王威威 沈超

摘要：研究了一種利用Duffing 方程混沌特性檢測(cè)微弱信號(hào)的方法，通過(guò)改變系統(tǒng)狀態(tài)-由混沌態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷趹B(tài)來(lái)檢測(cè)微弱信號(hào)的存在，相圖顯示出混沌系統(tǒng)對(duì)強(qiáng)噪聲背景的免疫性和對(duì)微弱信號(hào)的敏感性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明對(duì)于不同的混沌信號(hào)輸入，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生不同的相圖輸出結(jié)果，因而可有效地檢測(cè)到微弱信號(hào)的存在。

關(guān)鍵詞：Duffing方程;微弱信號(hào)檢測(cè);混沌;信噪比;相軌跡圖

中圖分類(lèi)號(hào)：TN911.23? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? 文章編號(hào)：1009-3044（2018）35-0238-06

Abstract：An? approach to detecting the weak signal by using Duffing equation is studied. The existence of weak signal is detected by changing the chaotic state to the periodic state. The phrase image shows the immunity of the chaotic system to strong noise and sensitivity of the weak signal. It shows that in the case of different chaotic signal input， the system produces different image output results， which can effectively detect the existence of weak signals.

Key words：Duffing equation;? weak signal detection;? chaos;? SNR; phase trajectory

1 背景

微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)在生物醫(yī)學(xué)、振動(dòng)測(cè)量、通信以及電力系統(tǒng)故障診斷等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用背景，一直是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。近年來(lái)微弱信號(hào)的檢測(cè)成為混沌領(lǐng)域越來(lái)越關(guān)注的重點(diǎn)，特別是強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)在通信、雷達(dá)等工程領(lǐng)域產(chǎn)生了重要的作用。當(dāng)微弱信號(hào)強(qiáng)度非常小時(shí)，很容易被環(huán)境中存在的強(qiáng)噪聲所干擾，使對(duì)其地檢測(cè)變得非常困難。目前，研究發(fā)現(xiàn)Duffing方程對(duì)特定的頻率的信號(hào)具有強(qiáng)烈的敏感性，而對(duì)隨機(jī)的噪聲信號(hào)具有免疫特性，故因此在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域Duffing方程發(fā)揮著重要的作用。

2 研究原理

2.1 Duffing方程形式

眾所周知，動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中有很多能夠產(chǎn)生混沌吸引子，比如常見(jiàn)的Lorenz方程，Rossler方程，Duffing方程等，其中Duffing方程是非線性系統(tǒng)中研究比較廣泛的數(shù)學(xué)模型，因此我們用Dufifng方程來(lái)構(gòu)造強(qiáng)噪聲背景下的混沌檢測(cè)系統(tǒng)，改進(jìn)的Duffing的混沌系統(tǒng)的形式如下：

經(jīng)過(guò)變形為式（2）

其中系數(shù)k為阻尼比，[-x+x3]為非線性恢復(fù)力，[γcos（ωt）]為周期策動(dòng)力。

2.2 系統(tǒng)特性

在系統(tǒng)（2）中當(dāng)k取固定值 0.5時(shí)，研究系統(tǒng)的混沌特性，當(dāng)策動(dòng)力幅值[γ]=0時(shí)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在三個(gè)平衡點(diǎn)x =0，x=1，x=-1。采用Matlab仿真，當(dāng)平衡點(diǎn)為x=0時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)域圖和相軌跡為圖1所示，當(dāng)平衡點(diǎn)為x =1，x=-1時(shí)，相軌跡圖為圍繞平衡點(diǎn)的渦卷圖及時(shí)域圖如圖1和圖2所示。

當(dāng)[γ]>0 時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)形態(tài)，具體又可分為以下幾種情況：[γ]較小時(shí)，軌跡表現(xiàn)為 Poincare 映射意義下的吸引子，點(diǎn)圍繞焦點(diǎn)作周期振蕩，漸增加到臨界值[γc]時(shí)，隨著[γ]的增大，系統(tǒng)歷經(jīng)同宿軌道、周期分叉直至達(dá)到混沌狀態(tài)。這一過(guò)程隨著[γ]的變化非常迅速。Duffing 振子各個(gè)狀態(tài)的時(shí)域波形及相平面軌跡如圖 4～圖 6 所示。

[γ]在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)都將處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。進(jìn)一步增加超過(guò)閾值[γd]，系統(tǒng)進(jìn)行大尺度周期振蕩（如圖 7）。此時(shí)相軌跡將焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)團(tuán)團(tuán)圍住，對(duì)應(yīng)的龐加萊映射亦為不動(dòng)點(diǎn)。

整體上看發(fā)現(xiàn)當(dāng)[γ]由零逐漸增大，系統(tǒng)相圖軌跡狀態(tài)呈現(xiàn)有規(guī)律的變化：系統(tǒng)由分岔軌跡、混沌軌跡、大尺度周期狀態(tài)切換。

3? 微弱信號(hào)檢測(cè)方法和性能分析

3.1 微弱信號(hào)檢測(cè)

