華南師范大學(xué)附屬中學(xué)汕尾學(xué)校(516600)劉光明

曲線切線問題不僅僅是導(dǎo)數(shù)的幾何意義那么簡單,經(jīng)仔細揣摩推敲我們發(fā)現(xiàn):曲線的切線可以從導(dǎo)數(shù)的幾何意義、恰到好處證明不等式、求參數(shù)范圍、含參函數(shù)的零點問題、曲線上點到直線的最短距離等等角度進行考查.本文結(jié)合例題就此分別展開闡述,期望從中獲取曲線切線的分析策略.

一、切線的條數(shù)與函數(shù)零點問題間的轉(zhuǎn)換

例題1 已知函數(shù)f(x)=2x3-3x,若過點P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切,求實數(shù)t的取值范圍.

分析本題直接呈現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,通過設(shè)切點,抓住切線方程,將切線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為切線方程的根的個數(shù)問題,最后分離參數(shù),借助數(shù)形結(jié)合思想得到參數(shù)的范圍.

圖1

簡解設(shè)過點P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點則切線方程為

又點P(1,t)在切線上,故設(shè)g(x0)=“過點P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切”等價于“直線y=t與曲線有3個不同交點”.

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,求出極小值g(0)=-3,極大值g(1)=-1,得到函數(shù)大致圖像如圖1示,可得-3＜t＜-1.

評注與曲線的切線有關(guān)的問題,主要從三個方面著手,一是曲線的切點,借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率;二是切點在曲線上,三是切點在切線上.無論是含參與否,都緊抓以上三個方面聯(lián)立方程或者轉(zhuǎn)化為熟悉的知識點處理即可.

二、巧借曲線的切線,化曲為直,證明不等式

例題2 已知函數(shù)f(x)=aex+(2-e)x(a為實數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在x=0處的切線與直線(3-e)x-y+10=0平行.

(1)求實數(shù)a的值,并判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的零點個數(shù);

(2)證明:當(dāng)x＞0時,f(x)-1＞xln(x+1).

分析按照通常證明不等式的慣例,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-xln(x+1)-1(x＞0)轉(zhuǎn)化為gmin(x)＞0,但且由此不易得出函數(shù)的單調(diào)性.此時,需要換個角度思考問題,聯(lián)想到放縮法證明不等式,而人教A版教材選修2-2第32頁習(xí)題1.3B組第1題中的不等式ex＞x＞lnx提供了一個不錯的放縮思路,故可將ex和lnx放縮成其切線進行處理.

簡解(1)a=1,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)沒有零點(過程從略).

(2)接下來不妨先證明:當(dāng)x＞0時,f(x)-1≥x·x成立.設(shè)g(x)=ex+(2-e)x-1-x2(x＞0),則g′(x)=ex-2x+2-e,設(shè)φ(x)=ex-2x+2-e,所以?x0∈(0,1),使得φ(x0)=0,故x∈(0,x0)∪(1,+∞)時,φ(x)＞0,即g′(x)＞0,x∈(x0,1)時,g′(x)＜0,因此,函數(shù)g(x)在區(qū)間(x0,1)上遞減,在區(qū)間(0,x0)和(1,+∞)上遞增,且g(0)=g(1)=0,所以g(x)≥0(x＞0),當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立,可得f(x)-1≥x·x＞xln(x+1),故f(x)-1＞xln(x+1).

變式練習(xí)題1 (2015年山東理第21題節(jié)選改編)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),當(dāng)a＜0時,?x0∈(0,+∞)使得f(x0)＜0.

簡析因為ln(x+1)＜x(x＞0),所以

評注構(gòu)造函數(shù)證明不等式中,若多次求導(dǎo)后均未能實現(xiàn)單調(diào)性或最值的求解,那么需要考慮放縮.中學(xué)階段的曲線切線,加上函數(shù)的凹凸性,恰好是一種極好的放縮.故平時多積累一些放縮的例子,化解常規(guī)思路計算的尷尬,為不等式證明提供快捷思路.

三、巧借過定點切線,指引討論參數(shù)的方向

例題3 已知函數(shù)f(x)=x+xlnx,若k∈Z,且k(x-1)＜f(x)對任意x＞1的恒成立,求k的最大值.

