高玉波， 張偉, 李達誠， 宜晨虹, 湯鐵鋼

(1.中北大學 理學院, 山西 太原 030051; 2.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院, 黑龍江 哈爾濱 150080; 3.中國工程物理研究院 流體物理研究所, 四川 綿陽 621900)

0 引言

陶瓷屬于典型的彈脆性材料，部分陶瓷在沖擊加載條件下會表現(xiàn)出一定的應(yīng)變率效應(yīng)和塑性特征，使得材料本構(gòu)關(guān)系變得復雜。這種復雜的本構(gòu)關(guān)系根源在于陶瓷的破壞模式，即材料內(nèi)部存在的微裂紋、微孔洞等。這些微觀缺陷隨加載壓力的增加將出現(xiàn)成核、擴展、匯集等微觀現(xiàn)象，最終導致材料崩潰。由此可見，陶瓷的破壞模式并不是一種瞬間的坍塌，而是微觀缺陷引起的裂紋擴展而導致完全破碎的一個過程，也就是說陶瓷材料的破壞伴隨著損傷累積。

目前，關(guān)于陶瓷本構(gòu)關(guān)系的理論模型可由對損傷的定義來劃分，主要有細觀損傷模型和連續(xù)損傷模型兩個方向，其中，最具代表性的細觀損傷模型是Rajendran-Grove模型[1]。該模型基于細觀力學理論，將材料內(nèi)部的微裂紋加入到彈性常數(shù)的損傷累積計算過程，其中，微裂紋的損傷通過無量綱的裂紋密度和斷裂力學中裂紋的生長和擴展定律表征。Addessio等[2]、Deshpande等[3]、Clayton等[4-5]均從陶瓷材料的微裂紋、晶格結(jié)構(gòu)等方面入手建立了相應(yīng)的材料強度隨裂紋擴展的損傷演化模型。細觀損傷模型比較接近材料真實的損傷累積過程，但模型的建立具有局限性，主要適用于材料的大應(yīng)力應(yīng)變加載條件，且模型復雜、參量較多。連續(xù)損傷模型不考慮陶瓷材料微觀缺陷的發(fā)展過程，采用連續(xù)介質(zhì)力學對材料的強度、損傷和狀態(tài)方程以一種連續(xù)函數(shù)形式進行表征，如早期的Drucker-Prager模型[2]。Johnson等參考了Drucker-Prager模型中含損傷的屈服面演化理論，建立了材料強度隨損傷累積的Johnson-Holmquist(JH)本構(gòu)模型，如JH-I[6]、JH-II[7]和JHB[8]本構(gòu)模型。JH本構(gòu)模型主要包含壓力相關(guān)的材料強度、損傷和斷裂，材料膨脹和斷裂后的強度，以及材料應(yīng)變率效應(yīng)。由于JH本構(gòu)模型物理意義明確、應(yīng)用簡便，并易于有限元分析的實現(xiàn)，一經(jīng)推出后便受到了相關(guān)工程領(lǐng)域廣泛地使用。

但是，在沖擊加載條件下，材料損傷累積發(fā)生于完整陶瓷臨界至完全破碎的過程，且伴隨體積膨脹效應(yīng)，導致實驗方式尚無法直接獲得損傷參數(shù)值。目前，常規(guī)方法則主要以經(jīng)驗為主，即將仿真結(jié)果與平板撞擊實驗結(jié)果比對以粗略建立損傷模型[9-12]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參考了生物神經(jīng)系統(tǒng)對信息的處理方式，通過計算機語言來建立數(shù)據(jù)處理模型。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含大量的人工神經(jīng)元，神經(jīng)元之間由權(quán)值相互連接，根據(jù)外界信息的輸入可改變權(quán)值的大小，并對輸入信息進行建模，最終解決實際問題。其中，反向傳播(BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則可解決線性不可分問題，是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的核心部分，被廣泛地用于逼近、回歸、分類識別等領(lǐng)域[13]。因此，本文提出了一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模完成對JH-II本構(gòu)模型中損傷參數(shù)的反演方法。

