截面圖[15],龐加萊截面圖中存在由環(huán)狀結構組成的KAM環(huán)區(qū)域和由雜亂點組成的混沌區(qū)域。平動點L1[16]將地月系統(tǒng)分為地球引力區(qū)和月球引力區(qū),航天器在混沌區(qū)域能夠不消耗任何能量從地球引力區(qū)通過平動點L1滑行至月球引力區(qū)進而到達月球附近,但同時導致航天器在地球引力區(qū)的混沌區(qū)域滑行時間過長。航天器在地月系統(tǒng)的地球引力區(qū)的滑行過程是一個在動力作用下遠離地球,而在地球引力作用下速度逐漸變小而再向地球附近滑行的一個往復過程。分別定義初始點在地月連線上(離地球 距 離 遞 增, 分 別 為 0.135 106 485 040 224,

0.161 974 247 434 113,0.184 885 116 403 981),初始速度垂直上穿橫軸的一組軌道為軌道a、軌道b、軌道c。如圖3所示,圖3a)～圖3c)分別為軌道a、軌道b、軌道c在地月質心旋轉坐標系和地心慣性坐標系下的對比圖?？梢钥闯?隨著軌道初始位置從地球附近向月球方向靠近,航天器一個往復過程的軌跡在地月質心旋轉坐標系和地心慣性坐標系下的形狀也隨之改變?？梢园l(fā)現,航天器遠離和靠近地球的一個往復過程在慣性坐標系下的運行軌跡近似于一個橢圓。圖3d)為軌道a、軌道b、軌道c在地心慣性坐標系的軌跡對比,當航天器近地點離地球較近時,其橢圓軌跡具有較大的偏心率,當航天器軌跡近地點離地球較遠時,其橢圓軌跡具有較小的偏心率,而隨著橢圓軌跡偏心率增大到一定程度,航天器可以克服地球引力穿過L1瓶頸區(qū)域受月球引力作用而到達月球附近。

基于分析可知,航天器在地月系統(tǒng)滑行的過程中, 每次接近月球時受到月球的影響最大,可以改變其運行軌跡。當航天器所受到的影響使其飛行軌跡的近地距離減小時,會造成飛行時間的增加,而當航天器所受到的影響使其飛行軌跡的近地距離增大時,航天器可能在下一次脫離地球引力而滑行至月球附近。

圖2 地月系統(tǒng)龐加萊截面圖

圖3 航天器位于不同初始值的軌道

2.2 算法流程

在對地月系統(tǒng)下航天器軌跡的分析的基礎上,本文設計了一種低能軌道轉移方法,其算法流程如圖4所示。

圖4 地月軌道轉移方法

該方法通過多步控制,對每次航天器接近月球時的控制點施加速度方向的小擾動。擾動的大小選擇在預設最大擾動范圍內,能夠在施加控制后使軌跡最優(yōu)的速度增量。判斷最優(yōu)軌跡的標準是當航天器下一次與月球接近時如果能到達月球附近,則選擇在龐加萊截面圖上最靠近月球附近的KAM環(huán)的軌跡作為最優(yōu)軌跡;當航天器下一次與月球接近時如果不能到達月球附近,則選擇近地點離地球最遠的軌跡作為最優(yōu)軌跡。本文方法通過對航天器在混沌區(qū)域的軌道實施多次控制找出每次的最優(yōu)擾動量,直到軌跡可以運行至月球附近。而航天器軌跡近地距離的增大可以使其在混沌區(qū)域的滑行時間減少,所以為了盡量減少地月低能轉移時間,本方法要求航天器到達月球附近前每次與月球接近時的近地點呈遞增趨勢。

2.3 擾動計算

通過每次航天器運行軌道與月球轉動位置非常接近時,施加小的擾動可以使軌道運行狀態(tài)發(fā)生很大改變已達到減少航天器在混沌區(qū)域的滑行時間而盡快飛行至月球附近的目的,而擾動的大小可以由自適應粒子群優(yōu)化算法(adaptive particle swarm optimization,APSO)計算得到。

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)是一種通過觀察鳥類覓食行為啟發(fā)而得到的進化算法[17-18]。PSO算法保留了基于種群的全局搜索策略,只是采用簡單的速度位移模式,通過對個體最優(yōu)和全局最優(yōu)的記憶使其可以動態(tài)追蹤當前的搜索情況以調整其搜索策略,具有較強的全局收斂能力和魯棒性。APSO算法通過對慣性權值的自適應調整,能夠保證粒子具有很好的全局搜索能力和較快的收斂速度。

