廣州市鐵一中學(xué)(510600)于曉聞

在研究多面體的外接球問題時(shí),既要運(yùn)用多面體的知識(shí),又要運(yùn)用球的知識(shí),并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系.解決外接球半徑的問題,實(shí)質(zhì)就是要找到外接球的球心,它是關(guān)鍵中的關(guān)鍵,而多面體外接球半徑的解法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用.

一.多面體外接球的定義和性質(zhì)

多面體外接球的定義若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上,則稱這個(gè)多面體為球的內(nèi)接多面體,這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球.

性質(zhì)1 多面體每個(gè)頂點(diǎn)到球心的距離都等于球的半徑.

性質(zhì)2 多面體每個(gè)面都有一個(gè)外接圓,且其中任意一個(gè)圓的圓心O1和球心O的連線垂直這個(gè)圓面.

性質(zhì)3 多面體其中一個(gè)側(cè)面外接圓的圓心O1,半徑為r,外接球的球心O,半徑為R,則R2=r2+|O1O|2.

二.利用確定球心位置求半徑

(一)利用球的定義(性質(zhì)1)確定球心位置

例1 (2017年太原市模擬考試?yán)砜频?5題)已知三棱錐則該三棱錐外接球的體積為___.

解析如圖1,取BD的中點(diǎn)O,連接AO和CO,在Rt△BCD中,易得1.在△ABD中,因?yàn)锳B2+AD2=BD2,所以△ABD為直角三角形,所以所以O(shè)A=OB=OC=OD=1,所以點(diǎn)O為三棱錐A-BCD的外接球的球心,且半徑等于1,球O的體積

圖1

通過本題探究、分析,結(jié)合球的定義(性質(zhì)1)可以得到簡單多面體外接球球心的一些結(jié)論.

結(jié)論1 若三棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形,則外接球的球心就是公共斜邊的中點(diǎn).

結(jié)論2 若四棱柱是長方體或正方體,則外接球的球心就是其體對(duì)角線的中點(diǎn).

結(jié)論3 正棱柱和直三棱柱外接球的球心是上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn).

結(jié)論4 正棱錐的外接球球心在其高或高的延長線上,具體位置可通過建立直角三角形運(yùn)用勾股定理或射影定理計(jì)算得到.

變式1 (2013年遼寧高考文理科第10題)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為( )(答案:C)

變式2 (2107全國高考III卷理科第8題)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為( )(答案:B)

(二)利用球的性質(zhì)(性質(zhì)2)確定球心位置

例2 (2017年福建省普通高考畢業(yè)班單科質(zhì)量檢查.理科第16題)在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為3的等邊三角形,二面角S-AB-C的大小是120°,則此三棱錐的外接球的表面積為_____.

解析如圖2,設(shè)球心為O,在△ABS中AB=3,所以SA2+AB2=SB2,所以△SAB為直角三角形.取SB的中點(diǎn)O1,易得O1為△ABS的外心,則O1O⊥平面ABS;設(shè)點(diǎn)O2是為△ABC外心,故O2O⊥平面ABC.取AB的中點(diǎn)M,連接OM,O1M和O2M,可得∠O2MO1=120°.易得因?yàn)楣省螼MO1=60°,故故S=4πR2=21π.

圖2

本題利用多面體外接球性質(zhì)2來確定球心.一般對(duì)于棱錐,選擇側(cè)面是直角三角形或等腰三角形和底面,因?yàn)樗鼈兊耐庑谋容^特殊,分別通過它們外心做這兩個(gè)面的垂線,則這兩個(gè)面垂線的交點(diǎn)就是球心,這樣就將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想,把復(fù)雜問題化歸為簡單問題,將較難問題化為較易問題,從而使得問題迎刃而解.

變式3 (2017年河南省豫東、豫北十所名校高中畢業(yè)班階段性測試(五).理科第15題)三棱錐P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,側(cè)面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直,AB=6,則該三棱錐的外接球半徑為____.(答案:)

變式4 (2017年太原市高三年級(jí)模擬考試(二).理科第15題)已知三棱錐A-BCD中,AB=AC=BC=2,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點(diǎn),則該三棱錐外接球的表面積為____.(答案:)

(三)利用直角坐標(biāo)系確定球心位置

例3 (2017年廣東省深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試.理科第15題)已知M,N分別為長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,A1B1的中點(diǎn),若則四面體C1-DMN的外接球的表面積為____.

圖3

如果到了“山重水復(fù)疑無路”時(shí),不要忘了“柳暗花明又一村”就是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,利用坐標(biāo)法,根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),利用球或圓的相關(guān)性質(zhì),求出球心的坐標(biāo),從而得到外接球的半徑.

三.利用多面體的幾何性質(zhì)求半徑

例4 (2014高考陜西卷理科第5題)如圖4,已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱,它的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為( )

解析根據(jù)正四棱柱的幾何特征可得,該球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線,故即得R=1,所以該球的體故選D.