1 JH-II本構(gòu)模型

JH-II本構(gòu)模型發(fā)展了Drucker的含損傷屈服面演化理論，建立了陶瓷強度隨損傷積累而連續(xù)減小的對應(yīng)關(guān)系。JH-II本構(gòu)模型中認為，當材料的損傷累積發(fā)生時(對應(yīng)損傷因子D>0)，材料的強度隨著塑性應(yīng)變的增加而逐漸出現(xiàn)劣化現(xiàn)象，如圖1所示。圖1中對靜水壓力p和等效應(yīng)力σ做了無量綱化處理，分別為p*=p/pHEL，σ*=σ/σHEL，其中，pHEL和σHEL分別為Hugoniot彈性極限(HEL)狀態(tài)下的靜水壓力和等效應(yīng)力[10]，μ為材料的比容。

圖1 JH-II本構(gòu)模型Fig.1 Description of JH-II ceramic model

由圖1所示，陶瓷材料的無量綱等效應(yīng)力可描述為

(1)

在材料完整的情況下(未損傷，D=0)，無量綱等效應(yīng)力為

(2)

在完全損傷情況下，無量綱等效應(yīng)力為

(3)

在大應(yīng)力應(yīng)變條件下，JH-II本構(gòu)模型中的材料損傷定義為損傷累積的形式：

(4)

圖2 一定壓力條件下陶瓷材料的強度、損傷和斷裂示意圖Fig.2 Strength, damage, and fracture of ceramic material at a constant pressure and strain rate

材料所能承受的最大的塑性應(yīng)變可表示為

(5)

2 損傷參數(shù)反演

陶瓷JH-II本構(gòu)模型中損傷參數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演精度主要受兩方面因素影響：BP網(wǎng)絡(luò)的隱含層節(jié)點數(shù)和數(shù)值仿真建模。隱含層節(jié)點數(shù)需兼顧仿真工況數(shù)量、計算機性能和反演精度，可通過多次試算確定。數(shù)值仿真模型對反演結(jié)果的影響因素主要包括材料參數(shù)和模型網(wǎng)格，本文所取陶瓷材料參數(shù)由前期工作的實驗和理論分析中獲得并驗證；而彈丸和陶瓷材料網(wǎng)格劃分需要考慮彈靶接觸引起的網(wǎng)格侵蝕，并適當選擇網(wǎng)格大小。最終，反演精度可由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的均方誤差進行表征。

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱含層可以是多層的，并強調(diào)誤差反向傳播，如圖3所示，圖中ni為輸入節(jié)點數(shù)，no為輸出節(jié)點數(shù)。隨著權(quán)值的不斷訓練，輸出誤差和目標輸出誤差的差值將逐漸減小，直到不再下降。其中，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)一般采用光滑可微的Sigmoid 函數(shù)，其自變量范圍包含整個實數(shù)域。權(quán)值修改的方式為最速下降法的改進算法，例如動量BP 法、學習率可變的BP 算法、擬牛頓法、Levenberg-Marquard(LM)算法等。

圖3 含兩層隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig.3 BP neural network with two hidden layers

本文采用MATLAB工具箱中改進的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊對樣本進行訓練，主要由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成。輸入層包含兩個節(jié)點，分別為侵徹深度和彈丸撞擊速度；輸出層的兩個節(jié)點分別為待反演的損傷參數(shù)D1和D2. 隱含層和輸出層的傳遞函數(shù)分別采用Sigmoid 函數(shù)和線性Purelin 函數(shù)。隱含層的節(jié)點數(shù)對網(wǎng)絡(luò)性能有較大的影響，數(shù)量過少將導致計算不精確，相反則會導致計算時間過長。一般認為，隱含層的節(jié)點數(shù)nh與輸入節(jié)點數(shù)ni和輸出節(jié)點數(shù)no有關(guān)：

(6)

式中：a∈[0,10]；ni=1；no=2. 經(jīng)過多次試算，nh取為3.

