湖南省會同縣第一中學(418300)于先金 唐邦友

一、問題呈現(xiàn)

題目已知a＞0,b＞0,且a+b=4,求y=的最小值.

這是合肥一中某屆高三的一道考試題,值得我們?nèi)テ肺?通過對這道試題的探究,得到了一些有意義的結(jié)論:一是從錯解中找到了錯解的原因,可謂錯中求真;二是得到了多種常規(guī)自然的解法,可謂精彩紛呈;三是得到了一些變式與拓展,使我們對問題的認識得更加深刻.

二、四種錯解,錯中求真

以上四種解法都錯了！錯在哪里?

對錯解1,2,4,在y≥8中都當且僅當時等號成立,但這都不滿足條件a+b=4;對錯解3,在y≥8中當且僅當即ab=6時等號成立,但ab=6與條件a+b=4聯(lián)立時a,b無解.綜上可知,y的最小值大于8.

三、多種正解,常規(guī)自然

正解1(恒等變形,拆項利用均值不等式)

正解2(均值換元,一目了然)

因為a＞0,b＞0,且a+b=4,所以可令a=2-t,b=2+t,其中-2＜t＜2.由錯解3中的恒等變形得

正解3(三角換元,別具一格)

評注本題也可通過代數(shù)換元,令b=λa,得并易求得

再利用函數(shù)單調(diào)性求出其最小值;也可視a為主元,將再利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值.

四、變式拓展,精彩紛呈

顯然函數(shù)f(x)在(0,n]上遞減,在[n,+∞)遞增.

五、結(jié)束語

美國著名數(shù)學教育家波利亞說:“一個專心的認真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目,去幫助學生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就像通過一道門戶,把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域”.當然,要做到這點,首先教師對試題的本身要有深入的研究,其次,對學生的課堂參與要給予足夠的激勵和引導.把課堂還給學生,傾聽他們的聲音,點燃他們的思維之火,讓數(shù)學課堂成為師生向往的樂園！