劉燎 孫華苗 何波 薛力軍 張迎春，3

(1 深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東深圳 518064)(2 微小衛(wèi)星控制系統(tǒng)仿真與測試工程實驗室，廣東深圳 518064)(3 哈爾濱工業(yè)大學航天學院，哈爾濱 150001)

三軸磁強計能用來測量載體所處周邊環(huán)境的磁場強度大小和方向。在傳統(tǒng)航天器中，采用宇航級的三軸磁強計，其測量精度較高，穩(wěn)定性較好，在各種惡劣環(huán)境和復雜條件下具有良好的適應(yīng)性，能夠滿足中低軌道航天器基本任務(wù)需求，目前已廣泛應(yīng)用于航天器姿態(tài)確定與控制。近年來，隨著微小衛(wèi)星的發(fā)展，傳統(tǒng)的宇航級三軸磁強計已不能滿足微小衛(wèi)星成本低、質(zhì)量小等要求，越來越多的低成本(商用/工業(yè)級)三軸磁強計逐步應(yīng)用到微小衛(wèi)星的姿態(tài)確定與控制系統(tǒng)中[1]。低成本三軸磁強計能夠滿足一般微小衛(wèi)星低軌低精度姿態(tài)確定的要求，具有價格低、質(zhì)量小、體積小、可靠性高等優(yōu)點，但具有穩(wěn)定性較差、對環(huán)境適應(yīng)性差的缺點。例如，溫度漂移系數(shù)的差異使不同溫度下的低成本三軸磁強計的測量精度大大降低(最大為幾千納特)，導致姿態(tài)確定誤差可達幾度，大大降低了姿態(tài)確定精度。因而，如何對低成本三軸磁強計的測量誤差進行校正，成為磁強計應(yīng)用中的一個研究重點。

在三軸磁強計實際工作時，地磁信號和各類誤差信號耦合在一起，由傳感器輸出，這將嚴重影響三軸磁強計的測量精度。目前，三軸磁強計測量誤差的校正方法主要有：采用橢球曲面擬合三軸磁場強度數(shù)據(jù)，利用遞推法計算標定參數(shù)[2]；從三軸磁強計測量誤差來源進行分析和建模，建立三軸磁強計校正模型[3]；采用基于總體最小二乘算法對模型的參數(shù)進行估計[4]；基于遺傳算法融合的最小二乘算法對三軸磁強計進行標定校準[5]；利用三軸磁強計和計算磁場強度的在軌數(shù)據(jù)通過非線性最小二乘算法對三軸磁強計進行標定[6-7]；基于粒子群算法(PSO)的三軸磁強計標定參數(shù)估計[8]；基于擴展卡爾曼濾波方法對三軸磁強計進行在軌實時校準[9]；基于改進最小二乘估計器的三軸磁強計校正方法[10]；此外，文獻[11]中對三軸磁強計的在軌標定及測量應(yīng)用進行了說明。以上標定方法，或者是針對宇航級磁強計，溫漂系數(shù)很小，或者是在地面進行標定，溫度變化小，即使沒有考慮溫度的影響，也能達到良好的標定效果。由于微小衛(wèi)星采用的三軸磁強計存在溫度漂移，因而會導致三軸磁強計測量的零位誤差、標度系數(shù)誤差和非正交誤差等不是固定值，可能隨著溫度變化，在溫度變化幾十度范圍內(nèi)會導致上千納特的測量誤差。

本文針對三軸磁強計的測量誤差進行分析，對三軸磁強計的校正原理進行數(shù)學建模，并基于該模型在溫度可變的磁環(huán)境模擬器中對三軸磁強計進行測試，驗證了本文方法的實用性。

1 三軸磁強計測量誤差校正模型

三軸磁強計的測量誤差主要由零偏誤差、標度系數(shù)誤差及三軸垂直度誤差組成。零偏誤差是指三軸磁強計在使用過程中內(nèi)部剩磁及電路漂移等導致的傳感器輸出漂移。標度系數(shù)誤差是指組成三軸磁強計的3個傳感器電氣特性不完全對稱，導致其標度系數(shù)不同而造成的誤差。三軸垂直度誤差是指三軸磁強計的3個軸不完全正交帶來的誤差。本文首先根據(jù)三軸磁強計的測量誤差建立三軸磁強計的誤差校正模型，通過磁場強度的梯度變化得到線性方程組。為了在全溫度范圍內(nèi)對三軸磁強計進行標定，在不同溫度下分別利用偽逆法計算標定系數(shù)。最后，在全溫度范圍內(nèi)對不同溫度下的零位電壓和標定系數(shù)進行溫度的線性擬合，得到滿足全溫度范圍內(nèi)的零位電壓和標定系數(shù)，從而實現(xiàn)對由于溫度引起的零位電壓誤差、標度系數(shù)誤差和非正交誤差的校正。

