張益明，趙永亮

（鹽城工學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，江蘇 鹽城 224005）

0 引言

資本存量作為一個(gè)非常重要的宏觀經(jīng)濟(jì)變量，對(duì)于研究經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問題至關(guān)重要。長(zhǎng)期以來，在官方數(shù)據(jù)缺失的背景下，資本存量的推算成為研究國(guó)內(nèi)宏觀經(jīng)濟(jì)的重要話題。國(guó)內(nèi)外對(duì)其的研究中，大部分文獻(xiàn)主要采用永續(xù)盤存法，也有部分文獻(xiàn)采用資本產(chǎn)出比法估算。本文采用經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型導(dǎo)出計(jì)量模型，對(duì)資本存量進(jìn)行非線性估算，而非以永續(xù)盤存法為核心。這樣處理可以避開使用爭(zhēng)議較大的歷史數(shù)據(jù)，以及歷史年份中如何選取折舊率、設(shè)定資本產(chǎn)出比等問題。并且，上述好處隨著時(shí)間的推移，可得數(shù)據(jù)的增加，將得到更充分的體現(xiàn)。而采用美國(guó)的資本存量數(shù)據(jù)進(jìn)行的檢驗(yàn)表明，本文提出的估計(jì)方法能夠獲得較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

1 資本存量估計(jì)方法的比較

1.1 基于永續(xù)盤存法的資本存量估計(jì)

永續(xù)盤存法是國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)采用的資本存量估計(jì)的主要方法。該方法基于一個(gè)直觀的思想，即某時(shí)期的資本存量等于本期的投資加上折舊后的上期資本存量。

首先，是基期資本存量的處理?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)于基期時(shí)間一般選擇1952年[1-3]，或1978年[4]。在基期資本存量的估計(jì)方法上，采用得最多的是資本產(chǎn)出比法[5]和資本增長(zhǎng)率法[2]。

其次，折舊率的處理。早期研究中對(duì)于折舊處理形成兩類觀點(diǎn)，一類以張軍和章元[1]為代表，認(rèn)為可以通過數(shù)據(jù)選擇回避折舊問題。另一類觀點(diǎn)認(rèn)為，折舊率必須考慮，但如何選擇無法達(dá)成一致。常見的做法是選擇5%的折舊率。再根據(jù)殘值率進(jìn)行推算[6]。此外，現(xiàn)有文獻(xiàn)還嘗試使用可變折舊率進(jìn)行資本存量估計(jì)[3,4]。不可否認(rèn)，上述處理方法各具特色。從經(jīng)濟(jì)實(shí)際發(fā)展過程來看，折舊率應(yīng)該是可變的，但是變化過程無法直接觀察，因此如何處理仍然值得深入探討。本文采用李賓[7]的建議，利用官方折舊數(shù)據(jù)而避開折舊率的選擇或計(jì)算。

再次，投資流量數(shù)據(jù)?，F(xiàn)有研究采用的投資流量數(shù)據(jù)的選擇包括四類，即固定資本形成總額、新增固定資產(chǎn)、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資、調(diào)整了的全社會(huì)固定資產(chǎn)投資。其中固定資本形成總額在研究中使用最多，也被認(rèn)為最合理。但李賓[7]認(rèn)為，采用固定資本形成總額僅僅是稍優(yōu)于全社會(huì)固定資產(chǎn)投資。

最后，價(jià)格指數(shù)選擇。在數(shù)據(jù)可獲得的情況下，現(xiàn)有文獻(xiàn)一般選擇固定資產(chǎn)投資價(jià)格指數(shù)平減當(dāng)期的投資，這被認(rèn)為是最好的做法。但是正如李賓[7]指出的，我國(guó)官方統(tǒng)計(jì)資料中最早只能獲取從1991年以來的這一指標(biāo)，因此涉及到之前年份時(shí)就存在數(shù)據(jù)缺失問題。對(duì)此，一般可以通過擬合或?qū)ふ姨娲缘闹笜?biāo)來解決。另外，還有一些研究直接借鑒了其他文獻(xiàn)計(jì)算的價(jià)格指數(shù)[4]。

1.2 基于投入產(chǎn)出表的資本存量估計(jì)

我國(guó)每5年公布一次投入產(chǎn)出表，因此可通過折舊率、折舊額反推資本存量[8]。該方法假設(shè)研究的時(shí)間窗口存在不變的折舊率，再通過投入產(chǎn)出表公布的折舊額，以及各期的投資流量和價(jià)格指數(shù)推算各期折舊率，進(jìn)而得到資本存量。