LM算法能夠解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易于收斂于局部極小的缺點，其網(wǎng)絡(luò)權(quán)值修正方式為

ω(n+1)=ω(n)-[JTJ+αJ]-1JTe，

(7)

式中：J為含誤差性能函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值1階導數(shù)的雅克比矩陣；α為比例系數(shù)，當α=0時，LM算法退化為牛頓法，當α取值無限大，(7)式相當于步長很小的梯度下降法；網(wǎng)絡(luò)的誤差e定義為

ej(n)=dj(n)-Yj(n)，

(8)

dj(n)和Yj(n)分別為網(wǎng)絡(luò)的期望輸出和實際輸出，j為輸出層單元數(shù)。

經(jīng)過n次迭代后，網(wǎng)絡(luò)的誤差信號為

(9)

圖4給出了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流程圖。首先，確定陶瓷類材料損傷參數(shù)D1和D2的取值范圍，完成樣本的設(shè)計；其次，采用AUTODYN有限元仿真軟件完成不同取樣點的數(shù)值仿真，并提取仿真中彈丸的侵徹深度；將仿真侵徹深度和彈丸撞擊速度數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，損傷參數(shù)D1和D2作為網(wǎng)絡(luò)的輸出，對網(wǎng)絡(luò)進行訓練；最后，將實驗中獲得的侵徹深度和彈丸撞擊速度數(shù)據(jù)輸入訓練成型的網(wǎng)絡(luò)模型，反演獲得損傷參數(shù)。運算順序角度上，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對損傷參數(shù)的反演等同于數(shù)值仿真的逆運算，即將損傷、侵徹深度、撞擊速度等參數(shù)的運算順序反轉(zhuǎn)，其本質(zhì)是一種對參數(shù)和仿真結(jié)論之間的歸納算法。

圖4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)程序流程圖Fig.4 Flow chart of BP neural network program

參考陶瓷類材料JH-II本構(gòu)模型的損傷參數(shù)值[9-12]，假設(shè)TiB2-B4C 復合材料的D1取值范圍在0.001～0.011之間，D2在0.5～2.1 之間[14]。在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過程中，只考慮參數(shù)取值范圍內(nèi)樣本點的均勻散布，D1和D2分別每隔0.002、0.2 取一個值。

2.2 侵徹深度實驗

侵徹深度實驗在哈爾濱工業(yè)大學高速撞擊研究中心二級輕氣炮裝置上進行，彈丸采用φ8 mm鎢合金球，密度為17.6 g/cm3，質(zhì)量為4.82 g，撞擊速度分別為1 717 m/s、1 877 m/s、2 025 m/s和2 220 m/s. 靶板為常用的陶瓷/金屬復合裝甲，其中，陶瓷面板為TiB2-B4C復合材料，尺寸為φ100 mm×10 mm，并增加鋁合金側(cè)向約束；金屬背板為φ120 mm×50 mm的2A12鋁合金，靶件示意圖如圖5所示。

圖5 球彈丸撞擊陶瓷/金屬復合裝甲示意圖Fig.5 Schematic diagram of spherical projectile impacting on ceramic/metal composite armor

2.3 數(shù)值仿真

實際工況可簡化為軸對稱問題處理，采用AUTODYN仿真軟件對鎢合金球彈丸侵徹陶瓷/金屬復合裝甲進行二維和三維數(shù)值模擬建模。其中，二維仿真模型數(shù)據(jù)主要用于損傷參數(shù)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演；三維模型主要用于驗證陶瓷面板的完整損傷形態(tài)。二維模型中，彈丸和陶瓷面板均采用光滑粒子流體動力學方法(SPH)描述。鋁合金背板和陶瓷側(cè)向約束為Lagrange網(wǎng)格，并采用侵蝕法解決彈靶撞擊過程中發(fā)生的網(wǎng)格畸變。模型中SPH粒子影響域半徑和背板中心區(qū)域Lagrange網(wǎng)格均為0.2 mm，如圖6(a)所示。三維模型中，所有材料均采用Lagrange網(wǎng)格，彈著點附近網(wǎng)格尺寸為0.4 mm，如圖6(b)所示。

表1給出了TiB2-B4C復合材料的JH-II本構(gòu)模型參數(shù)，λ為泊松比，ρ0為常溫常壓條件下材料的密度，E0為常溫常壓條件下材料的彈性模量，μHEL為Hugoniot彈性極限狀態(tài)下的材料比容，K1為體積模量，K2、K3為材料常數(shù)，G為剪切模量，β為沖擊波作用下材料內(nèi)彈性能與靜水壓勢能之間的能量轉(zhuǎn)化率。其中，損傷參數(shù)根據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本要求進行設(shè)計。鎢合金和2A12鋁合金均屬于延性金屬材料，仿真材料模型均采用Shock狀態(tài)方程和Johnson-Cook本構(gòu)關(guān)系進行描述[15-16]。