1.1 數(shù)學建模

一般，三軸磁強計在衛(wèi)星上安裝時，會使其機械坐標系和衛(wèi)星本體坐標系(OXbYbZb)的3個軸互相平行，其安裝方位如圖1所示。三軸磁強計的測量坐標系(OXmYmZm)和衛(wèi)星本體坐標系的幾何關(guān)系如圖2所示。

圖1 三軸磁強計在衛(wèi)星中的方位Fig.1 Location of three-axis magnetometer in body of satellite

圖2 三軸磁強計測量坐標系與衛(wèi)星本體坐標系Fig.2 Three-axis magnetometer measurement coordinate and body coordinate of satellite

三軸磁強計的輸出磁場強度Bb(已經(jīng)過安裝矩陣變換到衛(wèi)星本體坐標系中)與Bm(基于測量坐標系)之間的關(guān)系，可參考泊松模型[12]表示為

Bb=ABm+b

(1)

式中：A為3×3系數(shù)矩陣；b為3×1零位電壓矩陣。

根據(jù)目前已知的三軸磁強計數(shù)學模型[12]，無論三軸磁強計的各種誤差如何，均可用泊松模型中的矩陣A與b描述。例如，對于三軸磁強計本身因制造和裝配工藝而產(chǎn)生的零位誤差、標度系數(shù)(靈敏度)誤差與非正交誤差，零位誤差即矩陣b，標度系數(shù)誤差主要表現(xiàn)在矩陣A的對角元，而矩陣A的非對角元則反映了非正交誤差。對于載體磁場強度所造成的干擾，矩陣A描述了與地磁場強度呈線性關(guān)系的干擾，即軟磁干擾；矩陣b則表征了相對于衛(wèi)星本體坐標系固定不變的干擾，即硬磁干擾。

對于輸出為電壓模擬量的三軸磁強計，參考泊松模型建立其測量模型。輸出電壓Um、標定系數(shù)矩陣F和輸入磁場強度Bb之間的關(guān)系為

Um=FBb+U0，m

(2)

整理可得

(3)

令

(4)

則三軸磁強計的測量模型可表示為

(5)

在零位電壓U0，m的計算中，為了不引入偶然誤差，以線圈磁場強度為0 nT時三軸磁強計的輸出電壓作為零位電壓，不同溫度下計算出來的零位電壓對溫度進行線性擬合，得出最終的零位電壓表達式。

在標定系數(shù)矩陣F的計算中，不同溫度下，線圈磁場強度的梯度變化、三軸磁強計輸出電壓和已擬合得到的零位電壓，可構(gòu)成線性方程組。對于超定線性方程組，采用偽逆法可求出其最小二乘解。根據(jù)不同溫度下得出的標定系數(shù)對溫度進行線性擬合，得出最終的標定系數(shù)矩陣。

1.2 磁場強度的計算過程

1)溫度的計算

根據(jù)不同溫度下三軸磁強計的溫度電壓輸出，線性擬合出溫度計算公式如下。

T=(Ut-Ui)/k

(6)

式中：T為環(huán)境溫度，℃；Ut為三軸磁強計的溫度測量輸出電壓，V；Ui為溫度測量截距，V；k為溫度比例系數(shù)，V/℃。

2)零位電壓的計算

根據(jù)不同溫度下磁場強度為0 nT時三軸磁強計的Xm軸、Ym軸、Zm軸磁場電壓輸出，利用三階線性擬合得出零位電壓的計算公式如下。

(7)

式中：UXm(0)，…，UZm(3)分別為Xm軸、Ym軸、Zm軸磁場電壓與溫度三階線性擬合得出的零階、一階、二階和三階系數(shù)。

3)標定系數(shù)矩陣的計算

不同溫度下，求解超定線性方程組得出不同的標定系數(shù)矩陣。利用三階擬合得出標定系數(shù)矩陣和溫度的關(guān)系式如下。

(8)