從對(duì) Duffing 混沌振子隨策動(dòng)力幅值變化其運(yùn)動(dòng)形式隨之變化的規(guī)律分析，可以利用相軌跡由周期振蕩到混沌運(yùn)動(dòng)或由混沌運(yùn)動(dòng)到周期振蕩的顯著變化來(lái)檢測(cè)信號(hào)，這種變化對(duì)策動(dòng)力幅值的敏感性及對(duì)噪聲的免疫力是其可以用來(lái)進(jìn)行微弱信號(hào)檢測(cè)的基礎(chǔ)。

微弱正弦信號(hào)混沌檢測(cè)原理：我們首先調(diào)節(jié)系統(tǒng)策動(dòng)力幅值[γ]，取[γ=γd] ，使系統(tǒng)處于從混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)過(guò)渡的臨界狀態(tài)。當(dāng)用小幅值的、與周期策動(dòng)力頻率相近的余弦信號(hào)以及白噪聲對(duì) Duffing 混沌振子進(jìn)行攝動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)將從混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入大尺度周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過(guò)在計(jì)算機(jī)上觀測(cè)混沌系統(tǒng)相軌跡變化，得知待檢信號(hào)中是否含有所要檢測(cè)的正弦信號(hào)。此時(shí)，只要繼續(xù)調(diào)節(jié)策動(dòng)力幅值[γ]，使得系統(tǒng)再一次處于混沌到大尺度周期的臨界狀態(tài)，此時(shí)的策動(dòng)力幅值[γd′]，可求得待測(cè)信號(hào)的幅值為[a=γd-γd′]。之所以選擇系統(tǒng)從混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入大尺度周期運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)變化作為檢測(cè)的臨界點(diǎn)，要是基于兩點(diǎn)原因：一是因?yàn)閺幕煦鐮顟B(tài)進(jìn)入大尺度周期運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)在相平面上的軌跡將產(chǎn)生很明顯的變化，以便我們辨識(shí)系統(tǒng)的變化;另外一點(diǎn)是因?yàn)榇藭r(shí)外界強(qiáng)噪聲對(duì)于系統(tǒng)的影響是最微弱的。

微弱信號(hào)檢測(cè)系統(tǒng)方程為

其中[fcos（ωt）]為輸入的微弱信號(hào)，[n（t）=σε（t）]為高斯白噪聲信號(hào)。

當(dāng)[γ=0.6798]，k=0.5，[σ]=0時(shí)，系統(tǒng)的輸入待檢測(cè)信號(hào)前后的相圖為圖8所示。

由圖8看出在高斯白噪聲的前提下，在未存在微弱信號(hào)前提下系統(tǒng)處在臨界混沌態(tài)，添加微弱的余弦信號(hào)后系統(tǒng)立即變?yōu)橹芷趹B(tài)，從而可以判斷出系統(tǒng)存在微弱信號(hào)。

為了檢測(cè)出周期信號(hào)幅度的大小，計(jì)算機(jī)在計(jì)算過(guò)程中，循環(huán)一次，自動(dòng)地將策動(dòng)力的幅值[γ]減少 0.0001，直到統(tǒng)由周期狀態(tài)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)。此時(shí)[γ]減少為0.6798。于是，以求出幅值[a=γd-γd′]（[γd]為臨界的周期態(tài)策動(dòng)力幅值，[γd′]為臨界的混沌態(tài)策動(dòng)力幅值），得到這個(gè)結(jié)果與真實(shí)值[a]相比，存在一定誤差，原因是因?yàn)槲覀冸y以確定精確的[γd]的值。

3.2 性能分析對(duì)比

3.1.1 信噪比分析

為測(cè)試系統(tǒng)的抗噪聲能力，輸出高斯白噪聲經(jīng)過(guò)仿真后如圖所示：令式（3）中[σ≠0]時(shí)，分析在不同的噪聲強(qiáng)度背景下系統(tǒng)相圖的變化。

（b）相平面軌跡

觀察圖9-圖11的變化，可以看出在一定的噪聲強(qiáng)度下，系統(tǒng)相圖混沌態(tài)基本不變，說(shuō)明經(jīng)改進(jìn)后的Duffing方程保持著良好的抗噪性。

添加微弱信號(hào)，檢測(cè)系統(tǒng)在檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí)的抗噪聲能力。令[γ=0.6798]，使系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，添加不同噪聲強(qiáng)度觀察如圖所示：

當(dāng)外部噪聲信號(hào)的幅值[σ]從0增加到0.04時(shí)，系統(tǒng)的檢測(cè)微弱信號(hào)的狀態(tài)并不受噪聲強(qiáng)度的影響，展示了系統(tǒng)的強(qiáng)大的抗噪聲的能力。當(dāng)噪聲幅值[σ]增加到0.05時(shí)，系統(tǒng)檢測(cè)效果下降，微弱信號(hào)檢測(cè)效果不明顯，如圖13所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明當(dāng)噪聲信號(hào)幅值小于0.04時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定可靠的，因此系統(tǒng)的信噪比為如下：

