葉 曉 林， 牟 俊， 王 智 森， 金 基 宇， 張 蕾， 劉 恩 萌

( 大連工業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

混沌理論是過去幾十年來蓬勃發(fā)展的一門關(guān)于非線性動力學(xué)系統(tǒng)的科學(xué)，混沌現(xiàn)象無處不在，尤其在信息安全等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛[1]。系統(tǒng)的復(fù)雜性是一個系統(tǒng)能否生成隨機(jī)序列的能力，而復(fù)雜度的大小取決于待測序列隨機(jī)程度。因此，近些年來科學(xué)界對關(guān)于混沌序列復(fù)雜度的算法問題越來越重視，各大研究機(jī)構(gòu)也爭相進(jìn)入到研究混沌理論的熱潮中。

算法復(fù)雜度一般可分為基于行為復(fù)雜度的算法(FuzzyEn算法[2-4]和SCM算法[5-6])和基于結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的算法(SE復(fù)雜度算法和C0復(fù)雜度算法)。時間序列復(fù)雜性越大，隨機(jī)性越大，序列能夠恢復(fù)成原序列越困難。所以在應(yīng)用混沌系統(tǒng)時，本身應(yīng)具有盡量大的復(fù)雜性，以確保擴(kuò)頻系統(tǒng)具有良好的抗干擾性和較強(qiáng)的抗截獲性。

在20世紀(jì)中后期，Kolmogorov等[7]提出了序列復(fù)雜度特性的概念，同時也創(chuàng)立了Kolmogorov 復(fù)雜度算法。因?yàn)楫?dāng)時科技的局限，不能通過計算機(jī)來驗(yàn)證是否正確，只是粗略地提出并沒有深入地研究。直到1976年，Lempel等[8]詳細(xì)闡明了Lempel-Ziv算法，該算法也是Kolmogorov復(fù)雜度算法的升華，在生物工程、氣象學(xué)和密碼學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。20世紀(jì)末，Pincus等[9]創(chuàng)建了復(fù)雜度特性值近似熵的算法(ApEn)。2002年，Bandt等[10]闡明了復(fù)雜性度量排列熵算法(PE算法)的優(yōu)越性。它作為ApEn算法的改良，在后來被科學(xué)界廣泛的應(yīng)用。

雖然Lempel-Ziv、ApEn、PE算法都可以準(zhǔn)確地表征連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性，但Lempel-Ziv算法僅僅對混沌序列的時間尺度簡單估計，能夠精確計算的也只有序列的長度大小，而且對于其非偽隨機(jī)序列部分也要用軟件來做細(xì)微處理；而ApEn算法處理不同嵌入維數(shù)的變化時，計算過程中涉及嵌入維數(shù)和分辨率參數(shù)問題，且得到的計算結(jié)果也受主觀因素的影響；在應(yīng)用PE算法時，計算結(jié)果受到很多因素的影響和限制。這3種算法在序列長度較短時計算速度較快，但當(dāng)數(shù)據(jù)的長度增加到一定量時，其運(yùn)算的速度隨之變慢，所以實(shí)用性較低。對比這3種算法，利用譜熵法(SE)和C0算法基于傅里葉變換(FFT)計算熵，不僅計算速度快且能更好地體現(xiàn)序列的相關(guān)結(jié)構(gòu)，同時也能更有效地測度系統(tǒng)的復(fù)雜性，尤其是在計算連續(xù)平穩(wěn)時間序列時，SE和C0算法的優(yōu)勢更明顯。

本研究應(yīng)用SE和C0算法分析了Bao混沌系統(tǒng)[11-13]、Rossler混沌系統(tǒng)[14]、文氏橋超混沌系統(tǒng)[15]的復(fù)雜性曲線，并驗(yàn)證了其正確性。通過兩個連續(xù)混沌系統(tǒng)和一個連續(xù)超混沌系統(tǒng)的相位圖、李雅普諾夫指數(shù)譜[16]、周期分岔圖、SE復(fù)雜性曲線和C0復(fù)雜性曲線等動力學(xué)方法的分析和比較，展現(xiàn)了混沌系統(tǒng)具有非常豐富的動力學(xué)特性，同時也證明了SE和C0復(fù)雜度算法在分析連續(xù)混沌序列復(fù)雜度特性上的優(yōu)越性。

