“引進(jìn)一個(gè)新的數(shù)，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律.”“數(shù)與式”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.本文重現(xiàn)課本中的經(jīng)典例題，結(jié)合中考中出現(xiàn)的題型，幫助大家體會(huì)幾種簡(jiǎn)單方法為研究相關(guān)問(wèn)題帶來(lái)的方便，同時(shí)，也體現(xiàn)了數(shù)式通性.

一、算理的一致性

1.法則一致.

例1 計(jì)算：[76]×[16-13]×[314]÷[35].

解：原式=[76]×[16-26]×[314]÷[35]

=[76]×[-16]×[314]×[53]

=[-736]×[514]=[-572].

例2 計(jì)算：[x+2x2-2x-x-1x2-4x+4]÷[x-4x].

解：原式=[x+2xx-2-x-1x-22]·[xx-4]

=[x+2x-2-x-1xxx-22]·[xx-4]

=[x2-4-x2+xx-22x-4]=[1x-22].

有理數(shù)的運(yùn)算順序與代數(shù)式的運(yùn)算順序具有一致性，先乘方、再乘除、后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里的.

2.運(yùn)算律一致.

例3 計(jì)算：[14+16-12]×12.

解：原式=[14]×12+[16]×12-[12]×12

=3+2-6=-1.

例4 計(jì)算：（[23]ab2-2ab）·[12]ab.

解：原式=[23]ab2·[12]ab-2ab·[12]ab

=[13]a2b3-a2b2.

有理數(shù)的乘法分配律可直接作為單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，將多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)看作有理數(shù)運(yùn)算中的一個(gè)具體的數(shù)，再與單項(xiàng)式相乘，體現(xiàn)了運(yùn)算律在代數(shù)式運(yùn)算和有理數(shù)運(yùn)算中都是適用的.

3.公式一致.

例5 計(jì)算：（[5]-[2]）2-（[5]-[2]）（[5]

+[2]）.

方法一：原式=[5]2-2·[5]·[2]+[2]2-（[5]2-[2]2）=5-[210]+2-5+2=4-[210].

方法二：原式=（[5]-[2]）[（[5]-[2]）-（[5]+[2]）]=-（[5]-[2]）·[22]=4-[210].

例6 計(jì)算：（2a-b）2-（2a-b）（2a+b）.

方法一：原式=（2a）2-2·2a·b+b2-[（2a）2-b2]=4a2-4ab+b2-4a2+b2=2b2-4ab.

方法二：原式=（2a-b）[（2a-b）-（2a+b）]=

-（2a-b）·2b=2b2-4ab.

例5、例6也體現(xiàn)了乘法公式在二次根式運(yùn)算和整式運(yùn)算中運(yùn)用方式的一致性.

例7 計(jì)算：（[12]+[20]）+（[3]-[5]）.

解：原式=[23]+[25]+[3]-[5]

=[33]+[5].

思考：[3]與[5]能合并嗎？

拓展：假定所有的a>0，

根據(jù)公式：am×am=am+m=a2m.

∵[12]+[12]=1，∴[a12]×[a12]=a.

又∵[a]×[a]=a，∴[a]=[a12].

例8 計(jì)算：2x2y-3xy2+[14]x2y.

解：原式=（2+[14]）x2y-3xy2=[94]x2y-3xy2.

思考：x2y與xy2能合并嗎？

二次根式的加減，就是合并同類(lèi)二次根式的運(yùn)算過(guò)程，整式的加減，就是合并同類(lèi)項(xiàng)的過(guò)程.例8中字母指數(shù)不同，不能合并.根據(jù)拓展中的內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，例7中[3]與[5]的指數(shù)都是[12]，底數(shù)3與5不相同，故不是同類(lèi)二次根式.從運(yùn)算法則的角度，數(shù)與式的運(yùn)算公式是相同的.

二、思想的一致性

1.整體思想.

例9 求代數(shù)式5（x-2y）-3（x-2y）+8（x-2y）-4（x-2y）的值，其中x=[12]，y=[13].

解：設(shè)（x-2y）=a，原式=5a-3a+8a-4a=6a.

當(dāng)x=[12]，y=[13]時(shí)，a=x-2y=[12]-2×[13]=[-16].

原式=6a=6×（[-16]）=-1.

例10 計(jì)算：（1-[12]-[13]-[14]-[15]）（[12]+[13]+[14]+[15]+[16]）-（1-[12]-[13]-[14]-[15]-[16]）（[12]+[13]+[14]+[15]）.

解：設(shè)A=[12]+[13]+[14]+[15]，

原式=（1-A）（A+[16]）-（1-A-[16]）·A

=A+[16]-A2-[16]A-A+A2+[16]A=[16].

例9為整體思想的教學(xué)，例10為南京市中考題.整體思想能幫助我們更簡(jiǎn)便地解決一些問(wèn)題.

2.數(shù)形結(jié)合、式形結(jié)合.

例11 計(jì)算：[12]+[14]+[18]+……+[12n].

【解析】解決本題應(yīng)該先弄明白[12]+[14]+[18]+……+[12n]的幾何意義，由于本問(wèn)題具有一般性，建議從特殊到一般，即先研究[12]+[14]+[18]的幾何意義.如圖1，可以利用線段或面積進(jìn)行直觀刻畫(huà)，[12]+[14]+[18]的幾何意義為AC=AB-BC=1-[18]=[78]，也可以利用面積為1的正方形面積減去白色區(qū)域的面積即1-[18]=[78]，再回到一般[12]+[14]+[18]+……+[12n]=1-[12n].

例12 求代數(shù)式[x2+9]+[6-x2+25]的最小值.

【解析】本問(wèn)題可以聯(lián)想在數(shù)軸上找[5]對(duì)應(yīng)的點(diǎn).要想解決本問(wèn)題，先研究幾何意義，就是以1和2為直角邊的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)度.根據(jù)[5]的幾何意義去聯(lián)想[x2+9]的幾何意義，再進(jìn)一步思考[6-x2+25]的幾何意義，從而構(gòu)建代數(shù)式[x2+9]+[6-x2+25]整體的幾何意義.如圖2，先以x和3為直角邊構(gòu)造Rt△ABC，滿(mǎn)足∠C=90°，AC=3，CB=x，再延長(zhǎng)CB到D，使得CD=6，BD就是6-x，再構(gòu)造Rt△BDE，滿(mǎn)足DE=5，這樣原代數(shù)式的幾何意義就是AB+BE的長(zhǎng)度，當(dāng)A、B、E三點(diǎn)共線時(shí)AB+BE最短，即為AE的長(zhǎng)度，利用平移化歸Rt△AFE，由勾股定理得AE為10.

圖2

（作者單位：江蘇省南京市共青團(tuán)路中學(xué)）