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，該混沌系統(tǒng)具有較好的抗噪聲能力。

3.2.2 不同微弱信號(hào)頻率分析

當(dāng)添加待檢測(cè)的外部的微弱信號(hào)和策動(dòng)力參考頻率不同時(shí)，對(duì)于[ω1]取0.5，1.5，3，10等仿真，發(fā)現(xiàn)對(duì)于接近策動(dòng)力頻率的微弱信號(hào)有一定的檢測(cè)效果，但效果不明顯，當(dāng)與策動(dòng)力頻率相差較大時(shí)，系統(tǒng)相圖狀態(tài)沒(méi)有發(fā)生變化，仍然保持混沌狀態(tài)。故改進(jìn)后的Duffing方程對(duì)于與策動(dòng)力頻率相同時(shí)的待測(cè)信號(hào)效果最好。

經(jīng)與之前的Duffing方程對(duì)比，該改進(jìn)后的Duffing方程的優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)自兩個(gè)方面：一是系統(tǒng)在信噪比方面得到提升，目前采用時(shí)域方法處理信號(hào)的最低信噪比門(mén)限只有-10dB，并且與其他的改進(jìn)的Duffing方程[9]對(duì)比發(fā)現(xiàn)，信噪比有一定提升，有良好抗噪聲性能。二是系統(tǒng)在檢測(cè)微弱信號(hào)的量級(jí)上有較好的提高，在常見(jiàn)的Duffing方程中檢測(cè)微弱余弦信號(hào)的幅值一般為0.01，而此論文中系統(tǒng)的檢測(cè)信號(hào)幅值為0.0001，說(shuō)明系統(tǒng)在混沌態(tài)和周期態(tài)的過(guò)渡期更短，較好地提高檢測(cè)微弱信號(hào)的精度。

3.3 方法存在的問(wèn)題及改進(jìn)方向

Duffing 振子微弱信號(hào)檢測(cè)方法是一種時(shí)域信號(hào)處理技術(shù)，但仍存在很多難題亟待解決。其中一個(gè)突出的問(wèn)題是：檢測(cè)系統(tǒng)在混沌態(tài)和周期態(tài)的臨界狀態(tài)下，我們采用的自增步長(zhǎng)的方式改變策動(dòng)力幅值，由于精度的原因，容易出現(xiàn)誤判。且隨著檢測(cè)精度的提高， 狀態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)渡過(guò)程不明顯， 而檢測(cè)時(shí)間長(zhǎng)短，只能通過(guò)反復(fù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，因此系統(tǒng)可能會(huì)發(fā)生誤判。因此，研究解決減小過(guò)渡過(guò)程的影響，提高 Duffing 振子混沌檢測(cè)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性具有重要意義。

Duffing振子信號(hào)檢測(cè)方法中還存在兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是通過(guò)混沌向大周期的轉(zhuǎn)化進(jìn)行同頻信號(hào)檢測(cè)時(shí)存在檢測(cè)盲區(qū);二是利用狀態(tài)轉(zhuǎn)化來(lái)進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)時(shí)主要停留在定性分析上，這主要是指通過(guò)觀察時(shí)域序列圖和相圖等方式進(jìn)行系統(tǒng)所處狀態(tài)的判決。

為了能更有效地實(shí)現(xiàn)基于 Duffing 振子的微弱周期信號(hào)檢測(cè)，還要重點(diǎn)從混沌區(qū)間保持性，混沌系統(tǒng)臨界點(diǎn)相圖的狀態(tài)的突變性以及臨界相變的容噪性能等方面做進(jìn)一步研究，目前這些方面的研究鮮有文獻(xiàn)述及。研究混沌系統(tǒng)的這些檢測(cè)性能可以針對(duì)檢測(cè)要求更好地選擇不同的混沌振子，對(duì)基于 Duffing 振子的微弱信號(hào)混沌檢測(cè)的工程應(yīng)用具有重要的實(shí)際意義。

4? 結(jié)論

文中研究了改進(jìn)過(guò)Duffing混沌方程系統(tǒng)在微弱信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域的方法，討論如何利用Duffing方程特性對(duì)微弱信號(hào)檢測(cè)的原理，給出具體的仿真圖像，顯示出系統(tǒng)由混沌態(tài)向周期態(tài)轉(zhuǎn)變的過(guò)程。舉出微弱信號(hào)檢測(cè)的實(shí)例顯示出檢測(cè)的效果是明顯的和有效的。信噪比達(dá)到了-52dB，顯示出系統(tǒng)在噪聲情況下的穩(wěn)定。指出了Duffing方程檢測(cè)信號(hào)存在的問(wèn)題，我們還需要大量的研究去分析性能特性，以解決存在的精度和準(zhǔn)確度問(wèn)題。但從總體看，基于改進(jìn)的Duffing方程的微弱信號(hào)檢測(cè)仍具有較好的效果。

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[通聯(lián)編輯：唐一東]