江忠偉，郭新穎

（1.中國(guó)人民銀行南通市中心支行，江蘇 南通 226007；2.中國(guó)聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)通信有限公司南通市分公司，江蘇 南通 223000）

0 引言

多元方差分析檢驗(yàn)過(guò)程中，最關(guān)鍵的一步是構(gòu)造合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，然后結(jié)合顯著性水平，就可以構(gòu)建檢驗(yàn)法則。常用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有：（1）威爾克斯檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。需先計(jì)算出組內(nèi)離差陣和組間離差陣，然后相加，再對(duì)相關(guān)矩陣進(jìn)行行列式計(jì)算，最后做比值計(jì)算[1-3]；（2）霍特林跡檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（Hotelling's trace）。先計(jì)算出組間離差陣與組內(nèi)離差陣，然后計(jì)算出相對(duì)廣義特征值，最后將所有廣義特征值求和[4,5]；（3）費(fèi)萊巴特萊特準(zhǔn)則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（Pillai-Bartlett criterion）。該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造過(guò)程為：與霍特林跡檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造過(guò)程類似，需要計(jì)算出組間離差陣與組內(nèi)離差陣，然后計(jì)算廣義特征值，再以廣義特征值為分子，1加上該廣義特征值作為分母，對(duì)所有的特征值都做這樣的變換[6-8]；（4）羅伊最大特征值檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（Roy's Largest Root）。先計(jì)算出組間離差陣與組內(nèi)離差陣，然后計(jì)算廣義特征值，挑選最大廣義特征值，以最大廣義特征值為分子，以最大廣義特征值加一為分母[9，10]。

如何評(píng)價(jià)這些檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)效果？首先需要明確一個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)。比如：有些研究者將將拒絕原假設(shè)的能力設(shè)為衡量標(biāo)準(zhǔn)，拒絕原假設(shè)的能力越強(qiáng)，則認(rèn)為檢驗(yàn)效果越好。利用控制變量法對(duì)上述4個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)效果比較發(fā)現(xiàn)：羅伊最大特征值檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)效果最好[11]。還有些研究者將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的穩(wěn)健性作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，穩(wěn)健性越高則檢驗(yàn)效率越高。通過(guò)試驗(yàn)比較發(fā)現(xiàn)：通常，費(fèi)萊巴特萊特準(zhǔn)則檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)效果最好。

經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變形，可以證明這些檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都服從分布。那么，是否可以直接對(duì)原始數(shù)據(jù)做變換，然后基于變換后的數(shù)據(jù)直接構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析。顯然，如果該方法可行，從便于理解的角度來(lái)看，該檢驗(yàn)方法優(yōu)于上述檢驗(yàn)方法。

1 基本思路

選取一個(gè)行向量與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行線性組合，這樣就將多維數(shù)據(jù)降為一維數(shù)據(jù)，證明變換后的數(shù)據(jù)仍然服從正態(tài)分布，嘗試先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，再構(gòu)建檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析。兩因素多元方差分析模型可以設(shè)為：A和B是影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的兩個(gè)因素，因素A有k個(gè)水平，因素B有r個(gè)水平。即：

αi表示因素A的第i水平的影響，βj表示因素B的第j水平的影響。這時(shí)判斷因素對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)有無(wú)顯著影響，就相當(dāng)于檢驗(yàn)：

設(shè)有p維非零行向量將其與yij相乘，則有：

檢驗(yàn)問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為檢驗(yàn)：

這樣就將兩因素多元方差分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩因素一元方差分析。對(duì)A因素而言，如果能夠找到l′1使得因素A各個(gè)水平之間的差異最小化，然后將原始樣本數(shù)據(jù)向該法線方向投影，再由投影后的數(shù)據(jù)計(jì)算出F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體取值，若該值落入拒絕域中，則利用任一法線向量進(jìn)行投影，帶入具體數(shù)據(jù)，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，都會(huì)落入拒絕域中，故恒拒絕原假設(shè)；反之，不拒絕原假設(shè)。類似的，對(duì)因素B而言，如果能夠找到l′2使得因素B各個(gè)水平之間的差異最小化，然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行投影，再由投影后的數(shù)據(jù)計(jì)算出F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體取值，若該值落入拒絕域中，則利用任一法線向量進(jìn)行投影，帶入具體數(shù)據(jù)，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，都會(huì)落入拒絕域中，故恒拒絕原假設(shè)；反之，不拒絕原假設(shè)（見(jiàn)圖1）。

