廣東省廣州市第十六中學(510080)溫伙其

解析幾何是每年高考試題考查重點,很多題目切入點涉及焦點弦長問題,探索直線斜率、焦點弦長的比值及圓錐曲線離心率之間的關(guān)系.本文以一道拋物線高考試題為例,分析其不同角度的多種解法,得到兩個在三種圓錐曲線都成立的性質(zhì),并從幾何角度證明之,引導學生掌握知識遷移的規(guī)律,使用兩個性質(zhì)解決相應(yīng)高考試題.

一.考題呈現(xiàn)

設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為( )

二.多種解法分析

思路一求直線l的方程,已知條件過焦點F缺斜率,而因為A,B兩點為直線與拋物線的交點,所以聯(lián)立直線與拋物線,得到x(y)的韋達定理,再把條件|AF|=3|BF|相應(yīng)轉(zhuǎn)化為x(y)的關(guān)系式,和韋達定理共同構(gòu)造三元方程組,即可求kl,進而求出直線l方程.

方法1 代數(shù)法(消y)

解作圖1如右所示,由題意知直線l的斜率存在,設(shè)為k,所以直線l方程為y=k(x-1)由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以

圖1

方法2 代數(shù)法(消x),解答過程同上.

思路二此題的關(guān)鍵點在于求出直線的斜率,解題時可以嘗試構(gòu)造傾斜角所在特殊三角形,通過特殊幾何圖形求斜率.作出圖二,則傾斜角θ為∠AFx,而∠AFx=∠FAM,所以在Rt△BQA中可求出直線l斜率k=tanθ=tan∠BAQ.

方法3 幾何法

解作圖2如右所示,令|BF|=t,則|AF|=3t.過點A作AM⊥準線,垂足為M,則|AM|=|AF|=3t.過點B作BN⊥準線,垂足為N,則|BN|=|BF|=t.

圖2

在Rt△BQA中,因為|AQ|=|AM|-|BN|=2t,所以|BQ|2=|AB|2-|AQ|2=(4t)2-(2t)2=12t2,所以所以直線l的斜率為故選C.

方法4 幾何法

解作圖3如右所示,令|BF|=t,則|AF|=3t.令直線AB交拋物線準線于點R,過點A作AM⊥準線,垂足為M,則|AM|=|AF|=3t.過點B作BN⊥準線,垂足為N,則|BN|=|BF|=t.因為Rt△RNB～Rt△RMA,后面過程類似方法3.

圖3

思路三直線l過拋物線的焦點F和拋物線交于A,B兩點,所以|AF|,|BF|都為拋物線的焦半徑,令直線l的傾斜角為θ,則有結(jié)合條件|AF|=3|BF|即可求出斜率.

方法5 焦半徑法

解因為直線l過拋物線的焦點F交拋物線于A,B兩點.令直線l的傾斜角為θ,則有

思路四直線l過拋物線的焦點F,則可把直線l表示為傾斜角θ的參數(shù)方程,聯(lián)立直線與拋物線,得到參數(shù)t1,t2的韋達定理,結(jié)合條件|AF|=3|BF|可構(gòu)造t1,t2,θ的三元方程組,可求出sinθ(cosθ),從而得到斜率.

方法6 直線參數(shù)方程法

三.得出兩個性質(zhì)

拋物線的焦點弦長具有以上圖形性質(zhì),類比推理到橢圓與雙曲線,也有類似的圖形性質(zhì).更一般地,直線斜率、兩段焦點弦長比值和圓錐曲線離心率三者間具有特定的關(guān)系結(jié)構(gòu),本文簡稱為圓錐曲線焦點弦長比特征公式,他們的關(guān)系如下:

以橢圓為例證明性質(zhì)1.

當橢圓的焦點在x軸時,作圖如圖4所示.設(shè)直線l過橢圓的左焦點F1,令|BF1|=t,則|AF1|=mt.過點A作AM⊥左準線,垂足為M,過點B作BN⊥左準線,垂足為N,由橢圓第二定義有在Rt△BQA中,因為所以

圖4

圖5

以拋物線為例證明性質(zhì)2.

當拋物線的焦點在y軸時,作圖如圖5所示.令|BF|=t,則|AF|=mt.過點A作AM⊥準線,垂足為M,過點B作BN⊥準線,垂足為N,過點B作BQ⊥AM,垂足為Q,由拋物線定義有|BN|=t,|AM|=mt.

四.兩個性質(zhì)在近年全國高考題中的應(yīng)用

例1 (2013年新課標II卷文科第10題)本文的引例.

例2 (2014年新課標II卷文科第10題)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交于C于A,B兩點,則|AB|=( )

上述四道高考題,用本文得到的圓錐曲線焦點弦長比特征公式,都能快速解決！此處從略.