安徽省池州市第一中學(xué)(247000)吳成強(qiáng)

解三角形是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,對(duì)考生能力有較高的要求.考生除了要掌握如正弦定理、余弦定理等解三角形必備的基礎(chǔ)知識(shí)外,還要掌握解三角形的一些基本技巧和策略以及看問(wèn)題的視角.解三角形常用的基本技巧主要有:平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分割、界域、巧設(shè)、搭橋、視角等.本文通過(guò)實(shí)例,探究解三角形的一些策略與技巧.

一、平移

平移,就是通過(guò)作平行輔助線的方法,構(gòu)造一個(gè)新的三角形,把所要解決的量轉(zhuǎn)化到這個(gè)新的三角形中,便于問(wèn)題的解決.

例1 在Rt△ABC中,D在BC邊上DE⊥AD交AC于E點(diǎn),且求△ADE的面積.

圖1

評(píng)注本題通過(guò)作DE平行線CF,得到等腰直角三角形△CDF,且斜邊DC已知,這樣問(wèn)題就很容易求解.本題也可以作其它輔助線,比如作EG⊥CD于G點(diǎn).

二、旋轉(zhuǎn)

就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)三角形的方法,把一些量集中到一個(gè)易于求解的三角形中,使問(wèn)題順利求解.

例2 已知△ABC滿足點(diǎn)M在△ABC外,且MB=2MC=2,則MA的取值范圍是____.

A,M位于B,C的同側(cè)

A,M位于B,C的異側(cè)

解析易知△ABC為正三角形,將△ACM繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°得△ABM′,C與B重合,△AMM′為正三角形.MM′=AM=x,在△BMM′中,易得2-1≤x≤2+1,即1≤x≤3,當(dāng)三點(diǎn)M、B、M′共線時(shí)等號(hào)成立.所以MA的取值范圍是[1,3].

評(píng)注本題就是通過(guò)把△ACM繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°得△ABM′,AM=MM′,而MM′在△BMM′中,根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊這一性質(zhì),問(wèn)題比較容易解決.這是一道高三模擬考試題,標(biāo)準(zhǔn)答案給的解法很復(fù)雜,學(xué)生理解起來(lái)很困難,不容易想到.即使學(xué)生能勉強(qiáng)看懂答案,但下一次碰到類似的問(wèn)題可能還是不會(huì).用旋轉(zhuǎn)的方法,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),既簡(jiǎn)便,又容易理解,同時(shí)還能開(kāi)闊思路,對(duì)思維有一定的啟發(fā)作用.

三、翻折

通過(guò)對(duì)稱翻折,把有關(guān)的量化歸到某一個(gè)三角形中,便于找到相應(yīng)量的關(guān)系,進(jìn)而找到解決問(wèn)題的方案,使問(wèn)題順利求解.

例3 在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的邊AB,AC上分別取M,N兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于線段MN的對(duì)稱點(diǎn)A′正好落在BC邊上,則AM長(zhǎng)度最小值為_(kāi)___.

圖4

所以AM長(zhǎng)度最小值為4

評(píng)注本題就是利用對(duì)稱關(guān)系找到AM=A′M,然后轉(zhuǎn)化到△A′BM中建立邊角關(guān)系,使問(wèn)題順利求解.從教學(xué)實(shí)踐情況來(lái)看,學(xué)生不善于發(fā)現(xiàn)這種對(duì)稱關(guān)系所隱含的條件,不少學(xué)生對(duì)這道題無(wú)從下手,感到比較困難.

四、分割

通過(guò)分割的技巧,在三角形中構(gòu)造出已知條件給出的角,體現(xiàn)了以“形”解“數(shù)”的策略,也體現(xiàn)了“解題差異論”的解題方法.

例4 在△ABC中,已知BC=5,AC=4,cos(A-B)=求cosC.

解析因?yàn)锽C＞AC,所以A＞B.如圖,作∠BAD=B,則cos∠CAD=設(shè)AD=x,則BD=x,CD=解得x=4,所以△ADC為等腰三角形,易得

圖5

評(píng)注本題就是在∠A中分割出∠B,從而得到已知角A-B,再在△ADC中求解,問(wèn)題解決就變得很簡(jiǎn)單,但如果用其他方法則比較復(fù)雜.教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生想不到用這種分割構(gòu)造的方法,因而他們對(duì)本題的求解感到比較困難.

五、界域

根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的有界性,或根據(jù)不等式,或根據(jù)圖形的極限狀況,通過(guò)找到界域,發(fā)現(xiàn)式子或圖形隱含的條件,找到解決問(wèn)題的突破口.

評(píng)注本題就是根據(jù)均值不等式和正弦函數(shù)的有界性,并注意到等號(hào)成立的條件,使問(wèn)題順利求解.

例6 在△ABC中,已知角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若求角C.

評(píng)注本題也是根據(jù)不等式和正弦函數(shù)的有界性,注意到等號(hào)成立的條件,使問(wèn)題順利求解,類似這樣的問(wèn)題比較多.

例7 (2015年新課標(biāo)I理科)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是___.