式中：F11(0)，…，F(xiàn)33(3)分別為標定系數(shù)矩陣F的9個矩陣元與溫度進行三階線性擬合得出的零階、一階、二階和三階系數(shù)。

4)磁場強度的計算

根據(jù)三軸磁強計的四路遙測電壓，由式(6)～(8)計算三軸磁強計的零位電壓和標定系數(shù)矩陣，根據(jù)式(5)可得出三軸磁強計的測量磁場強度。

2 測試及結(jié)果分析

2.1 溫度建模系數(shù)及零位電壓系數(shù)

標定測試中，溫度范圍為-30～+60 ℃，溫度測量步長為10 ℃，磁場強度為0 nT的情況下線圈溫度和三軸磁強計的四路遙測電壓關(guān)系見表1。根據(jù)測試可得出溫度建模系數(shù)(見表2)和零位電壓系數(shù)(見表3)。

表1 溫度建模系數(shù)及零位電壓系數(shù)計算的測試數(shù)據(jù)

表2 溫度建模系數(shù)

表3 零位電壓系數(shù)

2.2 標定系數(shù)矩陣

標定測試中，磁場強度范圍為-80 000～+80 000 nT，磁場強度設(shè)定步長為20 000 nT。標定中采用單軸標定，即給三軸磁強計X軸加變化磁場時，Y軸和Z軸的磁場強度為0 nT。根據(jù)上文中三軸磁強計磁場強度測量的建模方法，利用偽逆法求解超定線性方程組，并對溫度進行三階擬合，可得標定系數(shù)矩陣擬合系數(shù)，見表4。

表4 標定系數(shù)矩陣擬合系數(shù)

2.3 測試結(jié)果分析

線圈磁場強度分別為±80 000 nT、±40 000 nT和0 nT時，對標定前后三軸磁強計的三軸測量誤差(測量值和標稱值之差)和模值誤差(三軸測量值平方和的開方值與標稱值之差)進行對比，見圖3～7?？梢钥闯觯簶硕ㄇ癤軸、Y軸和Z軸的測量誤差最大可達700 nT，1400 nT， 1150 nT，模值誤差最大可達1500 nT，不同溫度下的測量誤差波動很大。經(jīng)過標定后的三軸磁強計，測量誤差可控制在300 nT以內(nèi)，測量精度明顯高于標定前，姿態(tài)確定精度在0.8°以內(nèi)，可滿足一般微小衛(wèi)星的姿態(tài)確定要求[13]，充分體現(xiàn)了本文方法的實用性。由于本文采用偽逆法對三軸磁強計的測量誤差進行修正，因此標定后的測量誤差為統(tǒng)計意義上的最優(yōu)解，會存在不同磁場強度測量點誤差修正差異，即存在波動現(xiàn)象；此外，三軸磁強計正負向敏感軸的不一致性，也會導致正負向磁場強度誤差標定的波動性不一致。

圖3 標定前后的誤差(+80 000 nT磁場強度)Fig.3 Errors under +80000nT magnetic field intensity before and after calibration

圖4 標定前后的誤差(+40 000 nT磁場強度)Fig.4 Errors under +40000nT magnetic field intensity before and after calibration

圖5 標定前后的誤差(0 nT磁場強度)Fig.5 Errors under 0nT magnetic field intensity before and after calibration

圖6 標定前后的誤差(-40 000 nT磁場強度)Fig.6 Errors under -40000nT magnetic field intensity before and after calibration

圖7 標定前后的誤差(-80 000 nT磁場強度)Fig.7 Errors under -80000nT magnetic field intensity before and after calibration

3 結(jié)束語

本文對三軸磁強計的測量誤差進行分析，對三軸磁強計的校正原理進行數(shù)學建模并推導，利用偽逆法計算三軸磁強計的標定系數(shù)。利用標定系數(shù)和零位電壓對溫度進行線性擬合，對三軸磁強計的測量進行溫度補償，最后基于該模型在溫度可變的磁環(huán)境模擬器中對三軸磁強計進行測試。測試結(jié)果表明，本文方法能有效地將磁場強度單軸測量誤差控制在300 nT以內(nèi)，明顯高于標定前的精度，可滿足一般微小衛(wèi)星的姿態(tài)確定要求。由于產(chǎn)品的差異性，標定后的測量誤差不是簡單的重復性關(guān)系，但是采用本文的標定方法均可達到很好的標定效果。

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