1.3 上述方法與本文的差異

上述方法一般都是在永續(xù)盤存法的基礎(chǔ)上展開的，部分文獻(xiàn)在估計(jì)中運(yùn)用了計(jì)量的方法，但是主要用于獲取估計(jì)過程中的一些變量。同時(shí)不少文獻(xiàn)對(duì)于估計(jì)的結(jié)果采用C-D函數(shù)進(jìn)行了檢驗(yàn)[7]。這些工作對(duì)本文頗多啟發(fā)，與本文的工作有一定關(guān)聯(lián)，但是并不相同。本文對(duì)資本存量的估計(jì)主要通過對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型的變換，得到可計(jì)量的模型，根據(jù)模型形式分別采用高斯牛頓法迭代法和直接搜索的方法進(jìn)行資本存量估計(jì)。

2 資本存量的高斯牛頓法估計(jì)模型

本文從索洛模型出發(fā)，假設(shè)總產(chǎn)出決定于現(xiàn)有的資本存量與勞動(dòng)力人數(shù)，即：

假設(shè)規(guī)模報(bào)酬不變，則α+β=1，式（1）兩邊取對(duì)數(shù)有：

2.1 不考慮平穩(wěn)性問題

式（2）由于基期資本存量無法獲取難以進(jìn)行直接估計(jì)，但是若不考慮數(shù)據(jù)平穩(wěn)性問題，則可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換后進(jìn)行估計(jì)。比如可以假設(shè)基期的資本存量為K0，各期凈投資為It，則式（2）可以寫成：

式（5）代入式（3）得到：

由式（6）出發(fā)，假設(shè)A為常數(shù)，則可以建立模型：

對(duì)模型（7）取初始，估計(jì)得到α和φ的估計(jì)值后，可根據(jù)α和φ的關(guān)系得到基期的資本存量K0新的估計(jì)值，再代入模型進(jìn)行第二次估計(jì)，反復(fù)迭代，直到K0的估計(jì)值收斂。然而，由于時(shí)間序列的平穩(wěn)性問題，上述方法需要在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后使用，而這也意味著估計(jì)的模型形式隨之變化。并且，通過對(duì)數(shù)據(jù)的單位根檢驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)中國(guó)的ln(Yt)為2階單整，而ln(Lt)則為1階單整。這和美國(guó)情況不同，美國(guó)的GDP以及人均GDP都為1階單整。因此無法進(jìn)行協(xié)整，而必須對(duì)原模型進(jìn)行差分變換。

2.2 考慮平穩(wěn)性問題

ln(Yt)與其他變量的單整階數(shù)不一致，對(duì)此建立差分模型進(jìn)行估計(jì)。ln(Yt)單整階數(shù)之所以較高主要是因?yàn)闈M足建模要求的時(shí)間期數(shù)不夠，只有22期。實(shí)際檢驗(yàn)1952—2015年的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)為1階單整。而對(duì)于本文來說，進(jìn)行兩次差分處理后雖然數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)了平穩(wěn)，但是也丟失了很多信息。并且，對(duì)于美國(guó)的數(shù)據(jù)而言，因?yàn)槎际且浑A單整，因此對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行兩次差分建模也不合適。因此，下面在推導(dǎo)了兩次差分后的回歸模型后，也提供了一次差分的回歸模型形式，并在實(shí)證中對(duì)兩個(gè)模型都進(jìn)行了估計(jì)。

假設(shè)A為常數(shù)，對(duì)式（2）進(jìn)行兩次差分轉(zhuǎn)換為：

以yt、kt、lt分別表示總產(chǎn)出、固定資本、勞動(dòng)力t時(shí)期的增長(zhǎng)率，則有：

將式（4）代入式（8）得到：

式（9）經(jīng)過兩次差分，解決了數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問題。實(shí)際建立模型時(shí)，為了控制其他未納入變量的影響，還加入被解釋變量的一階滯后項(xiàng)，得到：

其中：

同時(shí)，考慮差分導(dǎo)致的信息丟失問題，另外采用一階差分得到的回歸模型：

對(duì)于模型（10）和模型（11），在取K0的初始值K*后，計(jì)算出各期的以及模型中的，進(jìn)行估計(jì)得到α和φ的估計(jì)值然后，根據(jù)式（9）可知因此以作為下一次迭代時(shí)K0的取值。重復(fù)上述過程，直至K0收斂。另外，在估計(jì)美國(guó)資本存量時(shí)，本文嘗試在模型（11）中加入了虛擬Badyear的差分項(xiàng)，以反映一些年份實(shí)際GDP下降的情況，但對(duì)估計(jì)結(jié)果沒有影響。Badyear在當(dāng)年GDP小于上一年時(shí)取1，否則為0。對(duì)于中國(guó)1993—2015年間，未發(fā)生該情況，因此對(duì)中國(guó)資本存量的估計(jì)未加入該變量。

