白博, 周軍, 王圣允

(西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所, 陜西 西安 710072)

立方星(CubeSat)的概念最早由加州理工大學(xué)San Luis Obispo教授和斯坦福大學(xué)Bob Twiggs教授共同提出并制定了立方星相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)[1]?！?U”立方星是以一個(gè)邊長(zhǎng)10 cm的立方體作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單元。在此基礎(chǔ)上，立方星可進(jìn)行升級(jí)，增大為“2U”(20 cm×10 cm×10 cm)至“12U”(30 cm×20 cm×20 cm)的結(jié)構(gòu)[2]。其設(shè)計(jì)理念是通過標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)，減少衛(wèi)星的研發(fā)制造成本[3]。

其中，磁力矩器作為衛(wèi)星姿態(tài)控制的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，由于其結(jié)構(gòu)輕便、成本低、功耗小等優(yōu)勢(shì)，在地磁場(chǎng)強(qiáng)度較強(qiáng)的近地軌道衛(wèi)星上應(yīng)用十分廣泛[4-6]。根據(jù)是否含有磁介質(zhì)，磁力矩器可分為帶磁芯的磁力矩器[7]與空芯磁力矩器2大類[8]。

目前，國(guó)際上已經(jīng)有很多磁力矩器的現(xiàn)成產(chǎn)品。例如，南非的CubeSpace公司生產(chǎn)的帶芯磁力矩器，它可以產(chǎn)生較大的磁矩，然而如果三軸同時(shí)使用這種磁力矩器，將占用立方星較大的體積。荷蘭Hyperion Technologies生產(chǎn)的帶芯磁力矩器，它通過加粗其中一個(gè)軸的直徑來(lái)彌補(bǔ)磁芯變短產(chǎn)生的力矩降低。空芯線圈也可以產(chǎn)生磁力矩。文獻(xiàn)[9]介紹了TUGSAT-1衛(wèi)星上使用的空芯磁力矩器，其缺點(diǎn)是產(chǎn)生的磁矩較小。文獻(xiàn)[10]介紹了荷蘭代爾夫特理工大學(xué)研制的Delfi-n3Xt立方星磁力矩器，它采用了2根帶芯磁力矩器與1套空心磁力矩器。

而將磁力矩器應(yīng)用于立方星上時(shí)，由于需要遵循立方星的標(biāo)準(zhǔn)，因此需要在一定尺寸與功耗的限制下進(jìn)行磁力矩器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[11]雖然對(duì)空芯磁力矩器的磁矩、質(zhì)量、功耗與各物理量之間的關(guān)系進(jìn)行了推導(dǎo)，但并未考慮各物理量在一定約束條件下的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。馮乾等人在文獻(xiàn)[12]中，針對(duì)空芯磁力矩器給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，但該文獻(xiàn)將質(zhì)量與功耗作為了設(shè)計(jì)的限制，而未作為設(shè)計(jì)目標(biāo)來(lái)考慮，且未考慮隨著線圈的纏繞所導(dǎo)致面積增大的問題。本文將綜合考慮空芯磁力矩器的質(zhì)量、功耗與磁矩等因素，使得在有限功耗和尺寸的情況下，能夠獲得最大的磁矩輸出，從而能夠更好地應(yīng)用于體積與功耗都有限的立方星中。

本文首先建立了空芯磁力矩器的磁矩與功耗模型，并分析了各因素對(duì)磁力矩器設(shè)計(jì)的影響。對(duì)功耗、質(zhì)量、磁矩進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后針對(duì)所設(shè)計(jì)的參數(shù)制作了實(shí)際的磁力矩器，并對(duì)實(shí)物進(jìn)行了測(cè)試，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的可行性與有效性。

1 模型建立

1.1 磁矩模型

空芯磁力矩器一般是用漆包線纏繞出一個(gè)閉合形狀的線圈制成。由于不存在磁性材料，空芯磁力矩器的磁矩M與真空中載流線圈的磁矩是一致的，定義為總電流與其圍繞面積的乘積，

M=NIA(1)

式中，I為通過漆包線的電流；N為所繞漆包線總的匝數(shù)；A為漆包線所圍繞的閉合形狀的面積。

為了適應(yīng)立方星尺寸的需要，空芯線圈所圍繞的形狀一般為正方形，假設(shè)線圈圍繞在如圖1所示的一個(gè)方形支座上。

圖1 空芯磁力矩器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖中，a1與a2分別為方形支座的內(nèi)部和外部邊長(zhǎng)；h為方形支座可繞線部分的高度；rw為漆包線的半徑；I為通過漆包線的電流。

若假設(shè)漆包線是一個(gè)挨一個(gè)緊密排列在支座上，且當(dāng)繞滿一層后，漆包線仍可以在底層上再繞多層，每層之間的漆包線也是一個(gè)挨著一個(gè)緊密排列。當(dāng)在方形支座上繞了n層漆包線后，所繞漆包線總的匝數(shù)N可由下式計(jì)算得出：

