云南省昆明市第十中學(650011)蔣正擁

云南省昆明市實驗中學(650011)習有麗

在對圓錐曲線知識考查中,求取值范圍(最值)是一類常見問題,一個通用的模式就是引入變量構(gòu)成函數(shù),至于選擇哪個變量來構(gòu)成函數(shù),關鍵是對動態(tài)過程特點的分析.如果是曲線上的動點,則選擇點的坐標為變量,如果是過定點的動直線,那么一般選擇直線的斜率(或傾斜角)為變量,下面就過定點的弦的弦長取值范圍問題進行探討,找到解決這類問題的常用的方法.

例(2016年新課標I理科第20題)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.

(I)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;

(II)設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

分析第一問根據(jù)題意畫出圖形(如圖1),由“|EA|+|EB|為定值”已經(jīng)暗示E的軌跡是橢圓,且以A,B為橢圓的焦點,“圓”、“平行”這些關鍵詞提示我們思考利用平面幾何知識,易知|EA|+|EB|等于圓A的半徑,這問比較簡單,考查了橢圓的定義和幾何意義.第二問注意到四邊形MPNQ的兩條對角線互相垂直,其面積要求四邊形MPNQ面積的取值范圍,關鍵是選擇一個合適的自變量,將|MN|和|PQ|的長度表示為面積函數(shù).此問題成了過定點的動直線與圓A和橢圓E所成動弦的弦長的取值問題,可設l的方程求解.

圖1

解(I)如圖1,因為|AD|=|AC|,EB//AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標準方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由題設得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為:

評注此問源于人教A版課本選修2-1第49頁習題2.2A組第7題,可以看成是引入橢圓概念的一種方式.

(II)方法1構(gòu)建函數(shù)-以直線斜率k為自變量.

圖2

圖3

評注直線過定點B(1,0),可選取直線的斜率k為自變量,但需要考慮斜率k是否存在,把直線設為點斜式y(tǒng)=k(x-1)(k/=0).求直線與圓的弦長問題,應用圓的垂徑定理處理計算較簡捷;求直線與橢圓的弦長時,利用弦長公式來計算,在計算|x1-x2|時,往往有兩種處理方法,一種方法是利用韋達定理來處理,另一種方法是利用根公式,對兩根進行相減化簡為來處理,比較起來第二種方法較為簡捷.

方法2 優(yōu)化運算-以直線斜率的倒數(shù)為自變量.

設直線l的方程為x=my+1,設M(x1,y1),N(x2,y2).聯(lián)立方程組消去x得(3m2+4)y2+6my-0=0,得

下求|PQ|的長度:直線PQ的方程為y=-m(x-1),即y+mx-m=0,點A(-1,0)到直線PQ的距離為所以

四邊形MPNQ的面積為

評注以直線斜率的倒數(shù)為自變量,注意到直線過定點B(1,0),可把直線方程設為橫斜截式x=my+1,這樣就可以回避對斜率k是否存在的討論.

方法3 選取傾斜角α為變量-利用直線參數(shù)方程求解.設直線l的傾斜角為α(α/=0°),則直線l的參數(shù)方程是

因為α/=0°,所以cos2α∈[0,1),所以,四邊形MPNQ面積的取值范圍為

評注注意到直線過定點B(1,0),選取傾斜角α為變量,設直線l為參數(shù)方程(t為參數(shù)),利用直線參數(shù)t的幾何意義進行求解.把弦長的取值范圍問題轉(zhuǎn)化以傾斜角α為變量的三角函數(shù)問題求解.

方法4 選取極角θ為變量–利用極坐標方程求解.

因為θ/=kπ,所以cos2θ∈(0,1],所以,四邊形MPNQ面積的取值范圍為

評注注意到直線過定點B(1,0),選取定點B為極點,建立極坐標系,利用極坐標ρ的幾何意義進行求解.把弦長的取值范圍問題轉(zhuǎn)化以極角θ為變量的三角函數(shù)問題求解.方法3,方法4在計算|t1-t2|和|ρ1-ρ2|時,可以用方法1的兩種方法來處理.除上面4種方法,還可以用橢圓第二定義求解,留給讀者去思考.

大家可以用以上方法解決來解決2016年新課標II文科第21題,試題如下:

已知A是橢圓E:的左頂點,斜率為k(k＞0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MA⊥NA.

(I)當|AM|=|AN|時,求△AMN的面積;

(II)當2|AM|=|AN|時,證明:

(答案:(I)△AMN的面積為證明略)

綜上所述,涉及直線過定點的旋轉(zhuǎn)問題,可以選取直線的斜率(或傾斜角)為自變量,可以考慮用直線的參數(shù)方程來輕松解決,也可以選擇定點為極點,建立極坐標,利用極坐標來解決,利用參數(shù)方程和極坐標是解決解析幾何問題的重要方法.