1 SE復(fù)雜度算法和C0復(fù)雜度算法

1.1 SE復(fù)雜度算法描述

SE算法[17]利用傅里葉變換域中的能量分布，基于香農(nóng)熵算法得到譜熵值，其算法如下：

(1)去掉序列的直流部分：對長度為N的偽隨機(jī)序列利用公式(1)去掉其直流的部分，使其頻譜可以更準(zhǔn)確地表現(xiàn)出信號的能量大小。

(1)

(2)對公式(1)進(jìn)行離散傅里葉變換。

(2)

式中，k=0，1，2，…，N-1。

(3)計算相對功率譜：對經(jīng)過離散處理后的X(k) 序列取其前半部分的序列參與計算，并采用Paserval算法，得出其中一個特定頻率的功率譜大小為

(3)

式中，k=0，1，2，…，N/2-1。

序列的總功率可定義為

(4)

相對功率譜的概率可表示為

(5)

(4)利用公式(3)、(4)、(5)，并結(jié)合香農(nóng)熵概念，求得信號的譜熵se[17]為

(6)

如果公式(6)中Pk為0，則定義PklnPk為0。譜熵的大小收斂于ln(N/2)，為了便于比較分析，可將譜熵歸一化，得到歸一化的譜熵為

(7)

通過以上變換可以看出，序列的功率譜變化情況越不穩(wěn)定，結(jié)構(gòu)組成越簡單，其序列振幅越不明顯。相應(yīng)的，得到的測量值也較小。

1.2 C0復(fù)雜度算法描述

C0復(fù)雜度算法[18-20]主要思想是把序列分成規(guī)則和不規(guī)則的部分，所要的是整個混沌序列中的非規(guī)則部分所占的比例。具體計算步驟如下：

(1)對序列進(jìn)行離散FFT變換

(8)

式中，k=0，1，…，N-1。

(2)去掉公式(8)非規(guī)則部分，假設(shè){X(k)，k=0，1，2，…，N-1}的方均值為

(9)

在公式(9)中加入一個參數(shù)r，留下超過該均方值r倍的部分，并假設(shè)剩余部分值為零，即

(10)

(3)對公式(10)作傅里葉逆變換

(11)

式中，n=0，1，…，N-1。

(4)結(jié)合公式(11)，定義C0復(fù)雜度測度為

(12)

在FFT變換基礎(chǔ)上發(fā)展出的C0復(fù)雜度算法，刪除序列中的規(guī)則部分，保留了不規(guī)則部分，在整個序列中不規(guī)則部分越多，它對應(yīng)的時域信號越接近隨機(jī)序列，序列復(fù)雜性越大。

2 連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度分析

2.1 Bao混沌系統(tǒng)復(fù)雜度特性

Bao混沌系統(tǒng)建模方程為

x．=a(y-x)y．=xz-cyz．=x2-bzì?í????

(13)

取系統(tǒng)初值為(10，10，10)，仿真步長為t=0.01 s。用SE和C0算法計算y序列的復(fù)雜度特性。Bao系統(tǒng)在a=20，b=4，c=31.5時，可以計算出相應(yīng)的李雅普諾夫維數(shù)為2.150 5。Bao系統(tǒng)的吸引子在x-y平面的相圖(圖1(a))，隨著參數(shù)b的變化，整個系統(tǒng)也在混沌態(tài)、周期態(tài)、穩(wěn)定不動點(diǎn)等動力學(xué)狀態(tài)間變換，由于Bao系統(tǒng)的最小李雅普諾夫指數(shù)恒小于-5，為了方便觀察，只對兩個相對大的進(jìn)行分析研究。如圖1(b)所示，Bao系統(tǒng)參數(shù)b在(0，12.6]的區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)只有一個大于0，表明在此區(qū)間內(nèi)該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)處于混沌態(tài)時的復(fù)雜度是該系統(tǒng)所有狀態(tài)中最大的。李雅普諾夫指數(shù)越大，說明它的分離程度就越大，也就是說該系統(tǒng)復(fù)雜程度也越大。對應(yīng)圖1(d)和圖1(e)，當(dāng)系統(tǒng)處于周期態(tài)時SE和C0復(fù)雜度最小，在b=1.281 和5.879時的兩個周期窗口處最為明顯，在實(shí)現(xiàn)保密通信時建議避免在以上兩個鄰域區(qū)間進(jìn)行參數(shù)加密。在b>7.915后，隨著b的增大，SE和C0復(fù)雜度呈現(xiàn)總體下降趨勢，在b>9.422 后系統(tǒng)進(jìn)入反倍周期分岔狀態(tài)，這些和相應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜、周期分岔圖(圖1(c))等驗(yàn)證結(jié)果一致。

