傅玉

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.我們在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉與積累，這有助于提升自身的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、整體思想

整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理.

例1 已知整式x2-[52x]的值為6，求2x2-5x+6的值.

解：∵2x2-5x+6=2（x2-[52x]）+6，

且x2-[52x]=6，

則2x2-5x+6=2×6+6=18.

【點(diǎn)評】本題是一道代數(shù)式求值的問題.觀察代數(shù)式x2-[52x]和代數(shù)式2x2-5x+6，二次項(xiàng)的系數(shù)分別是1、2，一次項(xiàng)系數(shù)分別是[-52]、-5，它們之間都存在相同的倍數(shù)關(guān)系，即2x2=2×x2、-5x=2×（[-52x]）.因此，可以將x2-[52x]看成一個(gè)整體.這樣的問題用整體思想解決充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.

二、分類思想

初中數(shù)學(xué)從數(shù)的研究開始就不斷滲透分類思想.因?yàn)?，通過分類，我們可以將相同屬性的事物放在一起研究，將不同屬性的事物分開研究.

例2 已知a，b是有理數(shù)，ab≠0，求[aa]+[bb]的值.

解：∵ab≠0，∴a≠0，b≠0.

當(dāng)a>0時(shí)，[aa]=1；當(dāng)a<0時(shí)，[aa]=-1；當(dāng)b>0時(shí)，[bb]=1；當(dāng)b<0時(shí)，[bb]=-1.①當(dāng)a>0，b>0時(shí)，[aa]+[bb]=1+1=2；②當(dāng)a>0，b<0時(shí)，[aa]+[bb]=1-1=0；③當(dāng)a<0，b>0時(shí)，[aa]+[bb]=-1+1=0；④當(dāng)a<0，b<0時(shí)，[aa]+[bb]=-1-1=-2.

綜上，[aa]+[bb]的值為2或0或-2.

【點(diǎn)評】本題的條件中只提供了a、b的取值范圍，由于a、b的取值有無數(shù)個(gè)，不能一一代入直接求值.考慮到絕對值的化簡取決于數(shù)的正負(fù)性，所以將a、b進(jìn)行分類，可以將無限個(gè)情況簡化為有限種類型，從而簡化問題.

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法，就是借助于數(shù)的精確性來描述豐富的圖形世界，達(dá)到“以數(shù)解形”的目的.借助幾何圖形的直觀性來理清數(shù)量之間的某種關(guān)系，達(dá)到“以形助數(shù)”的目的.

例3 現(xiàn)有若干張如圖1的正方形硬紙片A、B和長方形硬紙片C.

（1）小明利用這些硬紙片拼成了如圖2的一個(gè)新正方形，用兩種不同的方法，計(jì)算出了新正方形的面積，由此，他得到了一個(gè)等式： ；

（2）小明再取其中的若干張（三種紙片都取到）拼成一個(gè)面積為a2+nab+2b2長方形，則n可取的正整數(shù)值為 ，并請?jiān)趫D3位置畫出拼成的圖形；

（3）根據(jù)拼圖的經(jīng)驗(yàn)，請將多項(xiàng)式a2+4ab+3b2分解因式： .

【分析】（1）用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，一般來說可以用整體法和局部法.正方形的面積用邊長的平方計(jì)算，即（a+b）2；這個(gè)正方形還可以看成一張A、一張B、兩張C拼成，所以正方形面積還可以用四塊小圖形的面積和來計(jì)算，即a2+b2+2ab.從而得到（a+b）2=a2+b2+2ab.

（2）若用a2+nab+2b2表示一個(gè)長方形的面積，則說明這個(gè)長方形是由一張A、兩張B、n張C拼成的.因?yàn)橐粡圓、一張B、兩張C能拼成一個(gè)正方形（如圖4），那么再加一張B（如圖5），就需要再加一張C才能拼成長方形（如圖6）.所以n的正整數(shù)值為3.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，再添加一張B、一張C，可以得到如圖7的長方形，長為a+3b，寬為a+b.根據(jù)（1）的經(jīng)驗(yàn)，可得a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）.

【點(diǎn)評】我們知道任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以與數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)一一對應(yīng)，這樣的數(shù)形結(jié)合的思想也可以遷移到一些恒等式與圖形面積的對應(yīng)關(guān)系上來.分析這類問題首先要明確代數(shù)式中每一項(xiàng)可以表示什么樣的圖形面積，其次還要弄清這個(gè)代數(shù)式可以表示什么樣的圖形面積.將兩種圖形的面積統(tǒng)一起來，就可以直觀地解決問題了.

四、符號(hào)意識(shí)

符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性.建立符號(hào)意識(shí)有助于我們有條理地表達(dá)數(shù)學(xué)思考的過程.

例4 如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫縱坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中“→”方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）…根據(jù)這個(gè)規(guī)律，求第2017個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【分析】邊長為0的正方形，有1個(gè)點(diǎn)；邊長為1的正方形，有3個(gè)點(diǎn)；邊長為2的正方形，有5個(gè)點(diǎn)；…，∴邊長為n的正方形有（2n+1）個(gè)點(diǎn)，∴邊長為n的正方形邊上與內(nèi)部共有1+3+5+…+（2n+1）= （n+1）2個(gè)點(diǎn).∵2017=45×45-8，結(jié)合圖形即可得知第2017個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為45.

【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律題型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出“邊長為n的正方形邊上點(diǎn)與內(nèi)部點(diǎn)相加得出共有（n+1）2個(gè)點(diǎn)”.自發(fā)地用字母表示數(shù)，用代數(shù)式表示實(shí)際意義，是發(fā)展符號(hào)意識(shí)的最佳途徑.用符號(hào)表達(dá)問題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，既清晰又明了，自然地將問題簡化了.

（作者單位：江蘇省南京市寧海中學(xué)分校）endprint