APSO算法的流程如圖5所示。

圖5 自適應粒子群優(yōu)化算法

設在一個S維的目標搜索空間中,有m個粒子組成一個群體,每個粒子表示為一個n維的向量,APSO算法的2個主要操作是速度和位移方程,在粒子尋優(yōu)過程中,第i個粒子第s維向量的運動軌跡描述如下:

(11)

式中,c1和c2為學習因子,是非負常數,r1s和r2s服從[0,1]上的均勻分布的隨機數,vis是粒子的速度,vis∈[vmin,vmax],vmin和vmax分別表示粒子速度的下限和上限。pis為局部最優(yōu)位置,是第i個粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置,pgs為全局最優(yōu)位置,ω是慣性權值,滿足:

(12)

式中，f為粒子的適應度值,由每個粒子的位置決定,根據適應度值的大小衡量解的優(yōu)劣。favg為平均適應度值,fmin為最優(yōu)適應度值(最優(yōu)適應度值的選擇根據具體問題調整)。最后通過每個粒子的適應度值調整局部和全局最優(yōu)位置直到滿足終止條件。

APSO算法的終止條件根據具體問題取最大迭代次數或粒子群搜索到的最優(yōu)位置滿足的預定最小適應閾值。本文方法利用最大迭代次數,在軌道未到達月球附近時,選擇導致軌道近地點離地球最遠的擾動為最佳擾動,而當軌道可以到達月球附近時,選擇能夠使軌道到達離與月球附近擬周期軌道最近的擾動作為最優(yōu)擾動。

3 數值驗證

地月軌道轉移就是對地球附近的周期軌道上的航天器施加沖量,使其飛行至月球附近,然后再對其施加沖量使其繞月飛行。在地月三體系統(tǒng)中,選擇圖2中距離地心59 669 km的圍繞著地球旋轉的周期軌道上的點P作為地月轉移軌道的初始點,在雅可比能量C=7.172 18時航天器通過P點圍繞著地球做周期運動(由于參數精度選擇有差異,本文所得到的周期軌道雅可比能量與文獻[1-4]中的C=7.173 8不一致),施加一個平行的推力使航天器進入混沌區(qū)域。此時系統(tǒng)雅可比能量為C=3.179 48,這要求速度的改變ΔVP=748 m/s(文獻[1-4]中ΔVP=744.4 m/s)。如圖3所示,點P包圍在混沌區(qū)域內,當軌道轉移到月球附近并距離月球附近的KAM環(huán)很近時,便可以通過一個很小的推力使軌道流形進入KAM環(huán)的邊緣而繞月運動。

當系統(tǒng)雅可比能量C=3.179 48,航天器在不施加外力的情況下從龐加萊截面圖上的P點滑行到月球附近需約27年的時間。在數年的滑行過程中,航天器并未長時間停留在月球附近,而是在月球附近飛行數圈后便很快遠離。圖6為航天器在系統(tǒng)雅可比能量C=3.179 48下從P點自由滑行的軌跡。

圖6 P點出發(fā)到月球附近的軌道流形

根據圖2的龐加萊截面圖,本文計算了在不同擾動值下,從P點出發(fā)飛行至離月球附近KAM環(huán)極近、距離月心13 970 km的T點的地月轉移軌跡。設置APSO算法中的學習因子c1=c2=2, 慣性權值ωmax=0.9,ωmin=0.6。設置控制軌跡能夠到達距離T點的精度為0.01,則通過4 m/s的速度增量便可以使軌道流形進入KAM環(huán)的邊緣而繞月運動。圖7為本文方法所完成的地月軌道轉移,圖7a)～d)對控制點施加速度方向的擾動量的最大值分別設置為0.006 3,0.07,0.16,0.2。表1分別列出軌道轉移所需的擾動次數、轉移時間、以及軌道轉移過程中所需要的總的速度增量。

表1 地月軌道轉移的需用擾動、速度增量和飛行時間

圖7 地月轉移軌道

由仿真結果可見,擾動窗口較大時,地月軌道轉移所需要的擾動次數相對較少,轉移時間較短;而擾動窗口較小時,地月軌道轉移所需要的擾動次數相對較多,轉移時間也較長。文獻[1-4]中,所需要的轉移時間最短為284 d,所需要的速度增量為ΔV=767.8 m/s(見文獻[3]),本文所得到的轉移軌道均比284 d短,其中,圖7a)所需要的速度增量僅略大于文獻[3]在轉移過程中所需要的速度增量,在耗能較小的前提下顯著縮短了地月軌道轉移時間。