(a) x-y平面相圖

(b) 李雅普諾夫指數(shù)譜

(c) 分岔圖

(d)SE復(fù)雜度

(e)C0復(fù)雜度

圖1 Bao系統(tǒng)仿真結(jié)果

Fig.1 Simulation results of Bao system

2.2 Rossler混沌系統(tǒng)特性

Rossler混沌系統(tǒng)建模方程為

x．=-y-zy．=x+ayz．=b+z(x-c)ì?í????

(14)

取狀態(tài)變量初值為(0，0，0)，仿真步長為t=0.01 s。用SE和C0算法計算y序列的復(fù)雜度特性。在a=0.19，b=0.18，c=5.7時的李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)態(tài)值為LE1=0.101 5；LE2=0；LE3=-5.697 9，由此可以計算出相應(yīng)的李雅普諾夫維數(shù)為2.0341。系統(tǒng)相位圖如圖2(a)所示。隨著參數(shù)b的變化，系統(tǒng)的最小李雅普諾夫指數(shù)(圖2(b)) 恒小于-2，所以保留了兩個大的李雅普諾夫指數(shù)。在變量b=0.112和0.321處有兩個最大的周期窗口，在這兩個數(shù)值鄰域內(nèi)系統(tǒng)處于周期態(tài)。b>0.703時，整個Rossler系統(tǒng)處于反倍周期分岔態(tài)，這與對應(yīng)的分岔圖(圖2(c))所呈現(xiàn)的結(jié)果一致。從Rosller系統(tǒng)的SE復(fù)雜度(圖2(d))和C0復(fù)雜度(圖2(e))也可以看出在系統(tǒng)處于周期態(tài)時復(fù)雜程度明顯下降，處于混沌態(tài)時復(fù)雜度增大，仿真結(jié)果均與其所對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)譜、分岔圖的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果基本保持一致。

2.3 文氏橋超混沌系統(tǒng)

文氏橋超混沌系統(tǒng)方程為

x．=(ab-1/a)x-ay-eHy．=abx-ayz．=-cw+ceHw．=dzì?í?????

(15)

式中，H=x-z+0.5(|x-z-1|-|x-z+1|)。

文氏橋系統(tǒng)是一個超混沌系統(tǒng)，共有5個參數(shù)，其中參數(shù)b為變量。取仿真參數(shù)中初值為(1，1，1，1)，仿真步長為t=0.01 s，用SE和C0算法計算y序列的復(fù)雜度特性。在a=0.55，b=7.95，c=0.95，d=42.5，e=30時的李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)態(tài)值為LE1=1.151 0；LE2=0.092 5；LE3=-0.712 8；LE4=-50.389 4，由此可以計算出相應(yīng)的李雅普諾夫維數(shù)為3.010 5。文氏橋超混沌系統(tǒng)混沌吸引子相圖如圖3(a)所示。當(dāng)參數(shù)b變化時，李雅普諾夫指數(shù)如圖3(b)所示，在3≤b≤4.1時，文氏橋系統(tǒng)處于周期態(tài)中；當(dāng)4.14.25 后系統(tǒng)在超混沌態(tài)和混沌態(tài)兩個狀態(tài)之間交替變換。而在同一個系統(tǒng)處于超混沌態(tài)時的復(fù)雜度是大于其處于混沌態(tài)時的復(fù)雜度的，從SE復(fù)雜度(圖3(d))和C0復(fù)雜度(圖3(e))可以看出，在5.982≤b≤6.186和b>7.593時系統(tǒng)處于超混沌態(tài)，復(fù)雜度值是該系統(tǒng)所有狀態(tài)最大的，這與其對應(yīng)李雅普諾夫指數(shù)譜、分岔圖的仿真結(jié)果也都基本保持一致。