簡解利用導(dǎo)數(shù)知識可得函數(shù)f(x)在x=e-2時,取得極小值,也是最小值f(e-2)=-e-2,其大致圖象如圖2所示.直線y=k(x-1)過定點(1,0),要使得k(x-1)＜f(x),?x＞1成立,可轉(zhuǎn)化為在(1,+∞)上曲線y=f(x)在直線y=k(x-1)上方,可先考慮y=k(x-1)與y=f(x)相切情況,設(shè)切點為P(x0,x0+x0lnx0),則切線斜率f′(x0)=lnx0+2(x0＞1),又切線過定點(1,0),故可得x0=lnx0+2,即切線斜率k=f′(x0)=x0(x0＞1),因此接下來只需要求解x0的范圍即可,也就是求g(x0)=lnx0-x0+2(x0＞1)的零點所在區(qū)間.由函數(shù)g(x0)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,g(3)=ln3-1＞0,g(4)=2(ln2-1)＜0,故函數(shù)在(3,4)上存在零點,又k∈Z,故k的最大值為3.

圖2

評注通過曲線的切線去探求參數(shù)的范圍,主要還是利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性,極值,邊界變化情況(變化趨勢),考慮函數(shù)的凹凸性,然后描繪曲線的大致圖象,數(shù)形結(jié)合,進而得到參數(shù)范圍.不過,借切線為邊界,只是探求參數(shù)的范圍,解決小題可以,但解答題需慎用.

變式練習(xí)題2 (深圳市2017年高三年級第二次調(diào)研考試第12題)設(shè)實數(shù)λ＞0,若對任意的x∈(0,+∞),不等式恒成立,則λ的最小值為( )

圖3

四、借用兩曲線的公切線,突破含參函數(shù)零點的討論

例題4 已知函數(shù)(a∈R),討論函數(shù)f(x)的零點情況.

分析與簡解函數(shù)f(x)的零點可以轉(zhuǎn)化為h(x)=alnx(a∈R)兩個函數(shù)曲線的交點,易知a≤0時,函數(shù)f(x)有1個零點,當(dāng)a＞0時,函數(shù)g(x)與函數(shù)h(x)圖象的交點情況如何?如若能夠先找到兩曲線相切情況,借助數(shù)形結(jié)合,應(yīng)該很快知道其余情形.故不妨假設(shè)兩曲線在x=x0相切,則在x=x0處切線斜率相等且兩函數(shù)值相等,即可得根據(jù)圖4可知,a=e時有1個零點,a＞e時有2個零點,0＜a＜e時有0個零點.

圖4

評注兩條曲線相切,其關(guān)鍵點是兩曲線在相切處導(dǎo)數(shù)值相等、函數(shù)值也相等.

五、妙用切線為橋梁,轉(zhuǎn)換思想求距離

例題5 (人教A版數(shù)學(xué)選修2-1教材47頁例題7)已知橢圓直線l:4x-5y+40=0.橢圓上是否存在一點,它到直線l的距離最小?最小距離是多少?

解析由直線的方程與橢圓的方程可以知道,直線l與橢圓不相交,設(shè)直線m平行于直線l,則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0,由方程組消去y,得

令方程(?)中的判別式Δ=64k2-4×25(k2-225)=0,解得k1=25,k2=-25.由圖可知,當(dāng)k=25時,直線與橢圓的交點到直線的距離最短,此時直線m方程為4x-5y+25=0,直線m與直線l間的距離為所以最小距離為

評注對于求解曲線上一點到直線的最短距離問題,如果僅僅是利用導(dǎo)數(shù)處理最值,可能會遇到計算困難.巧妙借助切線,從幾何和代數(shù)相結(jié)合的角度,避免繁雜計算,自然轉(zhuǎn)化成點到直線距離問題,易懂易操作.

從以上5個角度的闡述中可知切線在很多數(shù)學(xué)“疑難雜癥”處理上神通廣大,其中的奧妙就在于其“恰到好處”,即切線是曲線所區(qū)域的一個“邊界”.將我們需要討論的曲線問題轉(zhuǎn)化為切線問題處理,也就是我們熟悉的“化曲為直”的思想方法.