陜西省西安市高新第三中學(xué)(710075)呂二動(dòng)

陜西省咸陽渭城區(qū)西藏民族大學(xué)附屬中學(xué)(712082)袁義東

題目(2017年咸陽三模試題)已知橢圓C:1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,且橢圓C的離心率為

(I)求橢圓C的方程;

(II)過橢圓C右焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),D為橢圓C的右頂點(diǎn),AD、BD分別交直線l:x=3與M、N兩點(diǎn),求的值.

解(I)由條件知:F(1,0),解之得:故橢圓方程為:

在對此題評析后,筆者對此題第二問做了進(jìn)一步的揣摩與研究,并將此結(jié)論推廣為一般情況:

結(jié)論1 已知橢圓C:過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),D為橢圓C的右頂點(diǎn),AD、BD分別交直線l:與M、N兩點(diǎn),則FM⊥FN.

通過探究也可對結(jié)論1進(jìn)行如下的變式:

結(jié)論2 已知橢圓C:直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),D為橢圓C的右頂點(diǎn),直線AD、BD分別交定直線:與M、N兩點(diǎn),直線l與x軸的交點(diǎn)為P點(diǎn)且PM⊥PN,則直線l恒過定點(diǎn)(c,0).

對于上面的結(jié)論1,結(jié)論2能否推廣到雙曲線,拋物線嗎?答案是肯定的

結(jié)論3 已知雙曲線C:過雙曲線C的右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn),D為雙曲線C的右頂點(diǎn),AD、BD分別交直線l:與M、N兩點(diǎn),則FM⊥FN.

結(jié)論5 已知拋物線C:y2=2px,(p＞0).過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),AO、BO分別交準(zhǔn)線l:與M、N兩點(diǎn),則FM⊥FN.

結(jié)論6 已知拋物線C:y2=2px,(p＞0),不過原點(diǎn)O直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),AO、BO分別交準(zhǔn)線l:與M、N兩點(diǎn),直線l與x軸的交點(diǎn)為P點(diǎn)且PM⊥PN,求證:直線l恒過定點(diǎn)

對于以上拋物線的結(jié)論的證明可以仿照橢圓和雙曲線進(jìn)行證明,具體的證明留給有興趣的讀者！

數(shù)學(xué)問題的思考,需要平時(shí)學(xué)習(xí)中的善于積累和勤奮鉆研,只有通過量變達(dá)到質(zhì)變,從而引起飛躍式的發(fā)展,熟練掌握一些有用的結(jié)論,考試時(shí)方能厚積薄發(fā),達(dá)到“會(huì)當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”的境界！