(a) x-y平面相圖

(b) 李雅普諾夫指數(shù)譜

(c) 分岔圖

(d)SE復(fù)雜度

(e)C0復(fù)雜度

圖2 Rossler系統(tǒng)仿真結(jié)果

Fig.2 Simulation results of Rossler system

(a) x-y平面相圖

(b) 李雅普諾夫指數(shù)譜

(c) 分岔圖

(d)SE復(fù)雜度

(e)C0復(fù)雜度

圖3 文氏橋系統(tǒng)仿真結(jié)果

Fig.3 Simulation result of Wien-Bridge system

2.4 連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度特性分析

對Bao、Rossler和文氏橋連續(xù)混沌系統(tǒng)分別從SE復(fù)雜度和C0復(fù)雜度的最大值和平均值進(jìn)行比較分析。而對于文氏橋超混沌系統(tǒng)來說，選擇其在混沌態(tài)和超混沌態(tài)時的最大復(fù)雜度和平均復(fù)雜度進(jìn)行對比研究，結(jié)果如表1所示。Bao混沌系統(tǒng)最大，其次是文氏橋超混沌系統(tǒng)和Rossler混沌系統(tǒng)。由此可見，在不同的混沌系統(tǒng)中混沌態(tài)和超混沌態(tài)時的復(fù)雜度大小關(guān)系并不能確定。對比Bao混沌系統(tǒng)和文氏橋超混沌系統(tǒng)在混沌態(tài)和超混沌態(tài)時的SE復(fù)雜度和C0復(fù)雜度的最大值和平均值可以看出，當(dāng)同一系統(tǒng)處于超混沌態(tài)時序列的復(fù)雜度比混沌態(tài)時的大，但是對于不同混沌系統(tǒng)，并不能直接根據(jù)系統(tǒng)是處于超混沌態(tài)還是混沌態(tài)來比較復(fù)雜度的大小。由這兩種算法的仿真驗(yàn)證結(jié)果可見，SE和C0復(fù)雜度算法的特性可以與原系統(tǒng)的各項(xiàng)特性基本保持一致，這主要是因?yàn)镾E算法和C0算法都是基于傅里葉變換來表征序列的復(fù)雜性。

表1 連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度特性對比

Tab.1 Comparison of complexity characteristics of continuous chaotic systems

系統(tǒng)SEmaxSEC0maxC0Bao混沌系統(tǒng)0．71620．43510．39220．1937Rossler混沌系統(tǒng)0．30130．10870．03920．0146文氏橋超混沌系統(tǒng)超混沌態(tài)0．53920．43360．06930．0482混沌態(tài)0．23640．10390．03690．0121

3 結(jié) 論

使用SE和C0兩種新的混沌系統(tǒng)信號復(fù)雜度算法，選用Bao、Rossler和文氏橋混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真，結(jié)果表明：

(1)SE和C0復(fù)雜度與李雅普諾夫指數(shù)、分?jǐn)?shù)維和分岔圖一樣都可以描述混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特征。

(2)在同一混沌系統(tǒng)中，超混沌態(tài)的復(fù)雜度一般大于混沌態(tài)時的復(fù)雜度，系統(tǒng)復(fù)雜度的最大值一般在超混沌態(tài)區(qū)間內(nèi)得到。

(3)對于不同的混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)的復(fù)雜度只與系統(tǒng)本身相關(guān)，而與該系統(tǒng)是超混沌態(tài)還是混沌態(tài)并無直接聯(lián)系。一個超混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度平均值或最大值并不一定大于另一個混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度平均值或最大值?；煦缦到y(tǒng)的復(fù)雜度特性是其本身固有的屬性，決定于參數(shù)的變化及對初值的選取。所以在實(shí)際選取混沌系統(tǒng)應(yīng)用時，系統(tǒng)的混沌態(tài)和超混沌態(tài)都可以作為實(shí)驗(yàn)研究對象，兩者并無優(yōu)劣之分。

(4)SE復(fù)雜度和C0復(fù)雜度的變化趨勢在連續(xù)混沌系統(tǒng)中的驗(yàn)證結(jié)果具有一致性，主要由于兩者都是以傅里葉變換為基礎(chǔ)來反映序列結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。但是兩者的具體數(shù)值相差較大，這是由算法本身決定的。