圖4

利用正棱柱的對(duì)稱確定所求外接球的球心位置后,就可以得到外接球的半徑.一般具有對(duì)稱性的正多面體其球心一般都在軸截面或?qū)ΨQ中心上,對(duì)于這種問題要合理的利用幾何體本身的性質(zhì)求外接球的半徑,比直接用球的性質(zhì)求解來得更快,可以達(dá)到事半功倍的效果.

變式5 (2017年天津高考.理科第10題)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為____.(答案:)

變式6 (2017屆河北省石家莊市、唐山市部分學(xué)校高三模擬檢測(理).第10題)已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上(球O),且當(dāng)三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大時(shí),該三棱錐的體積與球O的體積的比值是( )(答案:A)

四.利用構(gòu)造幾何體求半徑

例5 (2017年廣州市普通高中畢業(yè)綜合測試(一)理科第10題)如圖5,《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為( )

A.8πB.12πC.20πD.24π

解析由題意可知,三棱錐P-ABC可以補(bǔ)形為如圖所示的一個(gè)長方體,則三棱錐P-ABC的外接球即為長方體的外接球,則三棱錐P-ABC的外球的直徑所以三棱錐P-ABC的外球表面積S=4πR2=20π,故選C.

圖5

通過本題探究和分析,一般構(gòu)造的幾何體是正棱錐和直棱柱(底面是三角形,長方形等),然后求出外接球的半徑.常見的一些類型有(1)三個(gè)側(cè)面兩兩垂直(即同一頂點(diǎn)的三條側(cè)棱兩兩垂直)或四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐,則可以把三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體.(2)六條棱都相等(即正四面體)或?qū)庀嗟鹊娜忮F,則可以把三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體.(3)若棱錐含有線面垂直或面面垂直關(guān)系,則可以把棱錐補(bǔ)成直棱柱.

變式7 (2016年江西省贛州市高三摸底考試.理科第9題)在三棱錐P-ABC中,底面ABC是等腰三角形,∠BAC=120°,BC=2,PA⊥平面ABC,若三棱錐P-ABC的外接球面積為8π,則該三棱錐的體積為( )(答案:B)

變式8 (2017年武漢市高中畢業(yè)班二月調(diào)研測試.理科第9題)如圖6,是某幾何體的三視圖,其中正視圖為正方形,俯視圖是腰為2的等腰直角三角形,則該幾何體外接球的直徑為( )(答案:D)

圖6

五.利用軸截面求半徑

例6 已知正四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)都在同一球面上,該棱錐的高為8,底面邊長為4,則該正四棱錐外接球的體積____.

解析1 如圖7,連接AC,BD交于點(diǎn)O1,設(shè)球心為O,半徑為R.由對(duì)稱性可知點(diǎn)O就在高SO1上而不是它的延長線上,連接AO,得AO就是外接球的半徑.由正四棱錐性質(zhì)可知SO1⊥平面ABCD,正方形ABCD的邊長為4,所以所以在Rt△AOO1中所以所以所以外接球的體積是

圖7

解析2 如圖8,連接AC,BD交于點(diǎn)O1,連接AO1,設(shè)球心為O,半徑為R.由對(duì)稱性可知點(diǎn)O就在高SO1上或它的延長上,延長SO1交球于點(diǎn)E,連接AE,所以AE就是外接球的直徑,所以△SAE是直角三角形.由正四棱錐性質(zhì)可知SO1⊥面ABCD,正方形ABCD的邊長為2,所以所以在Rt△SAE中所以O(shè)1E=1,所以2R=SO1+O1E=9,所以外接球的體積是

圖8

注解析1利用建立直角三角形,運(yùn)用勾股定理來解決問題,存在的問題是外接球的球心是在正棱錐的高上還是高的延長線上,要分類討論,比較復(fù)雜.解析2也是利用建立直角三角形,但運(yùn)用的是直角三角形的射影定理來處理,好處就是不用分類直接就可以求出外接球的直徑.

根據(jù)本題的探究和分析,我們可以發(fā)現(xiàn)軸截面是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來處理,從而降低了空間思維難度.選擇最佳角度找出多面體含有特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓(即大圓),于是該圓的半徑(或直徑)就是所求的外接球的半徑(或直徑),然后利用他們的之間主要關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,建立直角三角形,利用這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法來解決多面體外接球半徑的問題,這種思路也是探求正棱錐和正棱柱外接球半徑的通解通法.

變式9 (改編2012年遼寧高考理科第16題)正三棱錐P-ABC,點(diǎn)P,A,B,C都在半徑為的球面上,若側(cè)棱PA=2,則球心到截面ABC的距離___.(答案:)

變式10 (2017屆河南省洛陽市高三年級(jí)第一次統(tǒng)一考試(理)第12題)四面體A-BCD中,∠ABC=∠ABD=則此四面體的外接球的表面積為( )

(答案:A)