3 資本存量的直接搜索法估計(jì)模型

上文提出的估計(jì)方法沿用一個(gè)假設(shè)，即規(guī)模報(bào)酬不變。這對(duì)于建模而言無疑很方便，但是對(duì)于模型估計(jì)而言則可能帶來一些問題，比如某些年份中因?yàn)橐恍┩馍騼?nèi)生的沖擊導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)受到影響時(shí)，GDP與資本總量及勞動(dòng)力的數(shù)據(jù)可能不匹配，從而對(duì)模型估計(jì)造成干擾。另外，實(shí)際估計(jì)過程中，由于計(jì)算過程較為復(fù)雜，迭代過程可能也會(huì)產(chǎn)生一些意想不到的變化，比如得到負(fù)的資本存量，使得無法取對(duì)數(shù)而中止迭代過程。對(duì)此，本文由增長(zhǎng)模型中人均生產(chǎn)總量與人均資本的關(guān)系提出直接搜索法估計(jì)模型。

由式（1）可以得到：

假設(shè)A為常數(shù)1，則兩邊取對(duì)數(shù)有：

注意到式（13）右邊兩項(xiàng)的系數(shù)都是β，但是一正一負(fù)。另外，為了反映經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)過程中的意外負(fù)面沖擊，以及其他因素的影響。同樣還在模型（13）的基礎(chǔ)上加入了對(duì)數(shù)人均產(chǎn)出的滯后項(xiàng)以盡量控制其他未納入模型的因素。而對(duì)于美國(guó)資本存量的估計(jì)還加入了虛擬變量badyear。在此基礎(chǔ)上，差分后可以建立模型：

式（14）中Kt未知，可以選擇不同的初始K0，根據(jù)模型（4）計(jì)算出Kt代入模型（14）進(jìn)行回歸。當(dāng)K0選擇合適時(shí)，模型（14）的回歸系數(shù)α和β符號(hào)應(yīng)當(dāng)相反，但是絕對(duì)值接近。

除此以外，不少測(cè)算資本存量的文獻(xiàn)中假設(shè)資本產(chǎn)出比為常數(shù)，由GDP推測(cè)資本存量。而美國(guó)的數(shù)據(jù)也顯示，1950—2014年間，資本產(chǎn)出比居于2.52～3.46之間，大部分年份在3.16上下。若假設(shè)該指標(biāo)確實(shí)比較穩(wěn)定，則模型（12）可以寫成：

假設(shè)A為常數(shù)，可以推得：

同樣，在上式中加入badyear和人均產(chǎn)出的滯后項(xiàng)，再差分得到模型：

而在對(duì)中國(guó)資本存量估計(jì)時(shí)，則沒有badyear的差分項(xiàng)。同樣，當(dāng)K0選擇合適時(shí)，模型（16）的回歸系數(shù)α和β符號(hào)應(yīng)當(dāng)一致，大小接近。而對(duì)于K0的選取可以采用直接搜索、格點(diǎn)法、最陡爬坡等方法。為了較為直觀地展示整個(gè)搜索結(jié)果，本文采用了直接搜索法。

4 資本存量估計(jì)結(jié)果

4.1 數(shù)據(jù)來源

中國(guó)數(shù)據(jù)：本文估計(jì)采用的數(shù)據(jù)包括資本形成總額、投資價(jià)格指數(shù)、實(shí)際GDP、經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人口數(shù)、固定資產(chǎn)投資額、投資價(jià)格指數(shù)和折舊額。鑒于李賓[7]提供的數(shù)據(jù)被采用較多，因此2009年前上述各變量亦主要采用該文數(shù)據(jù)。而對(duì)于其后年份的數(shù)據(jù)則從相應(yīng)年份的中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒中補(bǔ)充。同時(shí)，對(duì)于折舊的處理也采用該文的方法，即用固定資本形成總額減去當(dāng)年的折舊額。同時(shí)，由于1993年以前國(guó)家統(tǒng)計(jì)局未公布折舊額，基于數(shù)據(jù)的可得性，本文的時(shí)間窗口選擇為1993—2015年。另外，所有變量均折算為2010年價(jià)格。

美國(guó)數(shù)據(jù)：美聯(lián)儲(chǔ)官網(wǎng)提供了歷年的資本存量、GDP、勞工就業(yè)人數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。本文選擇該網(wǎng)站公布的按2011年價(jià)格計(jì)算的GDP、資本存量數(shù)據(jù)，勞動(dòng)力數(shù)據(jù)根據(jù)所公布的按季節(jié)調(diào)整的就業(yè)人數(shù)取季度平均值作為該年份就業(yè)人數(shù)。