(5)通過3個系統(tǒng)的復(fù)雜度特性對比分析可以看出，系統(tǒng)復(fù)雜度值的振幅在一定范圍內(nèi)變化，即連續(xù)混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度具有有界性，這也是混沌系統(tǒng)所固有的特性之一?；赟E和C0復(fù)雜度特性的研究，為混沌系統(tǒng)應(yīng)用于密碼學(xué)、保密通信、信息安全等領(lǐng)域提供了相關(guān)理論依據(jù)和實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)。

[1] 牟俊,王智森,康麗.統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器同步控制及其在保密通信中的應(yīng)用[J].大連工業(yè)大學(xué)學(xué)報,2008,27(2):162-166.

[2] CHEN W T, ZHUANG J, YU W X, et al. Measuring complexity using Fuzzyen, Apen and Sampen[J]. Medical Engineering and Physics, 2009, 31(1): 61-68.

[3] 孫克輝,賀少波,尹林子,等.模糊熵算法在混沌序列復(fù)雜度分析中的應(yīng)用[J].物理學(xué)報,2012,61(13):71-77.

[4] 陳小軍,李贊,白寶明,等.一種基于模糊熵的混沌偽隨機(jī)序列復(fù)雜度分析方法[J].電子與信息學(xué)報,2011,33(5):1198-1203.

[5] 孫克輝,賀少波,盛利元.基于強(qiáng)度統(tǒng)計算法的混沌序列復(fù)雜度分析[J].物理學(xué)報,2011,60(2):90-96.

[6] LARRONDO H A, GONZALEZ C M, MARTIN M T, et al. Intensive statistical complexity measure of pseudorandom number generators[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2005, 356(1): 133-138.

[7] KOLMOGOROV A N. Three approaches to the quantitative definition of information[J]. Problems of Information Transmission, 1965, 2(1/2/3/4): 157-168.

[8] LEMPEL A, ZIV J. On the complexity of finite sequence[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1976, 22(1): 75-79.

[9] PINCUS S M. Approximate entropy as a measure of system complexity[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 1991, 88(6): 2297-301.

[10] BANDT C, POMPE B. Permutation entropy: a natural complexity measure for time series[J]. Physical Review Letters, 2002, 88(17): 1741-1743.

[11] 包伯成.混沌電路導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,2013.

[12] BAO B C, LIU Z, XU J P. New chaotic system and its hyperchaos generation[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics, 2009, 20(6): 1179-1187.

[13] BAO B C, LI C B, XU J P, et al. New robust chaotic system with exponential quadratic term[J]. Chinese Physics B, 2008, 17(11): 4022-4026.

[14] 陳士華,謝進(jìn),陸君安,等.Rossler混沌系統(tǒng)的追蹤控制與同步[J].物理學(xué)報,2002,51(4):749-752.

[15] GOPAKUMAR K, PREMLET B, GOPCHANDRAN K G. Inducing chaos in Wien-Bridge oscillator by nonlinear composite devices[J]. International Journal of Electronic Engineering Research, 2010, 4(22): 489-496.

[16] WOLF A, SWIFT J B, SWINNEY H L, et al. Determining Lyapunov exponents from a time series[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1985, 16(3): 285-317.

[17] PHILLIP P A, CHIU F L, NICK S J. Rapidly detecting disorder in rhythmic biological signals: a spectral entropy measure to identify cardiac arrhythmias[J]. Physical Review Statistical Nonlinear and Soft Matter Physics, 2009, 79(1): 100-115.

[18] CHEN F, XU J H, GU F J. Dynamic process of information transmission complexity in human brains[J]. Biological Cybernetics, 2000, 83(4): 355-366.

[19] 蔡志杰,孫潔.改進(jìn)的C0復(fù)雜度及其應(yīng)用[J].復(fù)旦學(xué)報(自然科學(xué)版),2008,47(6):791-796.

[20] 孫克輝,賀少波,朱從旭,等.基于C0算法的混沌系統(tǒng)復(fù)雜的特性分析[J].電子學(xué)報,2013,41(9):1765-1771.