圖1 檢驗(yàn)流程圖

2 構(gòu)建檢驗(yàn)法則

2.1 利用最小廣義特征值構(gòu)建因素A的顯著性檢驗(yàn)法則

由上文的分析知：原假設(shè)H01成立時(shí)，F(xiàn)1=與一般的服從F分布的統(tǒng)計(jì)量不同，F(xiàn)1中含有一個(gè)未知行向量l′。若F1min落入拒絕域中，則有充分理由拒絕原假設(shè)。具體過(guò)程如下：

由矩陣的譜分解知：

故：

顯著性水平為α且服從分布的臨近值為（下分為數(shù)）。故檢驗(yàn)法則為：當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)，因素A對(duì)數(shù)據(jù)有顯著影響；若不拒絕原假設(shè)，繼續(xù)保持對(duì)原假設(shè)的懷疑。

2.2 利用最小廣義特征值構(gòu)建因素B的顯著性檢驗(yàn)法則

原假設(shè)H02成立時(shí)類似的，可以求解出B相對(duì)于E的廣義特征值及廣義特征值對(duì)應(yīng)的特征向量可以將改F2寫成：

顯著性水平為α且服從分布的臨近值為（下分為數(shù)）。故檢驗(yàn)法則為：當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)，因素B對(duì)數(shù)據(jù)有顯著影響；若則不拒絕原假設(shè)。

3 模擬研究

可以利用R產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)組進(jìn)行模擬研究來(lái)驗(yàn)證上述檢驗(yàn)法則。為了簡(jiǎn)化模擬過(guò)程，以單因素多元方差分析為例。模擬研究分兩步進(jìn)行：

第一步：隨機(jī)生成9組樣本量為20的5維協(xié)差陣相同均值向量不相同的數(shù)組，驗(yàn)證利用上述檢驗(yàn)法則檢驗(yàn)的結(jié)果是否為拒絕原假設(shè)。第一組數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 協(xié)差陣相同均值向量不相同的第一個(gè)數(shù)組的5維向量樣品

利用計(jì)算機(jī)軟件可以算出水平間離差陣相對(duì)于隨機(jī)誤差陣的最小廣義特征值的具體數(shù)值為：

故：

對(duì)應(yīng)的p值為：

p值非常小，有充分理由拒絕原假設(shè)。

第二步：隨機(jī)生成9組樣本量為20協(xié)差陣相同均值向量相同的5維數(shù)據(jù)，驗(yàn)證利用上述檢驗(yàn)法則檢驗(yàn)的結(jié)果是否為不拒絕原假設(shè)。第一組數(shù)據(jù)見(jiàn)下頁(yè)表2。

利用計(jì)算機(jī)軟件可以算出水平間離差陣相對(duì)于隨機(jī)誤差陣的最小廣義特征值的具體數(shù)值為：

故：

對(duì)應(yīng)的p值為：

p值很大，不拒絕原假設(shè)。

表2 協(xié)差陣相同均值向量相同的第一個(gè)數(shù)組的5維向量樣品

4 結(jié)論

由模擬結(jié)果可知，利用上述檢驗(yàn)法則進(jìn)行多元方差分析可以得到與事實(shí)相符合的結(jié)果。當(dāng)各個(gè)水平對(duì)應(yīng)的均值向量不同，利用該檢驗(yàn)法則進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕原假設(shè)；若各個(gè)水平對(duì)應(yīng)的均值向量不存在差異，該檢驗(yàn)法則的檢驗(yàn)結(jié)果為繼續(xù)保持對(duì)原假設(shè)的懷疑。

在上述檢驗(yàn)過(guò)程中，若向使得水平間差異最小化方向投影后的數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體取值落到接受域中時(shí)，有可能存在某一法線使得投影后的數(shù)據(jù)計(jì)算出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值落入拒絕域中，這時(shí)需繼續(xù)保持對(duì)原假設(shè)的懷疑，即沒(méi)有得到明確的判斷結(jié)果。如何有效克服這個(gè)問(wèn)題，將是下一步的研究方向。Large[J].Hiroshima Mathematical Journal,2014,44(3).