(2)

由于漆包線是密繞的,因此層數(shù)n可由a1、a2以及rw計(jì)算得到

(3)

考慮到繞在支座上第1層漆包線的一圈周長(zhǎng)為4(a1+4rw),緊挨著這一層上邊第2層漆包線的一圈周長(zhǎng)為4(a1+8rw),依此類推,繞在最外邊第n層漆包線的一圈周長(zhǎng)為4(a1+4nrw),同時(shí)考慮到每層都有N/n圈漆包線,則漆包線的總長(zhǎng)Lw為:

(4)

將以上線圈總匝數(shù)N與層數(shù)n分別代入(4)式,可得到僅由h,a1,a2以及rw表示的漆包線總長(zhǎng)Lw為:

(5)

若假設(shè)所繞漆包線的電阻率為ρ,橫截面面積為Sw，則所繞漆包線的總電阻R為:

(6)

假設(shè)在線圈兩端所施加的電壓為U,則通過漆包線的電流I為

(7)

考慮到隨著漆包線圍繞層數(shù)的增加,線圈的圍繞面積會(huì)逐漸增大,如果簡(jiǎn)單地按照公式(1)磁矩的定義來(lái)進(jìn)行計(jì)算,則最終所計(jì)算的磁矩會(huì)偏小。考慮磁矩按照漆包線一圈一圈地加和,則磁矩M可按照下式計(jì)算:

+(a1+4nrw)2]=

(8)

由(8)式可以較容易看出,空芯線圈的磁矩與繞線支座的高度h無(wú)關(guān);增大支座的外部邊長(zhǎng)a2,線圈包圍面積增大,則磁矩變大。假設(shè)采用a2=0.07 m的支座,則在U=5 V的情況下,磁矩隨著漆包線半徑rw與支座內(nèi)邊長(zhǎng)a1的變化關(guān)系可由圖2看出。

圖2 磁矩隨漆包線半徑與支座內(nèi)邊長(zhǎng)的變化趨勢(shì)

由圖中可以看出,當(dāng)支座內(nèi)邊長(zhǎng)a1一定時(shí),漆包線的半徑rw越粗,磁矩就越大;當(dāng)漆包線半徑rw一定時(shí),支座內(nèi)邊長(zhǎng)a1的增加雖然也會(huì)使得磁矩增大,但增加量比較小。

由此可見,在電壓一定的情況下,增大漆包線半徑rw、增大支座內(nèi)部與外部的邊長(zhǎng)等措施都會(huì)使得磁矩增大。但對(duì)于質(zhì)量、體積和功耗都有限的立方星來(lái)說(shuō),增大磁矩意味著功耗的增加,因此,仍需要考慮影響質(zhì)量與功耗的因素。

1.2 質(zhì)量模型

當(dāng)僅考慮漆包線的質(zhì)量時(shí),假設(shè)漆包線的密度為γ,則由導(dǎo)線長(zhǎng)度Lw與導(dǎo)線橫截面積Sw,可求得漆包線的質(zhì)量Mw為

(9)

由(9)式可見,增大漆包線半徑rw、增大支座外部邊長(zhǎng)a2、減小支座內(nèi)部邊長(zhǎng)a1、增大繞線支座的高度h等措施會(huì)使得漆包線質(zhì)量增加。

1.3 功耗模型

由電壓U與電阻R,可得功耗P

(10)

由(10)式可見,在電壓一定的情況下,增大漆包線半徑rw、增大支座內(nèi)部邊長(zhǎng)a1等措施雖然會(huì)使磁矩增大,同時(shí)也會(huì)使得功耗增加。

因此要想在立方星有限的體積和功耗限制下,設(shè)計(jì)出磁矩較大的空芯磁力矩器,需要綜合考慮各量之間的平衡。

2 多目標(biāo)優(yōu)化

2.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)

由以上分析可以看出,空芯磁力矩器在設(shè)計(jì)過程中,各個(gè)變量之間相互制約,單純追求一個(gè)變量的最大化將導(dǎo)致其他變量惡化。因此,為了平衡各個(gè)變量,使磁力矩器整體達(dá)到最佳工作狀態(tài),需要對(duì)空芯的磁力矩器進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。

選取支座內(nèi)邊長(zhǎng)a1、漆包線半徑rw、支座可繞線部分高度h、支座外邊長(zhǎng)a2這4個(gè)量為多目標(biāo)優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量。用向量表示為:

(11)

考慮到立方星1U空間的尺寸限制,按照最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為70 mm的限制,同時(shí)考慮高度約束為8 mm,則這幾個(gè)量需滿足以下約束條件:

