廣東省中山市桂山中學(xué)(528463)劉丹峰 宋亮

直線與圓錐曲線是高考解析幾何中的核心內(nèi)容.其本質(zhì)方法是構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)線間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而利用代數(shù)知識(shí)去解決問題.所以解析幾何是代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)的重要結(jié)合點(diǎn),也是滲透數(shù)形結(jié)合以及化歸等思想的重要依托.

一、問題呈現(xiàn)

對(duì)于大多數(shù)直線與圓錐曲線相交問題,通常的解題思路如下:

1.先聯(lián)立直線方程與曲線方程,消元得到一個(gè)一元二次方程;

2.利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2,x1x2;

3.利用題中所給和所求轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)之間關(guān)系,代換成x1+x2,x1x2;

4.最后通過構(gòu)建函數(shù)或者找出等量關(guān)系進(jìn)行求解.

直線與圓錐曲線問題中,設(shè)而不求思想運(yùn)用的關(guān)鍵點(diǎn)就在于把x1+x2,x1x2當(dāng)作是一個(gè)橋梁,將題中已知條件和題中所求均轉(zhuǎn)化成與x1+x2,x1x2相關(guān)的.那么x1+x2,x1x2就可以看作是題中的一個(gè)最基本的量,用其來表示其它的未知量,從而達(dá)到解題目的.然而,上述方法需要做多次等價(jià)代換,使得題目的運(yùn)算量大大的增多.那么是否能夠找到一個(gè)新的基本量來替代傳統(tǒng)的x1+x2,x1x2?如果能,那么這樣的基本量如何確定?什么樣的題目適合用構(gòu)造新的基本量的方法?新的基本量構(gòu)造相比傳統(tǒng)方法而言又是怎樣來簡(jiǎn)化計(jì)算的呢?接下來筆者將通過兩道高考題來一一解答這些問題.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點(diǎn).

解析(1)過程略,易得橢圓C的方程為

(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2.

得t=2,不符合題意.

當(dāng)直線l斜率存在,設(shè)l:y=kx+m,聯(lián)立得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由題可知Δ=16(4k2-m2+1)＞0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知

二、優(yōu)化解法

傳統(tǒng)的常規(guī)思路中,先聯(lián)立直線方程和橢圓方程消元后得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2,x1x2與k,m的關(guān)系,然后結(jié)合直線方程和斜率公式將k1+k2變換成一個(gè)關(guān)于x1+x2和x1x2的代數(shù)式,再帶入化簡(jiǎn)求得k和m的關(guān)系,從而求出直線l所過的定點(diǎn).上述方法是以x1+x2,x1x2為基本量,將題中的關(guān)系全部轉(zhuǎn)化成能用x1+x2,x1x2來表示的代數(shù)式,進(jìn)而代入求解.顯然,該方法運(yùn)算量較大,需要進(jìn)行多次的代入和變換.那么能否找到一個(gè)基本量來替代x1+x2,x1x2從而簡(jiǎn)化運(yùn)算呢?

筆者發(fā)現(xiàn),題中所給的k1,k2用斜率公式代入后為其在形式和結(jié)構(gòu)上是完全相同的.若引入一個(gè)新的變量t,令不妨記則依題意可得t1+t2=-1,那么只需構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程即可解決本題.下面將給出詳細(xì)解析.

解析(2)直線l斜率不存在情況同上;

不難發(fā)現(xiàn),上述方法通過構(gòu)造一個(gè)新的變量,使得整道題只需解一個(gè)二元一次方程組,再代入橢圓方程即可求解,從而極大的簡(jiǎn)化基本量的變換的過程和運(yùn)算量.相當(dāng)于是用t1,t2來代換x1,x2作為基本量來構(gòu)建等量關(guān)系,從而解決問題.而新的基本量的引入,其核心關(guān)鍵在與題中所給直線P2A與直線P2B的斜率在形式結(jié)構(gòu)上完全一致.換而言之,只要題中能夠找到在結(jié)構(gòu)上統(tǒng)一的關(guān)系式,就可以考慮引入一個(gè)新的基本量,從而與已知直線結(jié)合,先解一個(gè)二元一次方程組,再代入曲線方程求解.接下來以2013年高考數(shù)學(xué)江西卷為例對(duì)該方法適用的本質(zhì)條件進(jìn)行進(jìn)一步的說明.

三、解法再應(yīng)用

例2(2013年高考數(shù)學(xué)江西卷卷第21題)如圖,橢圓經(jīng)過點(diǎn)離心率直線l的方程為x=4.

(1)求橢圓C的方程;

(2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3,問:是否存在常數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由.

思路探索(1)易得橢圓C的方程為

四、總結(jié)反思

代換基本量的方法核心在于,從題中所給條件或者是所求結(jié)論出發(fā),構(gòu)造出直線與曲線交點(diǎn)坐標(biāo)滿足的一次關(guān)系式,再結(jié)合交點(diǎn)又同時(shí)滿足直線方程和曲線方程.先聯(lián)立兩個(gè)一次方程解一個(gè)二元一次方程組,從而將基本量替換,進(jìn)而代入曲線方程求解.其關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)都在于如何通過審題來找到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)均滿足的一個(gè)形式結(jié)構(gòu)上都完全相同的關(guān)系式.顯然交點(diǎn)與定點(diǎn)的連線斜率的問題是比較好構(gòu)造的.

縱觀這兩道高考題分析求解的過程,在解決直線與圓錐曲線的問題中,選定一個(gè)適合的基本量的確能夠簡(jiǎn)化代換過程和減少運(yùn)算量.上述方法在解決直線與曲線的交點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率問題是比較簡(jiǎn)單的.然而相對(duì)于常規(guī)基本量x1+x2,x1x2而言,該方法在通性上不如后者,該方法要想推廣成通法,還有很多問題有待解決.