4 結 論

本文通過對航天器在地月三體模型下軌跡運行規(guī)律的分析,利用APSO算法計算航天器每次接近月球時的擾動,通過多步控制,在有效減少航天器在混沌區(qū)域游蕩時間的基礎上完成地月低能軌道轉移。該方法避免了隨機大量的搜索,也不需要依靠周期軌道等中間軌道,能夠在保證用時短,耗能小的前提下得出地月轉移軌道。本文方法是通過對每次航天器與月球接近時施加擾動,通過在預先設定的擾動范圍內找出每次施加擾動后的局部最優(yōu)軌跡,進而在盡可能節(jié)省時間的前提下完成地月低能軌道轉移。下一步的工作是如何在綜合用時短和耗能小的前提下確定全局最優(yōu)轉移軌道的標準,并通過相應的擾動值完成最優(yōu)地月軌道轉移。

[1] Bollt E M, Meiss J D. Targeting Chaotic Orbits to the Moon through Recurrence[J]. Physics Letters A, 1995, 204(5/6):373-378

[2] Salazar F J T, Macau E E N, Winter O C. Chaoic Dynamics in a Low-Energy Transfer Strategy to the Equilateral Equilibrium Points in the Earth-Moon System[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2015, 25(5):1550077

[3] Macau E E N. Using Chaos to Guide a Spacecraft to the Moon[J]. Acta Astronautica, 2000, 47(12): 871-878

[4] Schroer C G, Ott E. Targeting in Hamiltonian Systems That Have Mixed Regular/Chaotic Phase Spaces[J]. Chaos, 1997, 7(4):512-519

[5] Bollt E M, Meiss J D. Controlling Chaotic Transport through Recurrence[J]. Physica D Nonlinear Phenomena, 1995, 81(3):280-294

[6] Szebehely V, Jefferys W H. Theory of Orbits: the Restricted Problem of Three Bodies[J]. American Journal of Physics, 1968, 36(4):375-375

[7] Koon W S, Lo M W, Marsden J E, et al. Dynamical Systems, the Three-Body Problem and Space Mission Design[M]. New York, Springer-Verlag, 2007

[8] 劉林. 航天器軌道理論[M]. 國防工業(yè)出版社, 2000

Liu Li. Orbit Theory of Spacecraft[M]. Beijing, National Defence Industry Press, 2000: 452-462 (in Chinese)

[9] 張文博. 循環(huán)飛行方案的軌道設計與優(yōu)化[D]. 北京理工大學, 2015. 26-28

Zhang Wenbo. Trajectory Design and Optimization for Cycler Architecture[D]. Beijing, Beijing Institute of Technology, 2015: 26-28

[10] 胡崗,蕭井華,鄭志剛. 混沌控制[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔? 2000: 24-27

Hu Gang, Xiao Jinhua, Zheng Zhigang. Chaos Control[M]. Shanghai, Shanghai Science and Technology Education Publishing House, 2000: 24-27 (in Chinese)

[11] Strogatz Steven H. Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering[M]. Perseus Books Publishing, 2000: 285-455

[12] Lai Y C, Tél T. Transient Chaos: Complex Dynamics on Finite-Time Scales[M]. USA, Springer, 2011: 187-237

[13] Hyeraci N, Topputo F. A Method to Design Ballistic Capture in the Elliptic Restricted Three-Body Problem[J]. Journal of Guidance Control & Dynamics, 2010, 33(6):1814-1823

[14] Belbruno E, Topputo F, Gidea M. Resonance Transitions Associated to Weak Capture in the Restricted Three-Body Problem[J]. Advances in Space Research, 2008, 42(8):1330-1351

[15] Jung C. Poincare Map for Scattering States[J]. Journal of Physics a General Physics, 1998, 19(8):1345-1353

[16] 孟云鶴,張躍東,陳琪鋒. 平動點航天器動力學與控制[M]. 北京：科學出版社, 2014: 24-27

Meng Yunhe, Zhang Yuedong, Chen Qifen. Dynamics and Control of Spacecraft near Libration Points[M]. Beijing, Science Press, 2014: 24-27 (in Chinese)

[17] Kennedy J, Eberhart R. Particle Swarm Optimization[C]∥IEEE International Conference on Neural Networks, 1995

[18] 方群, 徐青. 基于改進粒子群算法的無人機三維航跡規(guī)劃[J]. 西北工業(yè)大學學報, 2017, 35(1):66-73

Fang Qun, Xu Qin. 3D Route Planning for UAV Based on Improved PSO Algorithm[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2017, 35(1):66-73 (in Chinese)