解法一(極端化處理)由已知條件,四個(gè)角為定值,BC=2,畫(huà)出平面四邊形(如圖6),不難分析知A,D分別在BA,CD的延長(zhǎng)線上移動(dòng)且∠BAD=75°,即邊AD平行移動(dòng),當(dāng)D與C重合于C時(shí),當(dāng)D與A重合于E時(shí),所以

圖6

圖7

圖8

評(píng)注本題解法一是注意到構(gòu)成四邊形的極端狀況,利用極端情形得出范圍,解法簡(jiǎn)單,但技巧性比較強(qiáng).解法二則是以角為變量,把所求的邊轉(zhuǎn)化為所設(shè)的角,解法三則是以邊為變量,把所求的邊轉(zhuǎn)化為所設(shè)的邊,解法二和解法三的技巧性也都比較強(qiáng),需要學(xué)生有較深的數(shù)學(xué)功底.

六、巧設(shè)

通過(guò)巧妙地設(shè)出一些量,然后再把其他的量都用這個(gè)量表示,這在求范圍和最值問(wèn)題中比較常用.巧妙地“設(shè)”,就能巧妙地解.

例8 在等邊△ABC中,M為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),∠BMC=120°,求的最小值.

圖9

圖10

評(píng)注本題就是巧妙地設(shè)∠MBC=θ,然后根據(jù)條件得出∠ACM=θ,最后轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形△MBC、△MAC中求解,這種轉(zhuǎn)化不少學(xué)生還是感到有點(diǎn)困難.

例9 在四邊形ABCD中,AC⊥CD,AC=CD,求四邊形ABCD面積最大值.

評(píng)注本題就是設(shè)∠ABC=θ,然后用角θ表示AC和CD,使問(wèn)題順利求解.

七、搭橋

通過(guò)三角形公共邊(或公共角)搭橋建立等量關(guān)系,得出有關(guān)的關(guān)系式,從而使問(wèn)題順利求解.

例10 在凸四邊形ABCD中,AB=3,AD=4,BC=2,CD=1,求四邊形ABCD面積的最大值.

圖11

解析在△ABC中,BD2=32+42-2×3×4×cosA=25-24cosA,在△CBD中,BD2=22+12-2×2×1×cosC=5-4cosC,所以25-24cosA=5-4cosC,

①2+②2得:37-12cos(A+C)=S2+25,所以S2=12-12cos(A+C)≤12+12=24,所以等號(hào)成立條件是cos(A+C)=-1,即A+C=π,此時(shí)四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形.所以

評(píng)注本題就是通過(guò)中間量BD搭橋得到關(guān)系式①,從而使問(wèn)題巧妙求解.

變式(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省初賽)設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=3,BC=4,CD=5,AD=6,則四邊形ABCD的面積為_(kāi)__.

評(píng)注本題答案是解法完全類似于例10.

八、視角

解決三角形的有關(guān)問(wèn)題,有時(shí)需要變換看問(wèn)題的視角,抓住好的視角,就會(huì)使問(wèn)題解決變得簡(jiǎn)單,同時(shí)還能給人思維的啟迪.如果給出邊、角之間的代數(shù)式關(guān)系,通過(guò)觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,找到式子變形的好的視角,就能快速解決問(wèn)題,這需要學(xué)生有敏銳的觀察力;如果是圖形,需要觀察圖形隱含的一些條件,抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì),轉(zhuǎn)換看問(wèn)題的視角,利用最有效的信息,就能使問(wèn)題解決變得簡(jiǎn)單而美妙.

例11 在△ABC中,已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a2-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0,求△ABC中最大角的度數(shù).

評(píng)注本題根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征,嘗試著因式分解,這是一個(gè)好的視角,給人耳目一新的感覺(jué),問(wèn)題解決也變得非常簡(jiǎn)單.當(dāng)然,本題也可以先分析哪一條邊最大,然后根據(jù)余弦定理求出最大邊所對(duì)的角,不過(guò)這種方法的運(yùn)算量比較大.

例12 在平面四邊形PACB中,已知PA=5,PB=8,AB=7,PA⊥AC,PB⊥BC,求PC的長(zhǎng).

解析根據(jù)余弦定理易得∠APB=60°,因?yàn)镻A⊥AC,PB⊥BC,所以P、A、C、B四點(diǎn)共圓,其外接圓直徑為PC,也是∠PAB的外接圓直徑,根據(jù)正弦定理易得

圖12

評(píng)注解決本題的關(guān)鍵就是抓住PC是△PAB的外接圓直徑,然后根據(jù)正弦定理求解,這是解決本題最簡(jiǎn)便的方法.但在教學(xué)實(shí)踐中,許多學(xué)生看不出PC是△PAB的外接圓直徑,也沒(méi)有聯(lián)想到利用正弦定理求解,而是用其他方法,比較麻煩,也有不少學(xué)生不能順利求解.

我們?cè)谄綍r(shí)的解題教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)總結(jié).課堂教學(xué)中,教師要留有一定的時(shí)間和空間,讓學(xué)生思考、探究、發(fā)現(xiàn)、討論,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)潛能.