4.2 中國(guó)資本存量估計(jì)結(jié)果

參考現(xiàn)有文獻(xiàn)1993年資本存量估計(jì)值分布，并考慮迭代過程中的數(shù)據(jù)溢出問題。模型（10）初始值選取區(qū)間為[100,3000]百億元，選擇了多個(gè)初始值，包括100億元和2000億元，代入模型（10）進(jìn)行1000次迭代估計(jì)。迭代收斂速度視初始值大小，通常在迭代17～23次后收斂于471百億元，與已有文獻(xiàn)的估計(jì)差異較大。同時(shí)，區(qū)間內(nèi)不同初始值的選取對(duì)于估計(jì)結(jié)果沒有影響。模型（11）的初始值選取區(qū)間為[100,1500]，通常在迭代70～90次后收斂。利用模型（14）和模型（16）估計(jì)時(shí)，設(shè)定搜索區(qū)間為[100,3000]，步長(zhǎng)10。結(jié)果模型（14）的估計(jì)值為1380，接近張軍和章元[1]的估計(jì)值。由此計(jì)算出的資本產(chǎn)生比在2.6～3.7之間。并且資本產(chǎn)出在1993—1997年不斷下降，此后至2004年緩慢上升，然后至2007年略快下降，2008開始加速上升，意味著資本產(chǎn)出效率的下降。而模型（16）未能給出有效估計(jì)值。同時(shí)也意味著，90年代以來在改革和金融危機(jī)的影響下，中國(guó)的資本產(chǎn)出比變動(dòng)較明顯。表1給出了中國(guó)資本存量估計(jì)結(jié)果。

表1 中國(guó)資本存量估計(jì)所用數(shù)據(jù)及估計(jì)結(jié)果 （單位：百億元）

4.3 穩(wěn)健性檢驗(yàn)

這里選擇采用美國(guó)公布的數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)本文所介紹估計(jì)方法的可靠性。鑒于美國(guó)的數(shù)據(jù)都為1階單整，因此不使用模型（10）。具體而言，先使用官方公布的按照2011年價(jià)格計(jì)算的1950—2014年的資本存量數(shù)據(jù)差分得到歷年的凈投資It。再依據(jù)模型（11）、模型（14）和模型（16），設(shè)定不同初始資本存量進(jìn)行估計(jì)。另外，模型（11）的初始值選取區(qū)間為[1000000,7000000]，通常迭代15次左右收斂于4125183百萬美元。模型（14）和模型（16）的初始資本存量K0的搜索區(qū)間為[1000000,10000000]，搜索步長(zhǎng)為10000。并且，考慮模型設(shè)定可能與實(shí)際情況并不完全一致，因此模型中真實(shí)的α和β的絕對(duì)值可能并不相同。所以，實(shí)際進(jìn)行搜索估計(jì)時(shí)，對(duì)于模型（14）和模型（16）分別根據(jù)（-α/β）和（α/β）選擇能夠使α和β最為接近的初始資本存量。

圖1 模型（14）不同 K0時(shí)的（-α/β）

圖1和圖2給出了不同初始資本存量時(shí)，對(duì)應(yīng)的（-α/β）和（α/β），并標(biāo)出了極值點(diǎn)位置。其中模型（14）的估計(jì)顯示，初始資本存量選擇5480000較合理，而模型（16）的估計(jì)顯示資本存量選擇應(yīng)為5520000，因此這兩個(gè)模型估計(jì)的結(jié)果非常接近。而美國(guó)官方公布的1950年資本存量估計(jì)值為5680000。在凈投資數(shù)據(jù)可得的條件下，因?yàn)橘Y本存量估計(jì)值的差異主要在于基期資本存量，所以可以認(rèn)為模型（14）和模型（16）得到的估計(jì)值較為準(zhǔn)確。另外，與對(duì)中國(guó)資本存量估計(jì)類似的是，通過搜索得到的估計(jì)值要高于通過高斯牛頓法得到的估計(jì)值。

圖2 模型（16）不同 K0時(shí)的α/β

5 結(jié)論

本文通過對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型的轉(zhuǎn)換，提出了對(duì)中國(guó)資本存量進(jìn)行非線性估計(jì)的思路和模型。根據(jù)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型的不同處理，分別采用高斯牛頓法和直接搜索的方法進(jìn)行了資本存量估計(jì)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：一階差分后的高斯牛頓法估計(jì)值與現(xiàn)有文獻(xiàn)估計(jì)值較為吻合，但是估計(jì)收斂速度較慢。而二階差分后的估計(jì)值收斂很快，但是估計(jì)值明顯低于近期文獻(xiàn)的估計(jì)值。這種情況可能與數(shù)據(jù)質(zhì)量，以及差分過程中的信息丟失有關(guān)。而采用直接搜索得到的估計(jì)值高于已有文獻(xiàn)的估計(jì)值；另外，本文還利用美國(guó)官方公布的資本存量檢驗(yàn)了本文提出的估計(jì)方法，發(fā)現(xiàn)直接搜索法能夠得到比較準(zhǔn)確的估計(jì)值，而高斯牛頓法估計(jì)值相比直接搜索得到的估值小，與對(duì)中國(guó)資本存量的估計(jì)情況一致。