0.02≤a1

(12)

0.000 05≤rw≤0.000 5,0.001≤h≤0.008

(13)

優(yōu)化目標(biāo)是使得線圈質(zhì)量Mw與功耗P均較小的情況下,使得磁矩M較大。由于這3個(gè)目標(biāo)是相互矛盾的,需要同時(shí)對(duì)這3個(gè)物理量進(jìn)行優(yōu)化,因此選取如下的目標(biāo)函數(shù):

(14)

采用遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最小化的尋優(yōu),經(jīng)過250次迭代后,可得目標(biāo)函數(shù)F(X)的變化情況如圖3所示。

圖3 目標(biāo)函數(shù)變化情況

從圖中可知,得到適應(yīng)度F的最小值為3.192,對(duì)應(yīng)各參數(shù)為:h=0.007 99 m、a1=0.033 90 m、rw=0.000 200 m、a2=0.069 97 m。按照該參數(shù)計(jì)算可得磁力矩器輸出磁矩M1=0.497 8 Am2,功耗P1=0.972 4 W,質(zhì)量Mw1=0.210 9 kg。

2.2 線圈實(shí)現(xiàn)

根據(jù)上一節(jié)所求得各物理參數(shù)的最優(yōu)值,選取符合工程實(shí)際的物理量。則最終空芯磁力矩器實(shí)現(xiàn)的參數(shù)如表1所示。

表1 磁力矩器實(shí)現(xiàn)參數(shù)

3 測(cè)試結(jié)果與分析

由于缺乏直接測(cè)量磁矩的方法和手段,因而在測(cè)試中采用文獻(xiàn)[12]所給出的方法,間接測(cè)量線圈中心處所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。隨后通過磁感應(yīng)強(qiáng)度反推出磁矩。

3.1 測(cè)試方案

根據(jù)方形通電線圈中心位置處的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式

(15)

式中,μ0=4π×10-7N/A2為真空中的磁導(dǎo)率,其他各量與上文定義一致。將(15)式右側(cè)同時(shí)乘以線圈包圍的面積,則可得到磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁矩之間的關(guān)系如(16)式所示

(16)

由(16)式可知，磁矩的測(cè)量將轉(zhuǎn)換為在線圈中心位置處磁感應(yīng)強(qiáng)度的測(cè)量。

3.2 測(cè)試結(jié)果

具體測(cè)量的電壓與磁矩的數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 磁力矩器磁矩測(cè)量數(shù)據(jù)

將電壓與磁矩的關(guān)系繪制成曲線如圖4所示，具體測(cè)量的功耗數(shù)據(jù)如表3所示，由表中可以看出，所設(shè)計(jì)的磁力矩器在產(chǎn)生0.502 9 Am2磁矩的同時(shí)，功耗僅為0.969 W，且線性度誤差小于1%。磁力矩器磁矩的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論值的誤差小于1.1%，剩磁矩小于0.001 Am2。

圖4 電壓與磁矩的關(guān)系

電壓/V電流/A功耗/W0．9970．0390．0391．9960．0770．1542．9950．1160．3473．9930．1540．6154．9960．1940．969電壓/V電流/A功耗/W-0．996-0．0390．039-1．993-0．0770．153-2．997-0．1160．348-3．990-0．1550．618-4．994-0．1930．964

圖5 翱翔之星上的磁力矩器工作情況

本文所設(shè)計(jì)的磁力矩器已經(jīng)在包括世界首顆12U立方星“翱翔之星”等多顆立方星上得到了應(yīng)用。圖5為“翱翔之星”上磁力矩器的工作情況。由圖中可以看出，磁力矩器在立方星初期入軌消旋階段工作比較頻繁，后期立方星姿態(tài)穩(wěn)定后工作頻次有所減緩。磁力矩器在整個(gè)衛(wèi)星的生命周期內(nèi)運(yùn)行穩(wěn)定良好，證明了設(shè)計(jì)方案的正確性和可行性。

4 結(jié) 論

通過本文的分析，可以得到如下的結(jié)論：

1) 空芯磁力矩器所產(chǎn)生的磁矩不僅與所纏繞的漆包線直徑有關(guān)，還與線圈的圍繞面積有關(guān)。因此，在設(shè)計(jì)空芯磁力矩器時(shí)需要進(jìn)行綜合考慮。

2) 當(dāng)需要滿足立方星的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，磁矩、功耗與質(zhì)量是互相矛盾的物理量，需要采用多目標(biāo)優(yōu)化的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。最終從磁力矩器的具體實(shí)現(xiàn)和測(cè)試結(jié)果可以看出，本文所設(shè)計(jì)的磁力矩器質(zhì)量輕、功耗小、剩磁小。這對(duì)于設(shè)計(jì)適合于立方星使用的磁力矩器提供了一些有益的參考。

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