圖6 有限元模型Fig.6 Finite element model

表1 TiB2-B4C復合材料的JH-II本構(gòu)參數(shù)

2.4 模型訓練和參數(shù)計算

圖7 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練、驗證和測試的均方誤差Fig.7 MSEs of BP neural network in training, validation and test process

根據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣本對損傷參數(shù)D1和D2的設(shè)計，仿真工況數(shù)量為216. 將仿真中80%、10%、10%的工況分別對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓練、驗證和測試，獲得了3種狀態(tài)下網(wǎng)絡(luò)的均方誤差約為0.08，如圖7所示。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過程中，訓練、驗證和測試網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)系數(shù)分別為0.928 9、0.927 8和0.938 6，總的相關(guān)系數(shù)為0.928 1. 將侵徹深度實驗中彈丸初始撞擊速度v0和侵徹靶板深度P輸入到訓練好的網(wǎng)絡(luò)模型，結(jié)果顯示反演獲得的D1和D2數(shù)據(jù)較為接近，如表2所示。將不同速度下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演獲得的D1和D2取平均值，最終值分別確定為0.004 1和1.279 1.

表2 損傷參數(shù)D1和D2的反演結(jié)果

3 本構(gòu)模型驗證

陶瓷/金屬復合裝甲的侵徹深度和陶瓷面板的損傷是描述陶瓷復合裝甲抗侵徹性能的重要指標。為了驗證BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型獲得的TiB2-B4C復合材料損傷參數(shù)的有效性，將侵徹深度和實驗回收的陶瓷面板損傷與數(shù)值仿真結(jié)果進行了對比，如圖8和表3所示。由圖8可知，數(shù)值仿真數(shù)據(jù)和實驗數(shù)據(jù)吻合較好，正負誤差在10%以內(nèi)，說明JH-II本構(gòu)模型的損傷參數(shù)能夠較好地反映TiB2-B4C復合材料受高速撞擊的力學響應(yīng)特征。

圖8 實驗和數(shù)值仿真侵徹深度對比Fig.8 Comparison of experimental and simulated penetrating depths

由表3可知，受到應(yīng)力波的作用，整個陶瓷面板由于裂紋擴展和損傷演變發(fā)生了不同程度的破碎。實驗結(jié)果表明，在彈著點附近的陶瓷呈顆?；蚍勰?，說明陶瓷已處于完全損傷狀態(tài)；遠離彈著點，陶瓷的損傷可由環(huán)向裂紋和徑向裂紋表征，且距離彈靶作用點越遠，裂紋的密集程度越小，即陶瓷損傷程度越小。同時，由實驗回收的陶瓷面板可知，在距離陶瓷板外圓15.2 mm處存在一個較為明顯的環(huán)向裂紋；在數(shù)值仿真結(jié)果中，這個環(huán)向裂紋位置約為15.0 mm. 對于實驗和數(shù)值仿真中的陶瓷面板徑向裂紋，由于裂紋較為密集，具體位置較難給出定量值，但兩者的陶瓷損傷形式接近。因此，數(shù)值仿真結(jié)果很好地再現(xiàn)了實驗過程中陶瓷面板的裂紋擴展趨勢，充分驗證了所建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模以及損傷參數(shù)反演的有效性。

4 結(jié)論

在沖擊加載條件下，陶瓷材料的損傷累積伴隨著體積膨脹效應(yīng)，使得JH-II本構(gòu)模型中損傷參數(shù)無法由實驗方式直接獲得。本文提出一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模獲得損傷參數(shù)的反演方法。

1)參考陶瓷類材料JH-II本構(gòu)模型損傷參數(shù)取值，確定了反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中均勻分布的樣本點。

2)采用侵徹實驗和數(shù)值仿真相結(jié)合的方式完成了網(wǎng)絡(luò)的建模以及損傷參數(shù)的反演。

3)對比實驗回收的陶瓷面板破碎形貌和數(shù)值仿真數(shù)據(jù)，驗證了建立的反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及損傷參數(shù)反演的有效性。

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