北京市第十二中學高中部(100071)劉剛 趙毅

1.試題

圖1

(1)求直線AP斜率的取值范圍;

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

試題考查了拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系、斜率范圍以及線段最值問題,考查了方程、轉化與化歸等數(shù)學思想以及坐標法的應用,檢驗了運算求解、分析問題與解決問題的能力.試題(2)問解法多樣,為不同學生搭建了施展才能的舞臺,是一道好題.

2.解法探究

點評解法1先表示出直線AP,BQ的方程,然后聯(lián)立得到點Q的坐標,借助弦長公式表示出|PA|,|PQ|,最后通過導數(shù)工具求最值.

解法2 連接BP,則

點評解法2把|PA|·|PQ|轉化為向量的數(shù)量積,然后坐標化,借助導數(shù)求最值,體現(xiàn)了向量的工具性作用,同時減少了運算量.

解法3 如圖2,取AB的中點為C,以C為圓心,CB為半徑作圓,因為AQ⊥BQ,所以點Q在圓C上.作直線PC與圓C交于D,E,由相交弦定理,得|PA|·|PQ|=|PD|·|PE|=(|CD|+|CP|)· (|CE|-|CP|).

圖2

點評解法3先挖掘圖形特點,通過構造圓,把求|PA|·|PQ|的最大值轉化為求|CP|的最小值,然后進一步得到以C為圓心,CP為半徑的圓與拋物線x2=y在點P處有相同的切線時|CP|最小,從而使問題得以解決.解法體現(xiàn)了先幾何后代數(shù)的特點,這是解決解析幾何問題的一種常用思路.

以上三種解法各具特色,解法1是通解通法,但運算量大;解法3從幾何圖形入手,過程簡潔,但不易被大多數(shù)同學想到;解法2借助向量知識,好想不難算,是解答本題最好的方法.向量是解決解析幾何中有關平行(共線)、垂直、夾角、軌跡等問題的有力工具,借助向量知識,將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化,往往有出其不意、事半功倍之效,下面舉例說明.

3.拓展

(1)解決共線問題.

例2 (2015年高考北京文科第20題)已知橢圓C:x2+3y2=3,過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A,B兩點,直線AE與直線x=3交于點M.

(1)求橢圓C的離心率;

(2)若AB垂直于x軸,求直線BM的斜率;

(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關系,并說明理由.

解(1)略,(2)略,1.

(3)直線BM與直線DE平行,解答如下:

當直線AB與x軸垂直時,經過驗證BM//DE.

而

(3)處理軌跡問題.

例4 如圖3,O是直角坐標原點,A,B是拋物線y2=2px(p＞0)上異于頂點的兩動點,且OA⊥OB,OM⊥AB并與AB相交于點M,求點M的軌跡方程.

圖3

4.練習

練習1 (2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽新疆初賽)已知橢圓的離心率為橢圓短軸的上下兩個端點分別為A,B.以A為圓心,橢圓長半軸長為半徑的圓與橢圓交于C,D兩點,CD的中點的縱坐標為

(1)求橢圓的方程;

(2)直線l過橢圓的右焦點F且不垂直于x軸,l與橢圓交于M,N兩點,設點N關于x軸的對稱點為N′,問直線MN′是否經過定點?若經過定點,求出這個定點;否則,說明理由.答案:(1)橢圓的方程為直線MN′經過定點(4,0).

練習2 (2015年高考安徽文科第20題)設橢圓E的方程為點O為坐標原點,點A的坐標為(a,0),點B的坐標為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為

(1)求E的離心率e;

(2)設點C的坐標為(0,-b),N為線段AC的中點,證明MN⊥AB.答案:(1)(2)略.

練習3 (2016年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽湖北省預賽)過拋物線y2=2px(p＞0)外一點P向拋物線作兩條切線,切點為M、N,F為拋物線的焦點.證明

(1)|PF|2=|MF|·|NF|;

(2)∠PMF=∠FPN.答案:略.